Algebra Lineal I, Apuntes de Álgebra

¡Descarga Algebra Lineal I y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity!

José A. Montero, Xavier Sevillano, Joan Claudi Socoró 1/09/

Àlgebra lineal

Tema I: Determinants

i matrius

Índex de continguts

• Àlgebra lineal – Apunts de classe 2011‐
• 1. CONCEPTES BÀSICS DE MATRIUS
• 1. DETERMINANTS I MATRIUS
  • 1.1 Concepte de determinant i propietats
  • 1.2 Càlcul de determinant per adjunts
  • 1.3 Rang d’una matriu
  • 1.4 Inversa d’una matriu
• PROBLEMES PROPOSATS
  • Problema P.1...............................................................................................................
  • Problema P.2...............................................................................................................
  • Problema P.3...............................................................................................................
  • Problema P.4...............................................................................................................
  • Problema P.5...............................................................................................................
  • Problema P.6...............................................................................................................
  • Problema P.7...............................................................................................................
  • Problema P.8...............................................................................................................
  • Problema P.9...............................................................................................................
  • Problema P.10.............................................................................................................
  • Problema P.11.............................................................................................................
  • Problema P.12.............................................................................................................
  • Problema P.13.............................................................................................................
  • Problema P.14.............................................................................................................
  • Problema P.15.............................................................................................................
  • Problema P.16.............................................................................................................
  • Problema P.17.............................................................................................................
  • Problema P.18.............................................................................................................
  • Problema P.19.............................................................................................................
  • Problema P.20.............................................................................................................
• PROBLEMES RESOLTS
• Problema R.1
• Problema R.2

4 0. Conceptes bàsics de conjunts

Tipus de matrius

∙ A columna: A∈Mnx ∙ A fila: A∈M1xm ∙ A quadrada: A∈Mnxn ∙ A trasposta: La trasposta de A∈Mnxm és A T^ = (a (^) ji)∈Mmxn i es forma canviant files per columnes ∙ A conjugada: La conjugada de A∈Mnxm és A *^ = (a *ij )∈Mnxm i es forma conjugant els elements de A ∙ A hermítica: si A *=A T ∙ A simètrica: si A=A T ∙ A diagonal: si a (^) ij =0 ∀ i≠j ∙ Matriu identitat: I∈M (^) nxn on a (^) ij =0 ∀ i≠j a (^) ij =1 ∀ i=j ∙ A inversa: La inversa de A∈Mnxm és A‐^1 que verifica que A∙A‐^1 =A‐^1 ∙A=I ∙ A ortogonal: si A‐^1 =A T ∙ A regular: si det A≠ 0 ∙ A singular: si det A= ∙ A idempotent: si A 2 =A ∙ A triangular superior: si A∈Mnxn i a (^) ij=0 ∀ i>j ∙ A triangular inferior: si A∈Mnxn i a (^) ij=0 ∀ i<j ∙ A involutiva: si A 2 =I

5 1. Determinants i matrius

1. DETERMINANTS I MATRIUS

1.1 Concepte de determinant i propietats

El determinant d’una matriu quadrada A∈M (^) nxn és un únic nº escalar ∈K cos commutatiu que s’associa a A mitjançant una regla de càlcul

det( A)

a a a a a a

a a a

n n

n n nn

11 12 1 21 22 2

1 2

K

K

M M O M

K

Casos particulars: n=1 ⇒ a^11 =a 11

n=2 ⇒

a a a a a^ a^ a^ a

11 12 21 22 11 22 21 12

n=3 ⇒ a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a

11 12 13 21 22 23 31 32 33

Regla de Sarrus

Propietats dels determinants:

Sigui A ( )

a a a a a a

a a a

C C C

n n

n n nn

= n

11 12 1 21 22 2

1 2

1 2

K

K

M M O M

K

K on C (^) i és la columna i‐essima

de manera que C

a a

a

i

i i

ni

1 2 M

1.) det C( 1 K C (^) j 1 0 C (^) j 1 Cn) 0

r − + K =^ si^ una^ columna^ és^ tot^ zeros^ ⇒^ det(^ A^ )=^0 2.) det C( 1 K C (^) i K C (^) i K Cn)= 0 si dues columnes són iguals ⇒ det( A )= 0 3.) (^) det C( C (^) j C (^) n ) i Ci ii j

n 1 K^ K^ =^0 =^ = 1 ≠

si C j ∑λ

si alguna columna és C.L. (combinació lineal) de la resta ⇒ (^) det( A) = 0

7 1. Determinants i matrius

1.2 Càlcul de determinant per adjunts

Sigui (a (^) ij ) ∈Mnxn , l’ADJUNT de l’element a (^) ij és:

adj{aij} = (‐1) i+j^ ∙ det(Aij)

on A (^) ij ∈M (^) (n‐1)x(n‐1) és la matriu que s’obté suprimint la fila “i” i la columna “j” a la matriu A.

Càlcul det(A):

det( ) ( )

A a adj a

a adj a

ik ik k

n

k kj^ kj

n

=

=

amb "i" una fila qualsevol

amb " j" una columna qualsevol

1

1

NOTA: és el mètode de càlcul de determinants habitual per a matrius d’ordre >3.

Exemple :

det( A)

a a a a a a a a a a a a a a a a

11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44

desenvolupem det(A) per la fila 1

a

a a a a a a a a a

a

a a a a a a a a a

a

a a a a a a a a a

a

a a a a a a a a a

11 1 1

22 23 24 32 33 34 42 43 44

12 1 2

21 23 24 31 33 34 41 43 44

13 1 3 21 22 24 31 32 34 41 42 44

14 1 4 21 22 23 31 32 33 41 42 43

normalment, s’aplica aquesta propietat fins a obtenir matrius d’ordre 3 on apliquem la Regla de Sarrus.

Exercici : Demostrar per adjunts el fet que el det(A), quan A és una matriu quadrada triangular, es calcula fent el producte dels elements de la diagonal.

8 1. Determinants i matrius

1.3 Rang d’una matriu

Sigui A ∈Mnxm no nul.la, rang(A) és un nº natural associat a A que determina una característica seva, rang(A)∈N

MENOR D’ORDRE p (p ≤ n, p ≤ m) d’una matriu A ∈Mnxm és el determinant d’una matriu quadrada ∈Mpxp que s’obté suprimint “n‐p” files i “m‐p” columnes a la matriu A

Diem RANG(A) a l’ordre del “menor” més gran de A que sigui diferent de 0.

NOTA: Si una matriu A és no nul∙la ⇒ rang(A) ≥ 1, ja que existeix algun menor d’ordre 1 ≠ 0.

Exemple :

Calculeu el rang de la següent matriu

A =

1.4 Inversa d’una matriu

Sigui A ∈Mnxn quadrada i det(A) ≠ 0, aleshores existeix A‐^1 ∈Mnxn (INVERSA de A) tal que:

A∙ A‐^1 = A‐^1 ∙A = Id

Mètodes per al càlcul d’A‐^1 : a) Tradicional b) Gauss (es veurà en el tema següent)

Mètode tradicional :

A -1^ = = [ ]

det( A ) Adj^ (^ A^ )^ det( A) Adj^ (^ A)

T T

on Adj(A) ∈M (^) nxn és la matriu que s’obté substituint cada element de A pel seu adjunt.

10 Problemes proposats

PROBLEMES PROPOSATS

Problema P. Raona (sense aplicar Sarrus), que les arrels del següent polinomi són 5, 7 i ‐12:

Problema P. El mateix que l’exercici anterior, però ara amb arrels a , b , i ‐(a+b) :

Problema P. Demostra aplicant només propietats dels determinants:

Problema P. Resol l’equació següent mitjançant transformacions del determinant (aplicant propietats):

Problema P. Demostra la següent igualtat aprofitant el màxim nombre de propietats dels determinants:

Problema P. Calcula en funció d’ N , a i b , el determinant d’una matriu de N x N amb la següent estructura:

p ( x )^ =

x 7 7 7 x 5 5 5 x

p ( x )^ =

x a a a x b b b x

x 3 3 3 3 x 2 2 2 2 x 9 1 1 1 1

= ( x − 2 )( x − 3 )( x − 9 )

x 2 x + 1 2 x + 1 2 x + 1 3 x − 1 4 x 3 x − 1 4 x 6 x − 1

x − 1 x^2 − 1 x^3 − 1 2 x − 4 x^2 − 4 x^3 − 8 3 x − 9 x^2 − 9 x^3 − 27

= − 2 x ( x − 1 )( x − 2 )( x − 3 )

11 Problemes proposats

ANxN = ( a i j ) =

a i = j b i ≠ j

Problema P. Demostra, aplicant les propietats dels determinants, la següent igualtat:

Problema P. Demostra la següent afirmació:

La condició necessària i suficient per a que una matriu A (de dimensions n x n ) sigui involutiva és :

éssent I la matriu identitat d’ordre N i B la matriu nul∙la d’ordre N.

Problema P. Comprova mitjançant les propietats dels determinants:

1 a b + c 1 b c + a 1 c a + b

= 0 a ,^ b ,^ c^ ∈ℜ

Problema P. Troba el determinant de la matriu A:

SOLUCIÓ: Det( A ) = 6.

Problema P. Demostra la següent igualtat:

1 x x^2 1 y y^2 1 z z^2

= ( x − y )( y − z )( z − x )

( I − A ) ( I + A ) = B

A =

0 1 + i 1 + 2 i 1 − i 0 2 − 3 i 1 − 2 i 2 + 3 i 0

1 + a 1 1 1 1 1 + b 1 1 1 1 1 + c 1 1 1 1 1 + d

= abcd + bcd + acd + abd + abc

13 Problemes proposats

a) b) c) d)

Fes‐ho per 2 mètodes diferents.

SOLUCIÓ : a) ⎟

b) det = 0 c) 38

d) det = 0

Problema P. Sigui la matriu:

⎟⎟⎠

A

Troba la matriu X de 2 × 2 d’elements complexes que satisfà la següent igualtat:

A^2 + AX + I = N

essent I la matriu identitat d’ordre 2, i N la matriu nul∙la d’ordre 2.

SOLUCIÓ : ⎟⎟

X A A^11

Problema P. Trobeu, aplicant el mètode de reducció de Gauss‐Jordan, el rang de les matrius següents:

SOLUCIÓ : rang(A) = 4, rang(B) = 4, rang(C) = 2.

Problema P. Demostra la següent igualtat, aplicant el màxim de propietats dels determinants:

b a c b

b c a a

c c a b

abc

A =

⎟ B^ =

⎟ C =

14 Problemes proposats

Problema P. Calcula el determinant de la següent matriu genèrica d’ordre N :

A

N

N

N

N N N

= M N N

∈ ×

L

K

L

M M M O M

K

Problema P. Calcula el determinant de la següent matriu genèrica d’ordre N:

A

a a a a

b a a a

b b a a

b b b a

= M N N

∈ ×

L

L

L

M M M

L

16 Problemes resolts

Problema R. Troba el rang de les següents matrius:

a) b) c) d)

SOLUCIÓ:

a) Aplicant la regla de Sarrus per trobar el seu determinant:

det(M)=

‐ Si det(M) ≠ 0 ⇒ Rang M ( )= 3 ‐ Si det(M) = 0 ⇒ Rang M ( )≤ 2

Com el determinant de la matriu és ≠ 0, el seu rang és el mateix de l’ordre de la matriu, és a dir, 3.

b) Com la matriu no es quadrada el seu rang serà l’ordre del menor més gran que tingui un determinant diferent de zero. D’aquesta matriu podem obtenir els següents quatre menors d’ordre 3:

2 1 3 1 0 1 6 2 4

Tots els determinants dels menors són zero; això vol dir que Rang (^^ M )≤^2. Calculem el determinat dels menors d’ordre 2, si un d’ells és diferent de zero el rang serà 2.

Per exemple; 0 2 2 4

c) Trobarem el determinant de la matriu mitjançant el càlcul del determinant per adjunts. Definim un cofactor o adjunt de l’element Ai j de la matriu (M) com adjunt de l’element { a (^) i (^) j } (= − 1 ) i +^ j ⋅det{ M (^) ij }. On M (^) i j és la matriu que resulta de suprimir la fila ‘i’ i la columna ‘j’.

Així doncs resolem segons hem definit:

RANG (M) = 2

17 Problemes resolts

( ) ( ) ( ) 0 2 2 1

det 1 12 4 5 =

M = ⋅− ⋅

det( M ) = 0 ⇒ rang( M ) ≠ 4 , és a dir, rang( M ) ≤ 3 Calculem els menors d’ordre 3, si algun té determinant ≠ 0 , aleshores rang M =3. Com els determinants dels menors d’ordre 3 anteriors són diferents de zero podem dir :

d) Com és una matriu no quadrada (^) [ M (^) 4 × 5 ]el RangM ≤ 4. Agafarem un dels menors d’ordre 4 i el resoldrem per adjunts. Per exemple:

( ) ( ) ( ) ( ) 32 0 5 1 2

det = −^2 − + −^3 +−^4 − + −^5 − = ≠ −

Com el determinant d’aquest menor d’ordre quatre és diferent de zero, el rang de la matriu és 4.

NOTA: El rang d’una matriu també es pot calcular pel mètode de Gauss, de forma que el rang serà igual al número de files diferents de zero de la matriu resultant després d’acabar el procés de eliminació Gaussiana.

RANG (M) = 3

RANG (M) = 4