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Operaciones algebraicas con matrices
- Suma de matrices
Sean las matrices A = (aij ), B = (bij ); matrices de igual orden, entonces: C = A + B = (aij + bij ) = cij
Ejemplo
Sean A =
, B =
; calcular A + B
A + B =
C = A + B =
Propiedades de la suma de matrices
Sean A, B, C matrices de igual orden.
Clausurativa: (A + B) ∈ M (K)mn
Conmutativa: (A + B) = (B + A)
Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)
Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A = A
Elemento opuesto: A + (−A) = (−A) + A = 0
- Multiplicaci´on de un escalar por una matriz
Sea la matriz arbitaria A = (aij ) y α un escalar, entonces: C = αA = α(aij ) = cij
Ejemplo
Sea A =
, α = 4. Encontrar C = αA
C = 4
C =
Propiedades de la multiplicaci´on por un escalar
Sean A y B matrices arbitrarias y α, β escalares.
Clausurativa: (αA) ∈ M (K)mn
Distributiva respecto a la suma de matrices: α(A + B) = αA + αB
Distributiva respecto a la suma de escalares: (α + β)A = αA + βA
Asociativa: (αβ)A = α(βA)
Elemento neutro: 1A = A
- Multiplicaci´on de matrices
Sean las matrices A = (aij )mn y B = (bij )np, en los cuales el n´umero de columnas de A es igual al n´umero
de filas de B. El producto de A y B da resultado una matriz C = (cij ) cuyo orden es el n´umero de filas
de A y el n´umero de columnas de B.
C = (cij )mp ; cij =
n ∑
k=
aikbkj ; 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ p
En forma desarrollada cij = ai 1 b 1 j + ai 2 b 2 j + ai 3 b 3 j + ..... + ainbnj entonces el proceso se muestra a
continuaci´on:
AB = C
a 11 a 12 ... a 1 n
a 21 a 22 ... a 2 n
. . .
ai 1 ai 2 ... ain
am 1 am 2 ... amn
b 11 b 12 ... b 1 j
b 21 b 22 ... b 2 j
. . .
bn 1 bn 2 ... bnj
bn 1 bn 2 ... bnp
c 11 c 12 ... c 1 p
c 21 c 22 ... c 2 p
cm 1 cm 2 ... cmp
Por ejemplo, el elemento c 11 se obtiene multiplicando la fila 1 de A por la columna 1 de B. El elemento
c 12 se obtiene multiplicando la fila 1 de A por la columna 2 de B.
Ejemplo
Dadas las matrices A =
B =
. Calcular AB
AB =
AB =
AB =
AB =
Propiedades de la multiplicaci´on matricial
Sean las matrices Amn, Bnp y Cpk
Asociativa: (AB)C = A(BC)
Elemento neutro: AI = IA = A
Distributiva: A(B + C) = AB + AC
- Dadas las matrices A, B, C, D suponga que todas las operaciones est´an definidas; demostrar entonces, a
partir de la definici´on de multiplicaci´on de matrices, que:
(A + B)(C + D) = A(C + D) + B(C + D) = AC + AD + BC + BD
Bajo qu´e hip´otesis est´an definidas todas las operaciones.
(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD = (AC + AD) + (BC + BD) = A(C + D) + B(C + D)
Las matrices A y B deben ser de orden mn y las matrices C + D de orden mp.
- Dadas las matrices A, B, ¿en qu´e condiciones son v´alidas las siguientes ecuaciones?
(a) (A + B) 2 = A 2
(A + B)
2 = (A + B)(A + B) = AA + AB + BA + BB, si AB = BA
= A
2
2
= A
2
2
(b) (A + B)(A − B) = A
2 − B
2
(A + B)(A − B = AA − AB + BA − BB, si AB = BA
= A
2 − (^)
AB +
AB − B
2
= A
2 − B
2
- Un comerciante de radios, tiene 10 radios de tama˜no I, 15 de tama˜no II y 8 de tama˜no III. Los radios de
tama˜no I se venden a $60 cada uno los de tama˜no II en $47 cada uno y los de tama˜no III se venden en
$40 cada uno. Calcular el precio de venta de radios?
[
]
- Calcular el valor de E = a + b + c + d, donde
a 3 1
1 c b
a 2
1 b
d 2
d + 12 29
7 d + 4 d + 21
; a, b, c, d ∈ N
a 2
a + c + d 2 + bc + 2b
d + 12 29
7 d + 4 d + 21
a 2
- 3 + (^) d = d + 12 2 a + 3b + 2 = 29
a + c + bd = 7d + 4 2 + bc + 2b = d + 21
a
2 = 9 3 b = 29 − 2 − 2(3) c + (^) 7 d = (^) 7 d + 4 − 3 d = −19 + 7 + 14
a = 3 b = 7 c = 1 d = 2
E = 3 + 7 + 1 + 2 = 13
- Determine los valores de a y b de modo que se tenga la igualdad
a
(^) − b
2 a
−a
3 b
− 2 b
2 a − 3 b
−a + 2b
2 a − 3 b = 3
−a + 2b = 7
^2 a^ −^3 b^ = 3
− 2 a + 4b = 14
b = 17
a = 2b − 7
a = 2(17) − 7
a = 27
- Sean las matrices A y B tal que
A =
B =
u v w
0 x y
0 0 z
encontrar u + v + w + x + y + z si se cumple que AB = I
u v w
0 x y
0 0 z
u = 1
v − x = 0 ; v = x , v = 2
x/2 = 1 ; x = 2
u v − x w − y + z
0 x/ 2 y/ 2 − z
0 0 z/ 4
z/4 = 1 ; z = 4
y/ 2 − z = 0 ; y = 2z , y = 8
w − y + z = 0 ; w = y − z , w = 4
u + v + w + x + y + z = 1 + 2 + 4 + 2 + 8 + 4 = 21
