ALGEBRA LINEAL
TALLER DE APLICACIONES DE MATRICES
Actividad de auto-aprendizaje
1. Criptografía
Un criptograma es un mensaje escrito según un
código secreto. Se pueden utilizar matrices para
cifrar y descifrar mensajes, para ello se empieza
por asignar un número a cada letra del alfabeto
tal y como se muestra a continuación:
0=_
7=G
14=N
21=T
1=A
8=H
15=Ñ
22=U
2=B
9=I
16=O
23=V
3=C
10=J
17=P
24=W
4=D
11=K
18=Q
25=X
5=E
12=L
19=R
26=Y
6=F
13=M
20=S
27=Z
Para explicar el procedimiento utilizaré un
ejemplo con la palabra “LUZ”.
Se utilizan matrices invertibles (matriz de
codificación) para poder cifrar o descifrar el
mensaje.
En este caso se utilizará la matriz C de
orden n = 2:
𝐶 = [−1 2
−1 1]
Posteriormente se convierte a números el
mensaje y se divide en vectores fila cada uno con
“n” elementos.
Al final se pueden rellenar espacios con ceros
para completar el número de componentes de la
matriz.
Al convertir la palabra LUZ a números se
obtiene: 12 22 27.
Como el orden de la matriz es 2, se deben
agrupar estos números, conservando el
orden, en vectores fila de 1x2, por lo que
se obtienen los siguientes vectores:
[12 22]
[27 0]
Observe que como había solamente tres
elementos, el último vector se completó
con 0.
El mensaje cifrado se obtiene al multiplicar cada vector
fila por la matriz de codificación obteniendo un nuevo
vector cifrado. La unión de estos vectores cifrados da
como resultado el criptograma (se debe eliminar la
notación matricial).
Se realizan los siguientes productos:
[12 22][−1 2
−1 1] = [−34 46]
[27 0][−1 2
−1 1] = [−27 54]
De tal forma que el mensaje cifrado es: -34 46
-27 54
Para descifrar el mensaje es necesario conocer la
matriz de codificación. Se debe hallar la matriz inversa
de esta matriz de codificación y multiplicar, una vez
agrupados, cada vector cifrado por la matriz inversa
para poder finalmente obtener el mensaje.
Como ya se mencionó, el usuario que recibe el
mensaje debe conocer la matriz de codificación
y calcular su inversa.
𝐶−1 = [1 −2
1 −1]
Seguidamente como la matriz es de orden 2,
debe agrupar el mensaje cifrado en vectores
fila de 1x2, esto es:
[−34 46]
[−27 54]
Posteriormente multiplicar cada vector por la
inversa de la matriz de codificación, esto es:
[−34 46][1 −2
1 −1] = [12 22]
[−27 54][1 −2
1 −1] = [27 0]
Entonces el mensaje se obtiene a partir de
estos vectores, esto es:
12 22 27 0
Buscando las equivalencias con la tabla
previamente establecida se obtiene el mensaje:
LUZ.