Álgebra: Polinomios Especiales, Resúmenes de Álgebra

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Semana 6

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• Si P ( x ) = c ; c ≠ 0 → °[ P ]= 0 Ejemplos Si P ( x ) = – 5 → °[ P ]= 0 Si P ( ) (^) x = 2 → °[ P ]= 0
• Si P ( x ) ≡ 0 → °[ P ]= no definido Ejemplo Si P ( x ) = 0 x + 0 °[ P ]= no definido

¡Tenga en cuenta que...!

Si P ( x ) ≡ Q ( x ) entonces °[ P ]=°[ Q ] Ejemplo P ( x ) = x^2 – 4 x + 4 Q ( x ) = ( x – 2)^2 P ( x ) ≡ Q ( x ) Luego ∴ °[ P ]=°[ Q ]= 2

Observación

semana

Polinomios II

POLINOMIOS ESPECIALES

Polinomio constante

Es aquel polinomio cuyo valor numérico es siempre una constante, es decir

P ( x )= c ; c ≠ 0

Ejemplos

• P ( x ) = 20; para todo x.
• F ( (^) (^) x ) = (^2 + 1 ) (^2 − 1 ) ; para todo x.

Polinomio idénticamente nulo

Es aquel polinomio cuyo valor numérico siempre es cero.

Notación

P ( x ) ≡ 0; para todo x

Ejemplos

• P ( x ) = 0
• F ( x ) = 0 x + 0
• P ( x ) = 0 x^2 + 0 x + 0

Polinomios idénticos

Los polinomios P ( x ) y Q ( x ) son idénticos cuando tienen los mismos valores numéricos para cualquier valor que se asigne a su variable.

Notación

P ( x ) ≡ Q ( x ); para todo x

De la definición Si ax + b ≡ 7 x – 8

entonces a = 7 ; b = – 8

Si ax^2 +5 x + c^ ≡^10 x^2 + bx^ –^6

entonces a = 10 ; b = 5 ; c = – 6

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Problemas resueltos

1. Sea P ( x ) = ( a – 3) x^2 + ( b – 2) x + ab. Si P ( x ) es un polinomio constante, halle el valor de E = P ( a ) + P ( b ) + P ( ab )

Resolución Como P ( x ) es un polinomio constante P ( x ) = ( a – 3) x^2 + ( b – 2) x + ab → a – 3 = 0 ; b – 2 = 0 a = 3; b = 2

Luego P ( x ) = 6

Piden E = P (3) + P (2) + P (6) E = 6 + 6 + 6

∴ E = 18

1. Dado el polinomio

P ( x ) = ( a – 16) x^2 + ( b – 4) x + 2 c – 1 Si P ( x )≡ 0, calcule el valor de M ab^

c

− .

Resolución Como P ( x ) ≡ 0 a – 16 = 0; b – 4 = 0; 2 c – 1 = 0 a = 16; b = 4; c = 1 2

Piden

M = = =

−  ^

 

 ^

  16 4 16 16

1 2 1 4

1 2 1 4

M = 16 = 16

1 2

∴ M = 4

1. Dados los polinomios P ( x ) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + mx + n F ( x ) = ( x – 2)^4 ( x – 5) Si P ( x ) ≡ F ( x ), halle a + b + c + d + m.

Resolución Como P ( x ) ≡ F ( x )

Luego P (0) = F (0) n = ( – 2)^4 ( – 5) → n = – 80 P (1) = F (1) a + b + c + d + m + n = (1 – 2)^4 (1 – 5) a + b + c + d + m – 80 = – 4

∴ a + b + c + d + m = 76

1. Sea P ( x ) un polinomio mónico de grado 5 tal que 3 es una raíz de multiplicidad 2 y 1 es una raíz de multiplicidad 3. Calcule el valor de P (4) + P (2).

Resolución Aplicando la definición de raíz de multiplicidad. P ( x ) = ( x – 3)^2 ( x – 1)^3

Luego P (4) = (4 – 3)^2 (4 – 1)^3 = 27 P (2) = (2 – 3)^2 (2 – 1)^3 = 1

∴ P (4) + P (2) = 28

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P ráctica dirigida

1. ¿Cuáles de los siguientes polinomios son poli- nomios constantes? I. P ( x ) = (3 + x )(3 – x ) + x^2 II. F ( (^) (^) x ) = (^ x − 1 ) (^ x^2 + x + 1 ) − x^3 + 4 III. Q ( x ) = ( a – 3) x + 7 ; a ≠ 3 IV. f ( x ) = c^2 – 4 ; c ≠ 2 ; c ≠ – 2

A) I, II, III y IV B) I y II C) I, II y III D) I, II y IV E) III y IV

2. Dado el polinomio

P ( x ) = (2 a + 3 b – 7) x^2 + (5 a + 4 b – 14) x + c – 2 Si P ( x ) es un polinomio idénticamente nulo, calcule a + b + c.

A) 0 B) 7 C) 11 D) 5 E) 28

3. Dado los polinomios P ( x ) = ( a + b ) x + 7

Q ( x ) = 6 x + ab. Si P ( x ) y Q ( x ) son idénticos, determine el valor de a^2 + b^2.

A) 36 B) 49 C) 18 D) 38 E) 22

4. Dado el polinomio P (2 x – 1) = 8 x^2 + 14 x + 7

Si P ( x ) = ax^2 + bx + c , calcule el valor de c + 2 a + 3 b.

A) 20 B) 53 C) 60 D) 73 E) 28

5. Sea P ( x ) = 2 x^3 + (2 a – 1) x^2 + ( b – 2) x – 8 Si 2 es una raíz de P , halle el valor numérico de ab – 1^ + a – 1 b.

A)

B) -

C) 10

D) - 17

E) - 3

6. Dado el polinomio P ( (^) x ) = (^ a^2 − 9 ) x^3 + (^ ab + 12 ) x + a + b + 1 Si f ( x ) = bx – a y P ( x ) es constante, calcule f ( ab ).

A) 51 B) – 45 C) – 51

D) 46 E) 62

7. Dado P ( x ) = 3 x^2 + 7 x + 4, si P ( x + 2) + P ( x – 2) ≡ ax^2 + bx + c determine c ( a + b ).

A) 660 B) 640 C) 420

D) 400 E) 540

8. Sea F ( x ) = x^3 + x^2 + x + 1; F (2 x – 1) = ax^3 + bx^2 + cx + d. Indique el valor de b + c + d.

A) 12 B) – 12 C) – 4

D) 13 E) – 10

9. Dada la expresión matemática P x x

x  x + x  x

1 =^4 +^4 +^2 + 2

determine P ( x ).

A) P ( x ) = x^2 + x + 1 B) P ( x ) = x^2 + x C) P ( x ) = x^4 + x^2 D) P ( x ) = x^4 + 3 x^2 E) P ( x ) = x^4 – 3 x^2

10. Sea P ( x ) un polinomio de grado mínimo y mó- nico de tal manera que el número 4 es una raíz múltiple y 5 es una raíz simple. Si P ( x ) = ( x – a) n ( x – β) m ; P (6) = 32 calcule el valor de P (8).

A) 64 B) 81 C) 3072

D) 512 E) 1024

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01 - A 02 - D 03 - C 04 - D 05 - C 06 - E 07 - C 08 - A 09 - A 10 - C 11 - E 12 - D 13 - A 14 - B 15 - B

11. Se sabe que F ( x ) = x^2 ;

H ( x ) = F ( x + 1) + F ( x + 2) + F ( x + 3) +...+ F ( x + 10) Si H ( x ) = mx^2 + nx + p , halle m + n.

A) 110 B) 125 C) 130

D) 100 E) 120

12. Dada la expresión matemática F ( x ) = 5 x indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones. I. F ( a + b ) = F ( a ) F ( b ) ∀ a ; b ∈ R II. F ( (^) (^) ab ) =  F ( a ) b ∀ a ; b ∈ R III. F ( (^) − (^) x ) =  F ( x )  −^1 ∀ x ∈ R

A) VFF B) VVF C) FFF D) VVV E) VFV

13. Dados los polinomios P ( x ) = x^3 + x + 5; F ( x ) = x^5

indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones.

I. Q ( x ) = P ( x ) + P ( – x ) es un polinomio constante. II. R ( x ) = F ( x ) + F ( – x ) es un polinomio nulo. III. T ( x ) = P ( x ) – P ( – x ) es un polinomio cúbico.

A) VVV B) FFF C) FFV D) VVF E) VFF

14. Se tiene el polinomio P ( x )= ax^3 + bx^2 + cx + d. Si 5 es una raíz de multiplicidad par; 2 es una raíz simple; además, P (6)=40, calcule el valor de P (7)

A) 100 B) 300 C) 200 D) 210 E) 140

15. Dados los polinomios P ( x ) = ( x – 2)( x – 3); Q ( x ) = x^2 + ax + 15. Si P ( x ) y Q ( x ) tienen una raíz en común, halle el máximo valor de a.

A) -

B) – 8 C) – 12

D) -

E) -