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CAP´ıTULO 2
Espacios vectoriales
- Definiciones b´asicas
En lo que sigue k denotar´a un cuerpo arbitrario: e.g. el cuerpo de los n´umeros reales R, el cuerpo de los n´umeros racionales Q, el cuerpo de los n´umeros complejos C, etc.
Recordamos que en un cuerpo siempre existen dos operaciones, la suma y el produc- to, dos elementos distinguidos, 0, 1 ∈ k, que son el neutro de la suma y del producto respectivamente — o sea si a ∈ k entonces a + 0 = 0 + a = a y a1 = 1a = a — y que existen tambi´en opuestos e inversos (inverso siempre que el elemento dado no sea nulo).
Definici´on 2.1. Un k–espacio vectorial V , o un espacio vectorial V sobre k, es un conjunto no vac´ıo munido de dos operaciones, una operaci´on suma, que es una funci´on
y una operaci´on producto por un escalar, que es una funci´on
· : k × V → V ,
sujetas a ciertas restricciones que detallaremos a continuaci´on, luego de fijar notaciones.
Los elementos de V , que se designar´an en general con las letras u, v, w ∈ V , se llaman vectores; los elementos de k se llaman escalares, y se designar´an en general con las letras a, b, c ∈ k. La operaci´on de suma asocia a un par de vectores (v, w) el vector v + w ∈ V y la operaci´on de producto por un escalar asocia a un par (a, v) formado por un escalar a ∈ k y un vector v ∈ V el vector av ∈ V.
Esas operaciones est´an regidas por las siguientes leyes:
- Propiedad asociativa de la suma. Si u, v, w ∈ V , entonces u+(v+w) = (u+v)+w.
- Existencia de un neutro para la suma. Existe un vector 0V ∈ V que cumple u + 0V = 0V + u = u para todo u ∈ V.
- Existencia del opuesto. Para todo v ∈ V existe w ∈ V tal que v+w = w+v = 0V. El elemento w (m´as tarde probaremos que es ´unico, ver Observaci´on 2.2) se llama el opuesto de v.
- Propiedad conmutativa de la suma. Para todo v, w ∈ V , v + w = w + v.
- Propiedad distributiva de la suma con respecto al producto por un escalar. Si a ∈ k y v, w ∈ V , entonces a(v + w) = av + aw.
- Propiedad distributiva de la suma de esalares multiplicados por un vector. Si a, b ∈ k y v ∈ V , entonces (a + b)v = av + bv.
- Propiedad asociativa. Si a, b ∈ k y v ∈ V , entonces a(bv) = (ab)v.
- Propiedad del neutro. Si v ∈ V , entonces 1v = v, donde 1 ∈ k es el neutro del producto en k.
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12 2. ESPACIOS VECTORIALES
Observaci´on 2.2. (1) Destacamos que el elemento neutro 0V ∈ V es ´unico y lo mismo sucede con el opuesto de un vector cualquiera v ∈ V. El opuesto de v se denota −v y se puede probar facilmente que −v = (−1)v. Es importante no confundir el elemento (^0) V ∈ V con el elemento 0 ∈ k. Por ese motivo se le pone a veces un sub´ındice al primero. Sin embargo, este sub´ındice se omite casi siempre porque no hay lugar a confusiones, y 0 v = 0V para todo v ∈ V , ver Ejercicio 2.2. Probemos, por ejemplo, que el neutro es ´unico: sea v ∈ V otro elemento tal que v + w = w para todo w ∈ V. Entonces v = v + 0V = 0V ; la primera igualdad es v´alida por ser 0V el neutro, y la segunda por definici´on de v. Dejamos la prueba de la unicidad del opuesto como ejercicio (ver Ejercicio 2.2).
(2) Los axiomas que aparecen en la definici´on anterior, que se llaman los axiomas de espacio vectorial, no son independientes y algunos se pueden probar a partir de los otros. Por ejemplo se prueba facilmente que el axioma tres se demuestra a partir de los otros tomando w = (−1)v. La propiedad conmutativa de la suma se demuestra desarrollando (1 + 1)(u + v) de las dos maneras posibles.
(3) Como en general se trabaja con un cuerpo fijo k, en lugar de decir k–espacios vectoriales o espacios vectoriales sobre k, diremos simplemente espacios vectoriales.
(4) Los axiomas 1–4 de la definici´on anterior nos dicen que (V, +, (^0) V ) es un grupo abeliano.
Veamos diferentes ejemplos de espacios vectoriales. Ejemplo 2.3. El conjunto kn^ =
(a 1 ,... , an) : ai ∈ k, i = 1, 2 ,... , n
, con las operaciones definidas de la siguiente manera:
(a 1 ,... , an) + (b 1 ,... , bn) = (a 1 + b 1 ,... , an + bn) a · (a 1 ,... , an) = (aa 1 ,... , aan)
es un espacio vectorial sobre k. En particular, tomando n = 1, obtenemos el cuerpo de base que se puede pensar como un espacio vectorial sobre s´ı mismo.
Es importante destacar que los vectores de kn^ se representan ya sea como filas, en la
forma de arriba o como columnas en la forma:
a 1 .. . an
Ejemplo 2.4. El conjunto kN^ =
(a 1 ,... , an,... ) : ai ∈ k, i = 1, 2 ,...
, con las operaciones definidas de la siguiente manera:
(a 1 , a 2 ,... ) + (b 1 , b 2 ,... ) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 ,... ) a(a 1 , a 2 ,... ) = (aa 1 , aa 2 ,... )
es un espacio vectorial sobre k. Observar que kN^ puede pensarse como el conjunto de las sucesiones con valores en k.
Ejemplo 2.5. El conjunto C[a, b] =
f : [a, b] → R : f continua
; es un espacio vectorial sobre R con las operaciones usuales entre funciones.
Ejemplo 2.6. Si k′^ ⊂ k es un subcuerpo de k, entonces el cuerpo mayor es un espacio vectorial sobre el menor. Por ejemplo, Q ⊂ R, as´ı R es un Q–espacio vectorial.
14 2. ESPACIOS VECTORIALES
Observaci´on 2.12. Se puede definir la resta de vectores de la siguiente forma, si u, v ∈ V entonces, u − v = u + (−v), y se cumple que w = u − v si y s´olo si u = w + v.
- Subespacios vectoriales
Definici´on 2.13. Si V es un espacio vectorial y W ⊂ V es un subconjunto, se dice que W es un subespacio vectorial, o simplemente subespacio, de V si se verifica:
- 0 ∈ W.
- Si v, w ∈ W entonces v + w ∈ W.
- Si a ∈ k y v ∈ W , entonces av ∈ W.
Observaci´on 2.14. (1) Sea W un subespacio vectorial de V. Es claro que si res- tringimos las operaciones de V al subconjunto W (lo que se puede hacer gracias a las condiciones 2 y 3 de la definici´on) obtenemos un espacio vectorial. Salvo menci´on expl´ıci- ta, un subespacio se considera siempre con esta estructura, llamada estructura inducida.
(2) Si W es un subespacio de V , es claro que si v 1 ,... , vn ∈ W y a 1 ,... , an ∈ k entonces a 1 v 1 + · · · + anvn =
∑n i=1 aivi^ ∈^ W^. (3) Las condiciones (1) y (2) de la definici´on 2.13 dicen que (W, +, (^0) V ) es un subgrupo del grupo abeliano (V, +, (^0) V ).
Ejemplos 2.15. A continuaci´on presentamos diversos ejemplos de subespacios de espacios vectoriales.
(1) Si V es un espacio vectorial, entonces { 0 } y V son subespacios. Son llamados los subespacios triviales.
(2) Si V = kn^ entonces W =
(a 1 ,... , an) ∈ kn^ : a 1 = 0
es un subespacio. (3) Si V = kn^ entonces W =
(a 1 ,... , an) ∈ kn^ : a 1 + a 2 + · · · + an = 0
. En general, si ξ 1 ,... , ξn ∈ k, entonces
W =
(a 1 ,... , an) ∈ kn^ : ξ 1 a 1 + ξ 2 a 2 + · · · + ξnan = 0
es un subespacio de kn.
(4) (a) Si V = k^2 , entonces W =
(a 1 , a 2 ) ∈ V : a 1 a 2 = 0
no es un subespacio. Sin embargo, se verifica que si v ∈ W y a ∈ k, entonces av ∈ W. (b) Complementariamente, si V = R^2 , entonces W =
(a 1 , a 2 ) ∈ V : a 1 , a 2 ∈ Z
verifica la condici´on que la suma de dos elementos de W est´a en W , pero W no es un subespacio.
(5) Si V = kN^ es el espacio de las sucesiones, entonces W =
(ai)i∈N : la sucesi´on (ai)i∈N tiene l´ımite finito
W 0 =
(ai)i∈N : la sucesi´on (ai)i∈N tiene l´ımite cero
son subespacios. Mas a´un, W 0 ⊂ W ⊂ V ; decimos en este caso que tenemos una cadena de subespacios.
(6) Si V = R(a,b), el espacio de todas las funciones de (a, b) en R, los subconjuntos
C(a, b) =
f : (a, b) → R : f es continua
- SUBESPACIOS VECTORIALES 15
y D(a, b) =
f : (a, b) → R : f es derivable
son subespacios. Nuevamente tenemos una cadena de subespacios D(a, b) ⊂ C(a, b) ⊂ V.
(7) Si V es un espacio vectorial y v ∈ V , definimos 〈v〉 = {av : a ∈ k}, o m´as en general, si v, w ∈ V son dos vectores de V , definimos 〈v, w〉 = {av + bw : a, b ∈ k}. Se verifica facilmente que 〈v, w〉 es un subespacio de V. Ver Definici´on 2.16. Adem´as si v = cw entonces 〈v, w〉 = 〈v〉. (8) Si V es un espacio vectorial y W 1 , W 2 ⊂ V , es f´acil ver que W 1 ∩ W 2 es tambi´en un subespacio de V. M´as en general, si {Wi : i ∈ I} es una familia de subespacios de V entonces
i Wi^ ⊂^ V^ es un subespacio de^ V^. En otras palabras, la intersecci´on de una familia cualquiera de subespacios es siempre un subespacio. Es importante observar que la intersecci´on de dos subespacios (y tambi´en de una familia arbitraria de subespacios) nunca es el conjunto vac´ıo, ya que siempre contiene al cero. Por ejemplo, si tomamos en k^2 los subespacios
y
, su intersecci´on es el subespacio cero; ´esta es la menor intersecci´on posible.
(9) El subconjunto kn[t]n ⊂ k[t] de los polinomios de grado menor o igual a n es claramente un subespacio.
Definici´on 2.16. Sea V un espacio vectorial y X ⊂ V un conjunto cualquiera. Se considera la siguiente familia de subespacios de V , FX = {W : X ⊂ W ⊂ V } —F es la familia de todos los subespacios de V que contienen a X. Se define el subespacio generado por X y se denota 〈X〉, como 〈X〉 =
W ∈FX W^.
Observaci´on 2.17. (1) Si X = V , la familia FX consta s´olo de un elemento — el espacio V —, luego 〈V 〉 = V.
(2) Es claro que la Definici´on 2.16 generaliza las situaciones consideradas en el Ejem- plo 2.15 (8) poniendo X = {v} y X = {v, w} respectivamente, ver Observaci´on 2.22 y Ejercicio 4.8.
〈 (3) Puede suceder que^ X^6 =^ Y^ pero que^ 〈X〉^ =^ 〈Y^ 〉. Eso sucede. p.e., en el caso de (1, 0), (0, 1)
= k^2. Definici´on 2.18. Si W, U ⊂ V son subespacios de V se define la suma W + U = {w + u : w ∈ W, u ∈ U }. Observaci´on 2.19. Si W, U ⊂ V son subespacios de V , entonces W + U es tambi´en un subespacio de V. Adem´as W + U =
W ∪ U
. Omitimos la prueba de este resultado, que es un caso particular del Lema 2.21.
Definici´on 2.20. Si V es un espacio vectorial y {Wi : i ∈ I} es una familia de subespacios de V , se define ∑
i∈I
Wi =
i∈I
Wi
Lema 2.21. Si V es un espacio vectorial y {Wi : i ∈ I} es una familia de subespacios de V , entonces ∑
i∈I
Wi =
i∈I
wi : wi ∈ Wi, donde wi = 0 excepto para un n´umero finito de i ∈ I
- SUBESPACIOS VECTORIALES 17
Demostraci´on. Si vale la condici´on (2) es claro que U =
i Wi. Para probar que los∑ Wi, i ∈ I, son linealmente disjuntos, usamos la unicidad garantizada en (2): si
i wi^ = 0 para alguna familia de elementos, como tambi´en tenemos que^
i wi^ =^
i 0 y la unicidad implica que wi = 0 para todo i ∈ I.
Que la condici´on (1) implica la condici´on (2) se prueba de forma semejante. Que U =
i∈I Wi, o sea la existencia de una descomposici´on de la forma^ u^ =^
i wi, sigue directamente de la definici´on de suma directa. Con respecto a la unicidad razonamos como sigue: sea w ∈ U y supongamos que admite dos descomposiciones w =
i wi^ =^
i vi, vi, wi ∈ Wi. Entonces 0 = w − w =
i wi^ −^
i vi^ =^
i(wi^ −^ vi), y como los espacios^ Wi son linealmente disjuntos deducimos que wi = vi para todo i ∈ I, i.e., la descomposici´on es ´unica. §
Observaci´on 2.29. La condici´on (2) del Lema 2.28 puede reescribirse como sigue:
(2’) U =
i∈I Wi^ y si^ u^ ∈^ U^ , entonces la descomposici´on^ u^ =^
i∈I wi,^ wi^ ∈^ Wi^ es ´unica.
Lema 2.30. Supongamos que V es un espacio vectorial y {Wi : i ∈ I} es una familia de subespacios. Los subespacios son linealmente disjuntos si y s´olo si para todo j ∈ I tenemos que Wj ∩
i∈I{j} Wi^ =^ {^0 }.
Demostraci´on. Supongamos que existe j ∈ I y 0 6 = w ∈ Wj ∩
i∈I{j} Wi. Entonces wi 1 + · · · + win − w = 0 es una representaci´on del cero por vectores de subespacios diferentes, luego w = 0.
El rec´ıproco se prueba de forma similar y es dejado como ejercicio, ver Ejercicio 4.11. §
Observaci´on 2.31. En el caso que tengamos s´olo dos subespacios, la afirmaci´on anterior significa que W 1 y W 2 son linealmente disjuntos si y s´olo si W 1 ∩ W 2 = { 0 }.
En el caso de tres subespacios W 1 , W 2 , W 3 , observar que no basta con que W 1 ∩ W 2 = W 2 ∩ W 3 = W 1 ∩ W 3 = { 0 } para que los tres subespacios sean linealmente disjuntos. Eso lo muestra el siguiente ejemplo: sean V = k^3 , W 1 =
(0, y, z) : y, z ∈ k
W 2 =
(x, 0 , 0) : x ∈ k
, W 3 =
(x, x, 0) : x ∈ k
y el vector (1, 0 , 0) + (− 1 , − 1 , 0) = (0, − 1 , 0) ∈ W 1 ∩ (W 2 + W 3 ).
Ejemplo 2.32. Si M ∈ Mn(R) definimos su matriz traspuesta, que la denotamos por tM , como la matriz obtenida a partir de la matriz M intercambiando las filas por las
columnas. Por ejemplo si M =
3 4
, entonces tM =
2 4
Se definen los dos siguientes subespacios de Mn(R):
S =
M ∈ Mn(R) : tM = M
A =
M ∈ Mn(R) : tM = −M
Se cumple que S ⊕A = Mn(R). Efectivamente, la igualdad M = 1 / 2 (M +tM )+^1 / 2 (M − tM ) garantiza que S + A = Mn(R). Se prueba que S y A son linealmente disjuntos de la
siguiente forma: sea M ∈ S ∩ A, entonces, −M = tM = M y conclu´ımos que M = 0.
18 2. ESPACIOS VECTORIALES
- Transformaciones lineales
En matem´atica, cada vez que se define un tipo de objetos — e.g. conjuntos, espacios vectoriales, grupos, espacios topol´ogicos — es necesario definir tambi´en los morfismos entre esos objetos. En el caso de los conjuntos los correspondientes morfismos son las funciones, para grupos son los homomorfismos de grupos, para espacios topol´ogicos son las funciones continuas. En el caso de los espacios vectoriales los morfismos ser´an las fun- ciones que “respetan” la suma y el producto por un escalar, en el sentido que describimos a continuaci´on; dichas funciones ser´an llamadas transformaciones lineales.
Definici´on 2.33. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo k. (1) Se dice que una funci´on T : V → W es una transformaci´on lineal si para todo u, v ∈ V y a, b ∈ k se verifica que T (au + bv) = aT (u) + bT (v). Se dice que una transformaci´on lineal T : V → W es un isomorfismo lineal si T es biyectiva como funci´on. Un isomorfismo lineal tambi´en se llama simplemente un isomor- fismo y se dice que T es invertible. En ese caso (o sea en el caso que exista un isomorfismo entre V y W ) se dice que estos espacios son isomorfos. En general si V y W son isomorfos escribimos que V ∼= W.
(2) El conjunto de todas las transformaciones lineales de V en W se denota como Homk(V, W ), que frecuentemente se abrevia como Hom(V, W ).
(3) Si V = W y T : V → V es una transformaci´on lineal decimos que T es un endomorfismo de V. Al conjunto de todos los endomorfismos de V se lo denota como Endk(V ) o End(V ).
(4) En el caso en que el codominio de una transformaci´on lineal sea el cuerpo de base, o sea si T : V → k, decimos que T es una funcional lineal. En ese caso Hom(V, k) se abrevia como V ∗^ y se llama el espacio vectorial dual de V , o el espacio dual de V.
Observaci´on 2.34. Si una transformaci´on lineal T : V → W es invertible, entonces su funci´on inversa T −^1 : W → V es tambi´en una transformaci´on lineal. Efectivamente, supongamos que T (v 1 ) = w 1 y T (v 2 ) = w 2. Entonces si a, b ∈ k, T −^1 (aw 1 + bw 2 ) y aT −^1 (w 1 ) + bT −^1 (w 2 ) son iguales. Esto se deduce porque si le aplicamos T a ambas expresiones obtenemos el mismo elemento aw 1 + bw 2. Como T es bijectiva de ah´ı se deduce que T −^1 (aw 1 + bw 2 ) = aT −^1 (w 1 ) + bT −^1 (w 2 ).
Lema 2.35. Sean V y W espacios vectoriales y T : V → W una transformaci´on lineal.
(1) Si v ∈ V , entonces T (−v) = −T (v), y adem´as T (0) = 0. (2) Si U ⊂ V es un subespacio de V entonces, T |U : U → W es una transformaci´on lineal.
(3) Si U ⊂ V es un subespacio de V , entonces el conjunto T (U ) =
T (u) : u ∈ U
es un subespacio de W. En particular T (V ) = Im(T ) es un subespacio de W.
(4) Si L ⊂ W es un subespacio de W , entonces T −^1 (L) ⊂ V es un subespacio de V.
Demostraci´on. (1) Si v ∈ V , entonces T (−v) = T
(−1)v
= (−1)T (v) = −T (v). Por otro lado, T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0), de donde se deduce sumando −T (0) en ambos lados de la igualdad que T (0) = 0.
20 2. ESPACIOS VECTORIALES
(3) Si T : V → W es una transformaci´on lineal, la funci´on a 7 → aT : k → Homk(V, W ) es una transformaci´on lineal.
(4) Un elemento A ∈ Mm×n define una transformaci´on lineal LA : kn^ → km^ mediante la siguiente f´ormula:
LA
( (^) x 1 x 2 .. . xn
( (^) y 1 y 2 .. . ym
y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn ......................... ym = am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn
(5) El mapa A 7 → LA : Mm×n → Homk(kn, km) define una transformaci´on lineal. Probaremos m´as tarde que es un isomorfismo.
(6) La funci´on D : D(a, b) → R(a,b), D(f ) = f ′, es una transformaci´on lineal. En ese caso N(D) ⊂ D(a, b) es el subespacio de las funciones constantes, i.e., el subespacio de dimensi´on 1 generado por la funci´on constantemente igual a 1.
(7) Si V es un espacio vectorial arbitrario, entonces Hom(k, V ) ∼= V. Para probar esta afirmaci´on se define la transformaci´on lineal Γ : Hom(k, V ) → V , Γ(T ) = T (1) si T ∈ Hom(k, V ). Definimos tambi´en ∆ : V → Hom(k, V ) ∆(v) : k → V , ∆(v)(a) = av si a ∈ k. Es f´acil ver que ∆ = Γ−^1.
Observaci´on 2.39. Sean V y W espacios vectoriales y T : V → W una transforma- ci´on lineal. Por definici´on, T es sobreyectiva si Im(T ) = W.
Veremos a continuaci´on un criterio para detectar cu´ando una trasnformaci´on lineal es inyectiva.
Lema 2.40. Sean V y W espacios vectoriales y T : V → W una transformaci´on lineal. Entonces T es inyectiva (pensada como funci´on entre los conjuntos V y W ) si y s´olo si N(T ) = { 0 }.
Demostraci´on. Supongamos que T es injectiva; en ese caso si T (v) = 0, como 0 = T (0) tenemos la igualdad T (v) = T (0) de la cual deducimos que v = 0. Hemos probado que si un vector v ∈ V verifica que T (v) = 0, entonces v = 0, en definitiva N(T ) = { 0 }.
Rec´ıprocamente, si T (v) = T (v′), T (v − v′) = 0 y si la transformaci´on lineal tiene n´ucleo cero conclu´ımos que v − v′^ = 0, i.e., v = v′. Hemos probado que si dos vectores v, v′^ ∈ V tienen la misma imagen por T entonces son iguales. Eso quiere decir que T es inyectiva como funci´on. §
