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ALGEBRA MATRICIAL
1.1 Definición de matriz y operaciones
Matrices Si m , n ≥ 1 son números naturales, una matriz m × n de números reales es una
tabla A de m-n números reales ordenados en m filas y n columnas.
Al número que ocupa la fila i y la columna j se representa por aij , por lo que una matriz A
se representa también por A = ( aij ). Así pues, una matriz m × n es de la forma
m m mn
n
a a a
a a a A ....
... ... ...
...
1 1
11 12 1
EJEMPLOS
Suma Si A = ( aij ) y B = ( bij ) son matrices m×n , entonces A + B = ( aij + bij ).
EJEMPLOS
Producto por un escalar Si α R y A = ( aij ) es una matriz m×n , entonces:
αA = ( α aij ).
EJEMPLOS
DEMOSTRAR QUE CON ESTAS DOS OPERACIONES ES UN ESPACIO VECTORIAL SOBRE
Producto de matrices Si A = ( aij ) es m×n y B = ( bij ) es n×r , entonces AxB es la
matriz m × r que en la posición ( i, j ) tiene el número ai 1 b 1 j + · · · + ainbnj.
EJEMPLOS
Trasposición Si A es una matriz m × n , se llama matriz traspuesta de A a la matriz n×m
representada por At^ dada por atij = aji , es decir, At^ es la matriz que resulta de cambiar filas
por columnas.
EJEMPLOS
1.2 Tipos de matrices
Matrices cuadradas Las matrices con el mismo número de filas y de columnas se llaman cuadradas, mientras que si no son cuadradas se llaman rectangulares. Normalmente, en lugar de decir que una matriz cuadrada es n × n se dice que es de orden n.
Matriz nula La matriz nula m × n es la matriz cuyos coeficientes son todos 0.
Matrices fila y columna Una matriz fila (o vector fila ) es una matriz 1 × n. Una matriz columna (o vector columna ) es una matriz n× 1. EJEMPLOS
Matrices diagonales Decimos que una matriz cuadrada A = ( aij ) es diagonal si se cumple que aij = 0 para i ≠ j. EJEMPLOS
Matriz identidad La matriz identidad m × m es la matriz Im que tiene unos en la diagonal y el resto ceros. EJEMPLOS
Matrices triangulares Una matriz cuadrada A = ( aij ) es triangular superior si todos los elementos que están por debajo de la diagonal son cero, es decir, si aij = 0 cuando i > j. Diremos que A = ( aij ) es triangular inferior si son cero los elementos que están arriba de la diagonal, es decir, aij = 0 cuando i < j. EJEMPLOS
las matrices diagonales son triangulares superiores e inferiores a la vez.
En matrices rectangulares de una matriz triangular, se denominan matrices escalonadas que son aquellas matrices en las que aij = 0 si i > j.
1.3 Determinantes Cada matriz cuadrada A tiene asociado un número real llamado determinante de A , que representaremos por |A| o det A. Criterios para calcular determinantes de forma práctica
Matrices 1 × 1
Matrices 2 × 2
Matrices 3 × 3
Matrices m × n: Se aplican las siguientes propiedades.
Propiedades de los determinantes:
- Si una fila o columna contiene sólo ceros, el determinante es nulo.
- Si intercambiamos dos filas (o columnas) el determinante cambia de signo.
- Un escalar que multiplique a toda una fila (o columna) puede extraerse del
determinante.
- Si a una fila (o columna) le sumamos otra multiplicada por un número, el determinante
no varía.
- Si la matriz es triangular o diagonal, el determinante es el producto de los elementos
de la diagonal principal.
- El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.
- El determinante del producto de dos matrices es el producto de los dos determinantes.
1.4 Rango de matrices
Rango Dada una matriz A llamaremos rango de A , y lo denotaremos rang A , al orden de la mayor submatriz cuadrada contenida en A que tenga determinante no nulo. Es decir, diremos que el rango de A es r si contiene al menos una submatriz cuadrada de orden r con determinante distinto de cero y cualquier submatriz de A de orden r + 1 tiene determinante nulo. EJEMPLOS
Matrices orladas Dada una submatriz B de A , cuando añadimos a B una fila y una columna respetando la ordenación original de la matriz A decimos que hemos orlado la matriz B.
El rango de una matriz A verifica las siguientes propiedades:
a) Supongamos que existe una submatriz Ar de orden r tal que det Ar ≠ 0.
Si las matrices de orden r + 1 obtenidas orlando la matriz Ar tienen determinante nulo, entonces todas las submatrices de A de orden r + 1 tienen determinante nulo.
b) Las únicas matrices con rango 0 son las nulas.
c) Dos matrices equivalentes tienen el mismo rango.
EJEMPLOS
Algoritmo de Gauss-Jordan. Teorema : Dada una matriz cualquiera A Rmxn^ existen matrices F y U tales que FA = U siendo U una matriz escalonada. Demostración: Probaremos el teorema de forma constructiva.
- Comencemos por anular todos los elementos ai1 con 1 < i ≤ n.
- Si a 11 ≠ 0, mediante transformaciones elementales filas Fij() podemos anular todos los elementos de la primera columna situados por debajo de él. Estas transformaciones serían de la forma Fi1=( ) 11
1 a ai − ai
- Si a 11 = 0 y algún elemento de la primera columna es no nulo, podemos llevarlo al lugar (11) mediante una transformación Fij y proceder después como en el caso anterior.
- Si ai1 = 0 i = 1,..., m, la primera columna es de ceros y por tanto, ai1 = 0 i > 1, es decir, se trata de una columna del tipo de las matrices escalonadas.
- Procedemos después con a 22 (el elemento a 22 resultante de las transformaciones anteriores) al igual que procedimos con a 11 anteriormente, es decir, si a 22 ≠ 0 lo utilizamos para hacer ceros por debajo de él en la segunda columna. Si fuese a 22 = 0 vemos si existe por debajo de él algún elemento ai2 ≠0 y, en caso de haberlo, realizamos la transformación F2i, etc. La matriz F no es más que el producto de las matrices de las transformaciones elementales filas realizadas para pasar de A a U.
EJEMPLO: Calcular la inversa de la matriz: A=
1 2 0
0 1 1
1 3 0
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 2 0
0 1 1
1 3 0
1 1 1
1 0 1
2 0 3
1 1 1
1 0 1
2 0 3 A
0 0 1
0 1 0
1 0 0
|
|
|
1 1 1
1 0 1
2 0 3 ( 1 ) 0 0 1
0 1 1
1 0 0
|
|
|
1 1 1
0 1 0
2 0 3 ( 3 ) 0 0 1
0 1 1
1 0 3
|
|
|
1 1 1
0 1 0
1 3 0 ( 1 )
0 1 0
0 1 1
1 0 3
|
|
|
1 0 1
0 1 0
1 3 0 ( 3 ) 0 1 0
0 1 1
1 3 0
|
|
|
1 0 1
0 1 0
1 0 0 ( 1 ) 1 2 0
0 1 1
1 3 0
0 0 1
0 1 0
1 0 0 |
32 13 23
3 31 12
F F F
I A F F
F 23 (−1)F 13 (3)F 32 (1)F 12 (−3)F 31 (−1)(A) = I 3 F 23 (−1)F 13 (3)F 32 (1)F 12 (−3)F 31 (−1) = I 3
A-1^ A = I 3 A-1^ = [F 23 (−1)F 13 (3)F 32 (1)F 12 (−3)F 31 (−1)]
