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Vectores en R n
- Dibuje los siguientes vectores en posición estándar en R^2 , luego grafíquelos con sus orígenes en el punto (1, −3) y halle el punto final para cada uno de ellos.
a = (3, 0), b = (2, 3), c = (−2, 3), d = (1, −5).
- Dibuje los siguientes vectores en posición estándar en R^3.
a = (0, 2, 0), b = (1, −2, 1), c = (−1, −1, −2).
- Si los vectores vectores del ejercicio anterior se trasladan de manera que sus puntas estén en el punto (1, 2, 3), halle sus orígenes.
- Para cada uno de los pares de puntos, dibuje el vector
AB , luego calcule y vuelva a dibujar
AB como un vector en posición estándar.
a ) A = (1, −1) y B = (4, 2). b ) A = (0, −2) y B = (2, −1). c ) A = (1/3, 1/3) y B = (1/6, 1/2).
- Un paseante camina 4 km al norte y luego 5 km al noreste. Dibuje los vectores desplazamien- to que representen el viaje del caminante y dibuje un vector que represente el desplazamien- to neto del caminante desde el punto de partida.
- Los ejercicios siguientes se refieren a los vectores del ejercicio 1. Calcule los vectores indica- dos y también muestre cómo pueden obtenerse geométricamente los resultados.
a ) a + b. b ) b + c. c ) d − c. d ) a − d. e ) a + b + c. f ) c − b + a.
- Los ejercicios siguientes se refieren a los vectores en el ejercicio 2. Calcule los vectores indi- cados y también muestre cómo pueden obtenerse geométricamente los resultados.
a ) 2 a + 3 b. b ) b − c + 4 a.
- Calcule u · v , ‖ u ‖ y ‖ v ‖ así como el ángulo entre u y v. Calcule además Proy u v.
a ) u = (−1, 2), v = (3, −1). b ) u = (1, −4, −2), v = (3, 5, −6). c ) u = (2, 2, 3, 1), v = (3, −1, 4, 0). d ) u = (−1, 2), v = (2, 1).
- Bajo que condiciones las siguientes ecuaciones se satisfacen para vectores en R^2 o R^3.
a ) ‖ u + v ‖ = ‖ u ‖ + ‖ v ‖. b ) ‖ u − v ‖ = ‖ u ‖ − ‖ v ‖.
- Suponga que usted sabe que u · v = u · w. ¿Se deduce que v = w? Si es así, proporcione una demostración que sea válida en R n^ ; de otro modo, proporcione un contraejemplo.
- Demuestre que ( u + v ) · ( u − v ) = ‖ u ‖^2 − ‖ v ‖^2 para todos los vectores u y v en R n^.
- Demuestre que ‖ u + v ‖ = ‖ u − v ‖ si y sólo si u y v son vectores ortogonales.
- Demuestre que u + v y u − v son ortogonales si y sólo si ‖ u ‖ = ‖ v ‖.
- Demuestre que u es ortogonal a v −Proy u ( v ) para todos los vectores u y v en R n^ , donde u 6 = 0.
- Demuestre la desigualdad triangular invertida : si u y v son vectores de R n^ , entonces
∣∣ ∣‖ u ‖ − ‖ v ‖
∣ ≤ ‖ u − v ‖.
Sugerencia: utilice la desigualdad triangular para demostrar que ‖ u ‖ − ‖ v ‖ ≤ ‖ u − v ‖ y que −‖ u − v ‖ ≤ ‖ u ‖ − ‖ v ‖.
- Demuestre la ley del paralelogramo : en todo paralelogramo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los cuatro lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos diagonales.
u
v
u + v u − v
Espacios vectoriales
Notación
En los ejercicios que siguen a continuación, para enteros positivos m y n , a menos que se indi- que lo contrario, Pm (R) denota el espacio vectorial de polinomios en una variable con coeficientes en R y de grado menor o igual a m , con la suma y el producto por escalar usuales; Mm × n (R) es el espacio vectorial de matrices de tamaño m × n con entradas reales, con la suma y el producto por escalar usuales y Mm (R) es simplemente Mm × m (R); es decir, el espacio vectorial de matrices cuadradas de orden m con entradas reales, con la suma y el producto por escalar usuales.
- ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos H son subespacios de cada espacio vectorial? Justifi- que.
a ) H =
( x , y )
x^2 + y^2 ≤ 1
⊆ R^2.
b ) H =
( x , y )
∣ (^0) ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 }^ ⊆ R^2.
c ) H =
( x , y , z )
z ≥ 0
⊆ R^3.
d ) H =
( x , y , z , w )
∣ (^) z = x + 2 y , w = x − 3 y
⊆ R^4.
e ) H =
( x , y , z , w )
∣ (^) x = 1, y = 0, z + w = 1 }^ ⊆ R^4.
f ) H =
A =
[
a b c d 0 0
] ∣∣
∣ b^ =^ a^ +^ c
⊆ M 2 × 3 (R).
g ) H =
A =
0 0 a d c 0 − a 0 0
⊆ M 3 (R).
h ) H =
p ( t ) = a 0 + a 1 t + a 2 t^2
∣ (^) a 0 + a 1 + a 2 = 2
⊆ P 2 (R).
i ) H =
A
∣ (^) A^2 = A }^ ⊆ Mn (R).
j ) H =
A
At^ = − A
⊆ M 2 (R).
k ) H = {( a , 0, a ) | a ∈ R} ⊆ R^3.
l ) H =
{[
a b b 2 a
] ∣∣
∣ a ,^ b^ ∈^ R
⊆ M 2 (R).
m ) H = { A | det( A ) = 1} ⊆ M 2 (R). n ) H = { a + bx + cx^2 | a + b + c = 0} ⊆ P 2 (R). ñ ) H = { a + bx + cx^2 | abc = 0} ⊆ P 2 (R).
- En los ejercicios siguientes, determine si el conjunto dado, junto con las operaciones es- pecificadas de suma y multiplicación por un escalar, es un espacio vectorial. Si no lo es, mencione todos los axiomas que no se cumplen.
a ) El conjunto de todos los vectores en R^2 con x ≥ 0 y y ≤ 0 (es decir el cuarto cuadrante), con la suma vectorial y la multiplicación por un escalar usuales. b ) R^2 , con la suma usual pero con la multiplicación por un escalar definida por
c ( x , y ) = ( x , c y ).
c ) El conjunto de todas las matrices de 2 × 2 de la forma [ a b c d
]
en donde ad = 0, con la suma matricial y multiplicación por un escalar usuales.
- Sean W 1 y W 2 subespacios de un espacio vectorial V. Demuestre que W 1 ∩ W 2 es subespacio de V.
- Muestre mediante un ejemplo que si W 1 y W 2 son subespacios de un espacio vectorial V , entonces no necesariamente W 1 ∪ W 2 es subespacio de V.
- Sea W un subespacio de R n^. El complemento ortogonal de W , denotado W ⊥, es el conjunto de los vectores de R n^ que son ortogonales a todos los vectores de W ; es decir,
W ⊥^ = { u ∈ R n^ | u · w = 0, para todo w ∈ W }.
a ) Demuestre que W ⊥^ es un subespacio vectorial de R n^. b ) En R^2 , los únicos subespacios son R^2 , { 0 } y las rectas que pasan por el origen. Descri- ba, de la manera más precisa posible, el complemento ortogonal de cada uno de estos subespacios.
- ¿Cuáles de los siguientes conjuntos T generan el espacio vectorial V? Justifique.
a ) T = {(−1, 1), (2, 3), (1, −1)}. V = R^2. b ) T = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}. V = R^3. c ) T = { t^3 + 2 t + 1, t^2 − t + 2, t^3 + 2, − t^3 + t^2 − 5 t + 2}. V = P 3 (R).
d ) T =
{[
]
[
]
[
]
[
]}
. V = M 2 (R).
- ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son linealmente independientes? Justifique.
a ) {(−1, 1), (2, 3), (1, −1)}, en R^2. b ) {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}, en R^3. c ) {(1, 0, 1), (1, 1, −1), (−1, −2, 3)}, en R^3.
b ) u =
[
]
y v =
[
]
, en V = M 2 (R).
c ) u = x^2 + 1 y v = x^2 + x , en V = P 3 (R). d ) u = 1 − x^2 y v = 1 + x^2 , en V = P 2 (R).
- Encuentre una base y calcule la dimensión del subespacio W.
a ) W =
p ( x )
∣ (^) p ( x ) = p (− x )
⊆ P 2 (R).
b ) W =
A
∣ (^) At^ = − A }^ ⊆ M 2 (R).
- Encuentre una base para el subespacio de V generado por el conjunto R.
a ) R =
t^3 + t^2 + 2 t + 1, t^3 − 3 t + 1, t^2 + t + 2, t + 1, t^3 + 1
. V = P 3 (R).
b ) R =
{[
]
[
]
[
]
[
]
[
]}
. V = M 2 (R).
c ) R = {1, 1 + x , 2 x }. V = P 1 (R).
d ) R =
{[
]
[
]
[
]
[
]}
. V = M 2 (R).
- Muestre que el conjunto B es una base del espacio vectorial V y encuentre las coordenadas de cualquier vector v ∈ V en la base ordenada B.
a ) B = {1, x + c , ( x + c )^2 } para c ∈ R fijo. V = P 2 (R). b ) B = {(1, 0, −1), (1, 1, 1), (1, 0, 0)}. V = R^3.
- Determine si el conjunto L es una base para V.
a ) L =
{[
]
[
]
[
]}
. V = M 2 (R).
b ) L = { x , 1 − x , 1 + x + x^2 }. V = P 2 (R).
c )
{[
]
[
]
[
]
[
]}
. V = M 2 (R).
- Demuestre que el conjunto dado W es un subespacio vectorial del espacio vectorial V y halle una base para W y dim W.
a ) W = { p ( x ) ∈ P 2 (R) | p (0) = 0}. b ) W = { A ∈ M 2 (R) | A es triangular superior}. c ) W = { A ∈ M 3 (R) | A es simétrica}.
- Extienda cada conjunto hasta obtener una base para el espacio vectorial V dado.
a ) {(1, 1, 1), (1, 2, 3)}. V = R^3. b ) {1 + x , 1 + x + x^2 }. V = P 2 (R).
c )
{[
]
[
]
[
]}
. V = M 2 (R).
- Sean
L =
{[
]
[
]
[
]
[
]}
y
M =
{[
]
[
]
[
]
[
]}
bases ordenadas de M 2 (R) y sean
A =
[
]
y B =
[
]
a ) ¿Cuál es la matriz de transición P de la base L a la base M? b ) Hallar los vectores coordenadas de A y de B respecto a M utilizando P. c ) ¿Cuál es la matriz de transición Q de la base M a la base L? d ) Hallar los vectores coordenadas de A y B respecto a L utilizando Q.
