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1. Función primitiva y la integral indefinida
Sabemos que en matemáticas las operaciones tienen sus inversas; por ejemplo, la
adición y la sustracción, la multiplicación y la división, elevar a una potencia y extraer una
raíz, etcétera.
En el cálculo integral sucede exactamente lo mismo; la integración es una operación
inversa a la derivación.
En el cálculo diferencial aprendimos que si 𝑦 = 𝑓(𝑥), entonces la derivada de la función
es
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓´(𝑥); o bien si empleamos diferenciales, la de la función es:
𝑑𝑥 (definición de diferencial)
El problema fundamental del cálculo integral depende de la operación inversa a la
diferenciación, es decir:
Lo anterior se puede resumir con la siguiente ilustración:
𝑭(𝒙) es antiderivada o primitiva de 𝒇(𝒙)
La condición que debe caracterizar a 𝒅𝒚 para que admita la función primitiva sobre un
intervalo es que debe tener continuidad en el intervalo.
Función
primitiva
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Derivada
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓´(𝑥)
Diferencial
𝑑𝑦 = 𝑓´ 𝑥 𝑑𝑥
Antiderivada o Integral
න 𝑑𝑦 = න 𝑓´ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶
Hallar una 𝑦 = 𝑓(𝑥) cuya diferencial 𝑑𝑦 = 𝑓´
𝑑𝑥 es conocida.
La función primitiva 𝒇
que así se obtiene se llama integral o antiderivada de la
expresión diferencial dada; el procedimiento para hallarla se llama integración y la
operación se indica escribiendo el signo integral ∫ delante de la expresión diferencial; de
manera que:
- 𝑪 , donde C es una constante.
Función Derivada Diferencial Integral
(Antiderivada)
- 𝑦 = 𝑥
3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3 𝑥
2
𝑑𝑦 = 3 𝑥
2
𝑑𝑥
න 3 𝑥
2
𝑑𝑥 = 𝑥
3
- 𝑦 = 𝑥
3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3 𝑥
2
𝑑𝑦 = 3 𝑥
2
𝑑𝑥
න 3 𝑥
2
𝑑𝑥 = 𝑥
3
- 𝑦 = 𝑥
3
− 𝟒
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3 𝑥
2
𝑑𝑦 = 3 𝑥
2
𝑑𝑥
න 3 𝑥
2
𝑑𝑥 = 𝑥
3
- 𝑦 = 𝑥
3
−
𝟕
𝟑
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3 𝑥
2
𝑑𝑦 = 3 𝑥
2
𝑑𝑥
න 3 𝑥
2
𝑑𝑥 = 𝑥
3
Cuando se integra una diferencial dada, lo que realmente se está obteniendo es una
familia de funciones de la forma 𝑓
- 𝐶, donde C se denomina constante de integración;
y es una constante arbitraria porque se le puede asignar cualquier valor real. En la tabla
anterior se observar una familia de funciones de la forma 𝑥
3
- 𝑪 en la que la constante es
diferente en cada ejemplo.
De ahí viene el nombre de Integral Indefinida y siempre va acompañada de C, la
constante de integración.
2. Integrales indefinidas de funciones algebraicas
Las fórmulas de integrales inmediatas o antiderivadas que se utilizarán en este apartado
son:
∫
𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝑪
𝒏
𝒖
𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
Cuando 𝒖 = 𝒙 , entonces:
𝒏
𝒏+𝟏
𝒅𝒖
𝒖
−𝟏
𝒅𝒖 = 𝒍𝒏 |𝒖| + 𝑪 , donde 𝒏 = −𝟏
Ejemplo 3. ∫ 𝒙
𝟓
Solución. Se utiliza la fórmula 3a) ∫ 𝒙
𝒏
𝒙
𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
𝟓
𝟓+𝟏
𝟔
𝟓
𝟔
Ejemplo 4. ∫ 𝟐𝒙
𝟒
Solución. Se utiliza la fórmula 3a) ∫ 𝒙
𝒏
𝒙
𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
- 𝑪 considerando el segundo principio
de linealidad:
𝟒
𝟒
𝟒+𝟏
𝟒
𝟓
Ejemplo 5.
𝟒
𝟓
⁄
Solución. Se utiliza la fórmula 3a) ∫
𝒏
𝒙
𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
- 𝑪 considerando el segundo principio
de linealidad:
𝟒
𝟓
⁄
𝟒
𝟓
⁄
𝟒
𝟓
𝟓
𝟓
𝟒
𝟓
𝟓
𝟓
𝒙
𝟗
𝟓
𝟗
𝟓
donde:
9
9
5
9
𝟏
9
5
9 ( 5 )
𝟏( 9 )
5
1
= 5 , se trata de multiplicar extremo por extremo 9 ( 5 ) y medios
por medios 1( 9 ).
𝟒
𝟓
⁄
𝟗
𝟓
Como el exponente de 𝒙 es fraccionario 𝒙
𝟒
𝟓
⁄
se usa la Ley de radicales √
𝒎
𝒏
𝒎
𝒏
𝟒
𝟓
⁄
𝟗
𝟓
Recuerda que: 1 =
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
𝑛
𝑛
Ejemplo 6.
𝟔
𝒙
𝟒
Solución. Primero se usa la ley del exponente negativo 𝒙
−𝒏
𝟏
𝒙
𝒏
para que la potencia
4
pase al numerador con signo contrario, 𝑥
− 4
𝒏
𝒏
𝒏+𝟏
𝟔
𝒙
𝟒
−𝟒
− 4
6 𝑥
− 4 + 1
− 4 + 1
6 𝑥
− 3
− 3
− 3
𝟔
𝒙
𝟒
𝟐
𝒙
𝟑
Al final del ejercicio se utilizó la ley del exponente negativo − 2 𝑥
−𝟑
𝟐
𝒙
𝟑
Ejemplo 9.
𝟑
𝟐
Solución. Se utiliza el primer principio de linealidad y se resuelve usando las fórmulas
2b) y 1.
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟓𝒙
𝟑+𝟏
𝟑+𝟏
𝟑𝒙
𝟐+𝟏
𝟐+𝟏
𝟐𝒙
𝟏+𝟏
𝟏+𝟏
𝟓𝒙
𝟒
𝟒
𝟑𝒙
𝟑
𝟑
𝟐𝒙
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
𝟓𝒙
𝟒
𝟒
𝟑
𝟐
Ejemplo 10.
𝟒𝒙
𝟑
+𝟑𝒙
𝟐
−𝒙
𝒙
Solución. Primero se resuelve la división, enseguida se aplica el primer principio de
linealidad, luego las fórmulas 1, 2b) y se resuelve:
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒𝒙
𝟐+𝟏
𝟐+𝟏
𝟑𝒙
𝟏+𝟏
𝟏+𝟏
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
