algebra lineal cap 7, Diapositivas de Cálculo para Ingenierios

¡Descarga algebra lineal cap 7 y más Diapositivas en PDF de Cálculo para Ingenierios solo en Docsity!

Algebra Lineal´

Departamento de Matem´aticas Universidad de Los Andes

Primer Semestre de 2007

Texto gu´ıa:

Contenidos

(^1) Geometr´ıa en Rn, matrices y sistemas de ecuaciones lineales

(^2) Dimensi´on, rango y transformaciones lineales

3 Espacios vectoriales

(^4) N´umeros complejos y espacios vectoriales complejos

(^5) Determinantes

(^6) Valores y vectores propios

7 Ortogonalidad Proyecciones y Subespacio Ortogonal Ortogonalizaci´on de Gram-Schmidt

(^8) Cambio de base

Contenidos

(^1) Geometr´ıa en Rn, matrices y sistemas de ecuaciones lineales

(^2) Dimensi´on, rango y transformaciones lineales

3 Espacios vectoriales

(^4) N´umeros complejos y espacios vectoriales complejos

(^5) Determinantes

(^6) Valores y vectores propios

7 Ortogonalidad Proyecciones y Subespacio Ortogonal Ortogonalizaci´on de Gram-Schmidt

(^8) Cambio de base

Contenidos

(^1) Geometr´ıa en Rn, matrices y sistemas de ecuaciones lineales

(^2) Dimensi´on, rango y transformaciones lineales

3 Espacios vectoriales

(^4) N´umeros complejos y espacios vectoriales complejos

(^5) Determinantes

(^6) Valores y vectores propios

7 Ortogonalidad Proyecciones y Subespacio Ortogonal Ortogonalizaci´on de Gram-Schmidt

(^8) Cambio de base

Contenidos

(^1) Geometr´ıa en Rn, matrices y sistemas de ecuaciones lineales

(^2) Dimensi´on, rango y transformaciones lineales

3 Espacios vectoriales

(^4) N´umeros complejos y espacios vectoriales complejos

(^5) Determinantes

(^6) Valores y vectores propios

7 Ortogonalidad Proyecciones y Subespacio Ortogonal Ortogonalizaci´on de Gram-Schmidt

(^8) Cambio de base

Contenidos

(^1) Geometr´ıa en Rn, matrices y sistemas de ecuaciones lineales

(^2) Dimensi´on, rango y transformaciones lineales

3 Espacios vectoriales

(^4) N´umeros complejos y espacios vectoriales complejos

(^5) Determinantes

(^6) Valores y vectores propios

7 Ortogonalidad Proyecciones y Subespacio Ortogonal Ortogonalizaci´on de Gram-Schmidt

(^8) Cambio de base

Proyecci´on de un vector sobre otro

Si ~v es un vector y L una recta en el plano, es f´acil ver que la proyecci´on ortogonal ~p = ProyL~v de ~v sobre L puede calcularse a partir de cualquier vector ~x contenido en la recta, mediante la f´ormula:

ProyL~v = Proy~x~v =

~v · ~x ~x · ~x

~x. (1)

Definici´on

Sea W un subespacio de Rn. Definimos el complemento ortogonal de W como el conjunto de vectores de Rn^ que son perpendiculares a todos los vectores de W :

W ⊥^ = {~v ∈ Rn^ | ~v · w~ = 0 ∀w~ ∈ W }.

El complemento ortogonal W ⊥^ no es solamente un subconjunto, sino que es un subespacio de Rn, y podemos encontrar tal subespacio a partir de una base {w~ 1 , ~w 2 ,... , ~wk } para W como sigue: Formemos la matriz A

cuyas filas son los k vectores de la base para W A =

− ~w 1 − − ~w 2 − .. . − w~k −

ahora, como un elemento de W ⊥^ es perpendicular a todos los elementos de la base de W , si ~v ∈ W ⊥^ entonces

~v · w~ 1 = ~v · w~ 2 = · · · = ~v · w~k = ~ 0.

Entonces

El complemento ortogonal de W es el mismo espacio nulo de la matriz A cuyas filas son una base para el espacio W.

Ejemplo: Sea W = {~x = (x 1 x 2 x 3 ) ∈ R^3 | x 1 + x 2 − x 3 = 0}, vamos a calcular el complemento ortogonal W ⊥^ de W. Por definici´ıon, tenemos que W ⊥^ = {~x ∈ R^3 | ~x · w~ = 0 ∀w~ ∈ W }.

Ahora, si w~ ∈ W , ~w debe ser un vector de la forma

w ~ =

x 1 x 2 x 1 + x 2

donde hemos despejado la variable x 3 en t´erminos de las otras dos variables en la ecuaci´on que define el plano W , i.e. x 1 + x 2 − x 3 = 0. Tenemos entonces que

~w = x 1

 (^) + x 2

Propiedades del complemento ortogonal

Teorema (Propiedades)

Sea W un subespacio de Rn, entonces 1 dim W + dim W ⊥^ = n

Propiedades del complemento ortogonal

Teorema (Propiedades)

Sea W un subespacio de Rn, entonces 1 dim W + dim W ⊥^ = n 2 (W ⊥)⊥^ = W

Para encontrar la descomposici´on de un vector mencionada en el teorema anterior, veamos c´omo se puede calcular la proyecci´on de ~v ∈ Rn^ sobre el subespacio W. En el ejemplo anterior vimos c´omo, a partir de una base {w~ 1 , ~w 2 ,... , ~wk } para W , encontrar una base {~x 1 , ~x 2 ,... , ~xn−k } para el subespacio W ⊥. Por el teorema anterior (dado que dim W + dim W ⊥^ = n), juntando tales bases tendremos una base

{w~ 1 , ~w 2 ,... , ~wk , ~x 1 , ~x 2 ,... , ~xn−k }

para Rn. Dado ~v ∈ Rn, podemos calcular los coeficientes αi , βi ∈ R necesarios para escribir

~v = α 1 ~w 1 + α 2 w~ 2 + · · · + αk ~wk + β 1 ~x 1 + β 2 ~x 2 + · · · + βn−k~xn−k ,

luego ~v puede descomponerse de forma ´unica como ~v = ~vW + ~vW ⊥ , donde

~vW = α 1 w~ 1 + α 2 ~w 2 + · · · + αk w~k ∈ W

y ~vW ⊥ = β 1 ~x 1 + β 2 ~x 2 + · · · + βn−k~xn−k ∈ W ⊥.

Bases Ortonormales

Definici´on

Una base {~u 1 , ~u 2 ,... , ~un} de Rn^ es llamada ortonormal si todos sus vectores son unitarios y perpendiculares entre si, es decir:

~ui · ~uj =

1 si i = j 0 si i 6 = j

Existe una forma de, a partir de una base cualquiera {w~ 1 , ~w 2 ,... , ~wk } para un subespacio W de Rn, producir una base ortonormal mediante el uso de las proyecciones vistas anteriormente. En efecto, sea

~u 1 = w~ 1 | | w~ 1 ||

entonces tenemos que ~u 1 · ~u 1 = 1 y, para producir ~u 2 , a w~ 2 le restamos su proyecci´on sobre ~u 1 :

w ~ 2 − Proy~u 1 w~ 2 = ~w 2 −

w~ 2 · ~u 1 ~u 1 · ~u 1