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Práctica 1
Álgebra vectorial - Primera parte
Ejercicios
Ejercicio 1. Dados los puntos P = (3, 1) y Q = (1, − 5 ) ∈ R^2 :
a) Graficarlos en el plano.
b) Calcular y representar gráficamente los puntos P + Q , P − Q , 3.P , −2.Q y P + 12 Q. c) Representar en un mismo gráfico 3.P , −2.Q y 3.P − 2.Q.
d) Graficar los conjuntos A = {a.P ∈ R^2 / a ∈ R} y B = {b.Q ∈ R^2 / b ∈ R} e) Determinar geométricamente para qué valores de (x, y) existen a y b ∈ R tales que a.P + b.Q = (x, y).
Ejercicio 2.
a) Representar gráficamente en R^3 los puntos P = (1, 0, 0) , Q = (1, 1, 0) , R = (1, 1, 1) y calcular y representar gráficamente los puntos S = P + Q , T = Q − R y V = 12 .R − P. b) Un cubo tiene vértices en (0, 0, 0) , (1, 0, 0) , (0, 1, 0) y (0, 0, 1). Escribir las coordenadas de los otros 4 vértices.
c) Hallar, si es posible, a , b y c ∈ R tales que (1, 2, 3) = a.(1, 0, 0) + b.(1, 1, 0) + c.(1, 1, 1).
Ejercicio 3. Efectuar las operaciones indicadas en cada caso.
a) Si P = (2, 3, 0, − 2 ) y Q = (1, 4, −2, − 1 ) ∈ R^4 , calcular R = P + 3.Q y S = 2.P − 13 .Q. b) Si P = (1, 0, −3, 0, 2) y Q = (0, −1, −2, 0, 4) ∈ R^5 , calcular R = −P + 2.Q y S = −2.P − 23 .Q.
Ejercicio 4. Dados en R^2 los vectores v 1 = (1, 2) , v 2 = (−2, 5) y v 3 = (3, − 1 ) :
a) Graficarlos.
b) Graficar w 1 = (−1, 2) , w 2 = (2, 5) y w 3 = (−3, − 1 ). ¿Qué efecto geométrico produce cambiar el signo a la primera coordenada de un vector?
c) Graficar z 1 = (1, − 2 ) , z 2 = (−2, − 5 ) y z 3 = (3, 1). ¿Qué efecto geométrico produce cambiar el signo a la segunda coordenada de un vector?
d) Graficar − v 1 , − v 2 y − v 3. ¿Qué efecto geométrico produce multiplicar un vector por −1?
Ejercicio 5. Dados en R^2 el triángulo de vértices P 1 = (−2, 1) , P 2 = (−2, 3) y P 3 = (−3, 3) y el vector t = (4, 2) :
a) Graficarlos. b) Graficar, con la misma escala, el triángulo de vértices P 1 + t , P 2 + t y P 3 + t y el triángulo de vértices P 1 − t , P 2 − t y P 3 − t. ¿Qué efecto geométrico produce sumar el vector t? ¿Y restarlo?
c) Graficar, con la misma escala, el triángulo de vértices 2.P 1 , 2.P 2 y 2.P 3 y el triángulo de vértices 12 .P 1 , 12 .P 2 y 12 .P 3. ¿Qué efecto geométrico produce multiplicar por 2? ¿Y por (^12)?
Ejercicio 6. Dado un vector se le realizan dos operaciones consecutivas: primero se lo multi- plica por un escalar fijo (dilatación) y luego se le suma otro vector fijo (traslación).
a) Si se le aplican estas dos operaciones al vector v = (1, 2) en R^2 se llega al vector w = (−6, 12). ¿Se puede decidir cuál fue la dilatación y cuál la traslación? (Sugerencia: buscar si es posible llegar de v a w de dos formas distintas).
b) Si se le aplican las dos operaciones a v 1 = (1, 2) y a v 2 = (3, 4) en R^2 se llega a w 1 = (−6, 12) y a w 2 = (−5, 13) respectivamente. Hallar el escalar que da la dilatación y el vector que da la traslación.
c) ¿Puede ser que luego de aplicar la misma dilatación y la misma traslación a los vecto- res v 1 = (1, 1) y v 2 = (2, − 4 ) se llegue a los vectores w 1 = (2, 4) y w 2 = (−2, 3) respectivamente? d) Si se le aplican las dos operaciones en R^3 a v 1 = (1, 1, 1) se llega a w 1 = (2, 1, 5). Probar que, si λ es el escalar que da la dilatación, al aplicarle las mismas dos operaciones a v 2 = (2, 1, 3) se llega a ( λ + 2, 1, 2 λ + 5 ).
Ejercicio 9. Dados v = (3, − 4 ) y w = (1, 2) en R^2 , calcular
‖ v ‖, ‖ w ‖, ‖ v + w ‖, ‖ v ‖ + ‖ w ‖, ‖ v − w ‖, ‖ 2 v ‖,
∥ 12 v
∥∥^1
‖ v ‖ v
Ejercicio 10. Graficar en el plano el conjunto {(x, y) ∈ R^2 : ‖(x, y)‖ = 2 }.
Ejercicio 11. Calcular la distancia entre los puntos dados y el ángulo entre los vectores deter- minados por ellos.
a) (2, 3) y (5, 1) b) (1, 0) y (−
c) (1, 0, 0) y (−
2, 1, 1) d) (0, −1, 1) y (−
Ejercicio 12. Hallar todos los k ∈ R tales que
a) la norma del vector (2, −2, k) es igual a 3.
b) el ángulo entre los vectores (2, 1, 1) y (1, −1, k) es π 3.
Ejercicio 13. Hallar los ángulos que forman los vectores dados con los semiejes coordenados positivos.
a) (1, − 1 ) , (−1,
3 ) y (1, 2) en R^2. b) (1, 0, − 1 ) , (0, 2, 0) y (1, −1, 2) en R^3.
Ejercicio 14. Para cada vector u en R^2 , notamos θ u al ángulo que forma con el semieje posi- tivo de las x. En cada uno de los siguientes casos, dar las coordenadas del vector w ∈ R^2 :
a) ‖ u ‖ = 4, θ u = 0 , ‖ v ‖ = 2, θ v = 23 π , w = u + v.
b) ‖ u ‖ = 1, θ u = π 4 , ‖ u + v ‖ =
2, θ u + v = π 2 , w = v.
Ejercicio 15. Sabiendo que el ángulo entre v y w es π 3 , ‖ w ‖ = 4 y v − w es ortogonal a v , calcular ‖ v ‖.
Ejercicio 16. Sea L ⊂ R^2 la recta que pasa por los puntos (3, 2) y (0, 0).
a) Graficarla. b) Encontrar dos vectores dirección distintos para L. Graficarlos.
c) Dar una ecuación paramétrica para L. ¿Es única?
d) Decidir cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta L : (−3, − 2 ), (2, 3), (0, 0), (− 6 x, − 2 x). e) ¿Es L igual a la recta L′^ : X = λ .(300, 200) + (3, 2)?
Ejercicio 17. Sea L ⊂ R^2 la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (−2, 2).
a) Graficarla.
b) Encontrar dos vectores dirección distintos para L. Graficarlos. c) Dar dos ecuaciones paramétricas para L.
d) Decidir cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta L : (−3, 1), (4, 0), (0, 0), (− 3 x + 1, x + 1 ).
e) ¿Es L igual a la recta L′^ : X = λ .(−27, 9) + (−14, 6)? ¿Y a la recta L′′^ : X = λ .(27, − 9 ) + (−27, 9)?
Ejercicio 18. Un móvil se desplaza por el plano R^2 de forma tal que, en tiempo t , se encuen- tra en el punto t.(3, − 2 ) + (1, 1).
a) Graficar la trayectoria del móvil si parte en tiempo t = 0. b) Graficar los puntos donde se encuentra en tiempo t = 1 , t = 2 , t = 3 y t = 4.
c) Si P(t) es el punto en el que se encuentra en tiempo t , calcular P( 0 ) y P(t + 1 ) − P(t) para un valor genérico de t. ¿Qué relación tienen con los datos dados?
d) Si hay una pared ubicada en la recta vertical de ecuación x = 16 , ¿en qué momento choca el móvil contra la pared?
e) Repetir los distintos ítems con un móvil que se desplaza según la ecuación t.(6, − 4 ) + (1, 1) para t ≥ 0 y con otro que se desplaza según t.( 32 , − 1 ) + (1, 1) para t ≥ 0. ¿Cómo son las trayectorias? ¿En qué se diferencian los movimientos?
Ejercicio 19. Dada la recta L : X = λ .(1, 2) + (3, 2) :
a) Dar una ecuación paramétrica para la recta L 1 paralela a L que pasa por (0, 0).
b) Dar una ecuación paramétrica para la recta L 2 paralela a L que pasa por (−1, − 6 ).
a) Dar una ecuación paramétrica de la recta paralela a L : x = 2 que pasa por (3, 8).
b) Dar una ecuación implícita de la recta perpendicular a L : X = λ .(2, 3) + (1, 2) que pasa por (5, − 2 ).
Ejercicio 25. Hallar, en cada caso, la intersección de las rectas L 1 y L 2 y decidir sus posiciones relativas:
a) L 1 : 3x + y = −3 y L 2 : X = α (1, 3) + (2, 0).
b) L 1 : − 2 x + 3 y = −13 y L 2 : y = 7 x + 2. c) L 1 : X = α .(−4, 1) + (2, 1) y L 2 : X = β .(−2, 1) + (0, − 1 ).
d) L 1 : X = α .(−3, 2) + (5, 1) y L 2 : X = β .(6, − 4 ) + (0, 1).
e) L 1 : x − 2 y = −1 y L 2 : X = α .(2, 1) + (1, 1)
Ejercicio 26. Sean L 1 : x − 2 y = 3 , L 2 : − 2 x + y = −3 y L 3 : X = α .(1, − 7 ).
a) Dar una ecuación paramétrica de la recta L que pasa por el punto de intersección de L 2 y L 3 y es paralela a L 1.
b) Dar una ecuación implícita de la recta L′^ que pasa por el punto de intersección de L 1 y L 2 y es perpendicular a L 3.
Ejercicio 27. En cada caso, dar una ecuación paramétrica de la recta en R^3 que:
a) tiene dirección (1, −1, 2) y pasa por el origen de coordenadas.
b) tiene dirección (1, −1, 2) y pasa por el punto (0, 2, − 3 ).
c) pasa por los puntos (1, 5, 1) y (−4, 3, 2). d) es paralela a L : X = λ .(2, 1, − 1 ) + (−2, 4, 1) y pasa por el punto (0, 3, 2).
e) pasa por el origen y es paralela a la recta que contiene a (2, −2, 1) y a (−3, 2, 1).
f) es perpendicular a (2, 1, 0) y a (0, −1, 2) simultáneamente y pasa por el origen.
g) es perpendicular a las rectas L 1 : X = λ .(2, 1, − 1 ) + (−2, 4, 1) y L 2 : X = λ .(−1, 0, 2) + (2, 1, 0) simultáneamente y pasa por el punto (0, 3, 2).
Ejercicio 28. Sean L 1 : X = λ .(1, 2, − 1 ) + (1, 3, 5) y L 2 la recta paralela a L 1 que pasa por el punto (3, 2, 4).
a) Hallar el punto de L 2 que tiene coordenada z = 0. b) Decidir si los puntos (−1, −1, 7) y (1, −2, 6) están en L 2.
Ejercicio 29.
a) Decidir si los puntos (1, 2, − 4 ) , (3, −2, 0) y (2, 0, − 2 ) están alineados.
b) Decidir si los puntos (1, 1, 3) , (2, 1, 4) y (2, 1, 5) están alineados. c) Hallar todos los valores de a ∈ R tales que los puntos ( 2 + a, 3, − 1 ) , (5, a + 3, − 2 ) y (a, −1, 1) están alineados.
Ejercicio 30. Sean L : X = β .(1, 1, − 2 ) + (0, 0, 4) y P = (3, 1, 0). Determinar un punto Q ∈ R^3 tal que:
a) la recta que pasa por P y Q sea paralela a L.
b) Q ∈ L y la recta que pasa por P y Q sea perpendicular a L.
Ejercicio 31. Dadas las rectas
L 1 : X = α .(1, 2, 1) + (2, 3, 2) L 2 : X = β .(0, 1, − 1 ) + (1, 3, − 1 ) L 3 : X = γ .(2, 4, 2) + (1, 5, 0) L 4 : X = δ .(2, 4, 2) + (3, 5, 3)
calcular las siguientes intersecciones y, en cada caso, dar la posición relativa de las rectas en el espacio:
a) L 1 ∩ L 2 b) L 1 ∩ L 3 c) L 2 ∩ L 3 d) L 1 ∩ L 4
Ejercicio 32.
a) Dos móviles se desplazan por el espacio de forma tal que las ecuaciones de sus movi- mientos están dadas por t.(1, 2, − 4 ) + (−1, 3, 0) y t.(1, 6, − 10 ) + (2, 1, 0) para t ≥ 0. Decidir si las trayectorias de los móviles se cruzan y, en caso afirmativo, decir en qué punto. ¿Se encuentran los dos móviles?
b) Mismo problema para las ecuaciones de movimiento t.(1, 2, 0) + (0, 3, 2) y t.(3, −4, 0) + (1, 5, 7). ¿Son paralelas estas trayectorias?
Ejercicio 36.
a) Decidir si el punto (1, 2, − 3 ) está en el plano que pasa por los puntos (1, 1, 0) , (2, 3, − 1 ) y (5, 0, 2).
b) Decidir si los puntos (1, 1, 0) , (2, 3, − 1 ) , (5, 0, 2) y (0, −1, 1) son coplanares (es decir, están en un mismo plano).
Ejercicio 37. Dados el plano Π : 2x − 3 y + 7 z = 3 y las rectas L 1 : X = λ .(2, 1, − 1 ) + (−2, 4, 1) , L 2 : X = λ .(2, −1, − 1 ) + (−7, −1, 2) y L 3 : X = λ .(−1, 4, 2) + (1, 0, 1) :
a) Calcular las intersecciones Π ∩ L 1 , Π ∩ L 2 y Π ∩ L 3 y dar sus posiciones relativas.
b) Un móvil se dirige hacia el plano Π según la ecuación de movimiento t.(1, 1, 1) + (−7, 0, − 1 ) para t ≥ 0. Calcular en qué tiempo llega al plano y en qué punto lo im- pacta.
Ejercicio 38. En cada caso, dar una ecuación paramétrica de una recta en R^3 que:
a) es perpendicular al plano Π : 4x − 2 y + z = 3 y pasa por el punto (0, 1, − 2 ). b) es paralela a los planos Π 1 : 3x − y + 2 z = 4 y Π 2 : y + z = 3 simultáneamente y pasa por el punto (1, 3, 1).
c) es perpendicular a la recta L : X = λ .(0, 0, 1) + (1, 3, − 2 ) y está incluida en el plano Π : x + y + z = 2.
Ejercicio 39. Para cada k ∈ R , se considera la recta Lk : X = λ .(k, k + 2, 1) + (1, 1, 1).
a) Probar que, si k 6 = k′^ , Lk y Lk′ son rectas distintas.
b) Probar que, para cualquier valor de k , Lk está incluida en el plano Π : x − y + 2 z = 2.
c) Probar que la recta L : X = λ .(1, 1, 0) + (1, 1, 1) es una recta incluida en el plano Π pero no es igual a Lk para ningún valor de k.
Ejercicio 40.
a) Dar una ecuación implícita del plano Π que contiene a las rectas transversales L : X = λ .(1, 2, − 1 ) + (3, 0, 0) y L′^ : X = λ .(−2, −4, 1) + (5, 4, − 3 ).
b) Dar una ecuación implícita del plano Π que contiene a las rectas paralelas L : X = λ .(1, 2, − 1 ) + (3, 0, 0) y L′^ : X = λ .(−2, −4, 2) + (0, 1, 1).
c) ¿Existe algún plano que contenga simultáneamente a las rectas L : X = λ .(1, 2, 0) + (3, 0, − 3 ) y L′^ : X = λ .(−2, 0, 0) + (0, 2, 3)?
Ejercicio 41.
a) Hallar una ecuación paramétrica del plano Π 1 que pasa por P = (2, −1, 7) , Q = (0, 2, 3) y R = (1, −1, 2).
b) Verificar que P , Q y R pertenecen al plano Π 2 : X = α .(1, 0, 5) + β .(−1, 3, 1) + (1, −1, 2). Deducir que, como P , Q y R no están alineados, Π 1 y Π 2 son el mismo plano. c) Comparar las ecuaciones paramétricas de Π 1 y de Π 2. ¿Son iguales?
d) Hallar una ecuación paramétrica del plano Π 3 paralelo a Π 1 que pasa por el punto (1, 0, 2).
Ejercicio 42. Dar en R^3 ecuaciones implícitas de:
a) el plano Π 1 : X = α .(1, 0, 5) + β .(−1, 3, 1) + (1, −1, 2).
b) el plano paralelo al plano Π 2 : X = α .(1, 3, 2) + β .(2, 5, 3) + (3, 2, 1) que pasa por el punto (2, 3, 1).
Ejercicio 43. Dar en R^3 ecuaciones paramétricas de:
a) el plano perpendicular a la recta L : X = β .(0, 1, 1) + (1, 3, − 1 ) que pasa por (3, 2, 1).
b) el plano paralelo al plano Π : 3x + 2 y + z = 1 que pasa por el punto (1, 1, 1).
Ejercicio 44. Decidir en cada caso si los planos Π 1 y Π 2 se intersecan. En caso afirmativo, dar una ecuación paramétrica de la intersección.
a) Π 1 : y = 0 y Π 2 : z = 2 b) Π 1 : x + z = 0 y Π 2 : y − z = 0
c) Π 1 : x + y − z = 0 y Π 2 : x + z = 2 d) Π 1 : x − z = 0 y Π 2 : 2x − 2 z = 3
e) Π 1 : x + y − z = 1 y Π 2 : 2x + 2 y − 2 z = 2
Ejercicio 45. En cada caso, dar ecuaciones implícitas que definan la recta pedida.
a) L 1 : X = α .(1, 3, 1) + (2, 0, 0).
b) L 2 : X = β .(−3, 0, 1) + (1, 1, 1).
