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Algebra Lineal y Geometr´´ ıa I Primera convocatoria 1 de julio de 2016
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D.N.I.: Firma:
Primer parcial. Asignatura completa: ejercicios 1 y 2. Ejercicio 1.
(A) 1. Sea f : V → V un homomorfismo. Pruebe que el cero es un autovalor de f si y solamente si f no es inyectivo.
- Pruebe que cada autovector de A es tambi´en autovector de A^2.
(B) Sea V el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que 3.
- Dado a ∈ R, pruebe que el conjunto { 1 , X − a, (X − a)^2 , (X − a)^3 } es una base de V.
- Sea W = {p(X) ∈ V | p(4) = 0}. Pruebe que W es un subespacio vectorial de V y calcule su dimensi´on.
- Determine un subespacio vectorial W ′^ ⊂ V tal que W ⊕ W ′^ = V. ¿Es ´unico?
Ejercicio 2.
(A) 1. Sea f : V → V ′^ un homomorfismo de K-espacios vectoriales, W ′^ ⊂ V ′^ un subespacio vectorial. Pruebe que f −^1 (W ′) ⊂ V es un subespacio vectorial.
- Sea f : V → V un endomorfismo, con dim V = 4. Supongamos que existe un vector v ∈ V tal que f 3 (v) 6 = 0 y f 4 (v) = 0. Pruebe que el conjunto {v, f (v), f 2 (v), f 3 (v)} es linealmente independiente y forma una base de V. Encuentre la matriz de f respecto de esta base. ¿Es f diagonalizable?
(B) Sea f : R^4 → R^4 un homomorfismo cuya matriz respecto de una cierta base B es
A =
0 0 a − 2 1 − 1 0 1 0 0 1 − 2 0 0 − 1 2
, a^ ∈^ R,^ y^ W^ :
x 3 = 0 x 4 = 0.
Las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico de A son 0 (doble), −1 y 3.
- Determine los valores de a para los que f es diagonalizable.
- En lo que sigue supondremos a = 1. a) Calcule bases respectivas de im(f ) y ker(f ). b) Pruebe que f (W ) ⊂ W. c) Obtenga una base de V respecto de la cual la matriz de f sea diagonal.
Ejercicio 3.
(A) 1. Pruebe que si A es no singular y 1 es autovalor de A, entonces 1 es autovalor de A−^1.
- Sea V un R-espacio vectorial de dimensi´on n y f : V → V un homomorfismo tal que (f ◦ f )(v) = −v para todo v ∈ V. Pruebe que n es un n´umero par.
(B) Sea f : V → V un homomorfismo cuya matriz respecto de una cierta base B = {u 1 , u 2 , u 3 } es
MB(f ) =
(^) , y sea B′^ = {u′ 1 = u 2 , u′ 2 = u 1 − u 3 , u′ 3 = u 1 + u 2 }.
- Pruebe que B′^ es base de V.
- Calcule la matriz del cambio de base de B a B′.
- Obtenga MB′^ (f ).
Segundo parcial. Asignatura completa: ejercicios 4 y 5. Ejercicio 4.
(A) 1. Sea V = R^2 con el producto escalar est´andar. Encuentre un homomorfismo f : V → V , que no sea isometr´ıa, tal que para cualquier base ortogonal B = {u 1 , u 2 } de R^2 se verifica que {f (u 1 ), f (u 2 )} es una base ortogonal.
- Fijado un sistema de referencia m´etrico R en el espacio af´ın eucl´ıdeo An(R), calcule la distancia de un punto PR = (p 1 ,... , pn) al hiperplano H dado por la ecuaci´on a 0 + a 1 x 1 + · · · + anxn = 0.
(B) En el espacio af´ın A^4 (R), y con respecto al sistema de referencia est´andar, consideramos los subespacios afines
π :
x 1 − x 2 = 0, x 1 + x 4 = 3, , r = (2, 1 , 0 , 0) + 〈
(1, 1 , 1 , −1)〉, y el punto Q = (1, 0 , 1 , −1).
- Determine la posici´on relativa de π y r.
- Calcule, si existe, una recta que pase por Q y sea coplanaria con r y cohiperplanaria con π. ¿Es ´unica?
Ejercicio 5.
(A) 1. Sea Am×n una matriz compleja y definimos la matriz Cm×m = AA∗. a) Pruebe que C es hermitiana y semidefinida positiva. b) Demuestre que C es hermitiana definida positiva si y solamente si rango(A) = m.
- En el espacio af´ın eucl´ıdeo A^4 (R) se consideran dos planos π 1 y π 2 que no se cortan ni son paralelos. Razone si la perpendicular com´un es ´unica y cu´al es su dimensi´on.
(B) Se considera el espacio af´ın eucl´ıdeo A^3 (R) y un sistema de referencia m´etrico R respecto del cual se expresar´an coordenadas y ecuaciones. La afinidad f est´a definida por la matriz:
MR(f ) =
,^ y los autovalores de^
f son − 1 ,
± i
- Pruebe que f es un movimiento.
- Calcule sus puntos fijos e hiperplanos invariantes.
- Clasifique f y determine sus elementos geom´etricos.
- Calcule el menor n´umero de simetr´ıas hiperplanas en que se puede descomponer f.
Ejercicio 6.
(A) 1. Sean L 1 , L 2 ⊂ An(R) subespacios afines no vac´ıos y disjuntos. Pruebe que existe una recta que corta a cada uno de ellos y es perpendicular a L 1 y a L 2.
- En el espacio af´ın E = An(R), sea H un hiperplano y P, P ′^ puntos distintos que no pertenecen a H. Pruebe que existe una ´unica afinidad f : E → E tal que Lf = H y f (P ) = P ′.
(B) Consideremos la matriz
A =
- Determine si A es una matriz sim´etrica definida positiva.
- Obtenga una base ortonormal {u 1 , u 2 , u 3 } de R^3 tal que Col(A) = 〈u 1 〉.
- Obtenga una base ortonormal {v 1 , v 2 , v 3 } de R^3 tal que null(A) = 〈v 2 , v 3 〉.
- Calcule los valores singulares no nulos de A.
Todos los ejercicios se valoran sobre 10 puntos. Los alumnos que se examinen de la asignatura completa tendr´an una nota sobre 40 puntos, y los que lo hagan de un parcial sobre 30 puntos.
