Algoritmos Voraces , Ejercicios de Ingeniería de Telecomunicaciones

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Tema 5: Algoritmos Voraces

Dise˜no y An´alisis de Algoritmos

Grado en Ingenier´ıa Inform´atica

Tema 5: Algoritmos voraces Contenidos

Contenidos

(^1) Introducci´on

2 Ejemplos b´asicos

(^3) Cambio de monedas

4 Problema de la mochila

(^5) Problemas de planificaci´on de tareas

(^6) Patrones ´optimos de mezcla

(^7) Arbol de recubrimiento de coste m´´ ınimo

(^8) Caminos m´ınimos desde un nodo

Tema 5: Algoritmos voraces Introducci´on

Algoritmos voraces

Los algoritmos voraces se suelen aplicar a problemas de optimizaci´on Maximizar o minimizar una funci´on objetivo

Suelen ser r´apidos y f´aciles de implementar

Exploran soluciones “locales”

No siempre garantizan la soluci´on ´optima

Tema 5: Algoritmos voraces Introducci´on

Algoritmos voraces

Son algoritmos que siguen una heur´ıstica mediante la cual toman decisiones ´optimas locales en cada paso, de manera muy eficiente, con la esperanza de poder encontrar un ´optimo global tras una serie de pasos

Se aplican, sobre todo, a problemas duros, desde un punto de vista computacional Ejemplo: problema del viajante (NP-completo) Heur´ıstica: “escoge la ciudad m´as pr´oxima no visitada a´un”

Para ciertos problemas se puede demostrar que algunas estrategias voraces s´ı que logran hallar un ´optimo global de manera eficiente

Tema 5: Algoritmos voraces Introducci´on

Elementos

Conjunto de candidatos C : la soluci´on se construir´a con un subconjunto de estos candidatos

Funci´on de selecci´on: selecciona el candidato “local” m´as id´oneo

Funci´on de factibilidad: comprueba si un candidato es factible

Funci´on objetivo: determina el valor de la soluci´on (funci´on a optimizar)

Funci´on soluci´on: determina si el subconjunto de candidatos ha alcanzado una soluci´on

Tema 5: Algoritmos voraces Introducci´on

Esquema general

La t´ecnica voraz funciona por pasos: Partimos de una soluci´on vac´ıa y de un conjunto de candidatos a formar parte de la soluci´on En cada paso se intenta a˜nadir el mejor de los candidatos restantes a la soluci´on parcial Una vez tomada la decisi´on, no se puede deshacer Si la soluci´on ampliada es v´alida ⇒ candidato incorporado Si la soluci´on ampliada no es v´alida ⇒ candidato desechado

El algoritmo acabar´a cuando el conjunto de elementos seleccionados constituya una soluci´on o cuando no queden elementos sin considerar

Tema 5: Algoritmos voraces Ejemplos b´asicos

Ejemplos b´asicos

Tema 5: Algoritmos voraces Ejemplos b´asicos

Camino m´as corto - 1

Camino m´as corto - 1 Encontrar el camino m´as corto de v 0 a vn, donde solo hay caminos entre v´ertices adyacentes (vi− 1 y vi , para i = 1,... , n).

5 1 3

10 9 2 6

4

7

v 0 v 1 v 2 v 3

¿Funci´on de selecci´on? M´etodo voraz: en cada paso se coge el arco de menor longitud 5 1 3

10 9 2 6

4

7

v 0 v 1 v 2 v 3

Soluci´on optima: 1 + 2 + 4 = 7 Se demuestra que la estrategia es ´optima (por contradicci´on)

Tema 5: Algoritmos voraces Ejemplos b´asicos

Camino m´as corto - 2

¿Funci´on de selecci´on? M´etodo voraz: en cada paso se coge el arco de menor longitud

v0,1 v3, v1,

v2,

v1,

v1,

v1, v2,

v2,

3 1 5

7

13 1

2

3 2 9 10 5

7

4

(^62)

Longitud de la soluci´on voraz: 1 + 9 + 13 = 23 (v 0 , 1 , v 1 , 2 , v 2 , 1 , v 3 , 1 )

Tema 5: Algoritmos voraces Ejemplos b´asicos

Camino m´as corto - 2

v0,1 v3, v1,

v2,

v1,

v1,

v1, v2,

v2,

3 1 5

7

13 1

2

3 2 9 10 5

7

4

(^62)

Se demuestra que la estrategia no es ´optima (contraejemplo) Longitud de la soluci´on optima: 3 + 3 + 1 = 7 (v 0 , 1 , v 1 , 1 , v 2 , 2 , v 3 , 1 )

Tema 5: Algoritmos voraces Cambio de monedas

Cambio de monedas

Problema del cambio de monedas Se dispone de n monedas de euro con valores de 1,2,5,10,20 y 50 c´entimos de euro, 1 y 2 euros.

Dada una cantidad X de euros, devolver dicha cantidad con el menor n´umero posible de monedas

Ejemplo: devolver 2.24e Soluci´on: 4 (2 + 0,20 + 0,02 + 0,02)

Tema 5: Algoritmos voraces Cambio de monedas

Cambio de monedas

Conjunto de candidatos: Todos los tipos de monedas Funci´on soluci´on: Conjunto de monedas que suman X , {n 1 , n 2 ,... , n 8 }, ni = n´umero de monedas de tipo i Funci´on de factibilidad: Si ∑ 8 i=1 ni^ >^ X^ , el conjunto obtenido no podr´a ser soluci´on Funci´on objetivo: Minimizar la cardinalidad de las soluciones posibles Funci´on de selecci´on: Moneda de valor m´as alto posible, que no supere el valor que queda por devolver

Tema 5: Algoritmos voraces Problema de la mochila

Problema de la mochila

Tema 5: Algoritmos voraces Problema de la mochila

Problema de la mochila - 1

Problema de la mochila - Versi´on 1 Se tiene un conjunto de n objetos, cada uno con un peso pi , y una mochila con capacidad C.

p (^1) p (^2)

p (^3) C

Maximizar el n´umero de objetos que se pueden introducir en la mochila sin sobrepasar la capacidad C