Algunos ejercicios de límites, Ejercicios de Matemáticas

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Limites y

continuidad

MIRIAM BECERRA GARCIA

Limites.

El limite de una función 𝑓(𝑥) en el punto 𝑥 0

es el valor al que se acercan las imágenes (las y)

cuando los valores (las x) se acercan al valor x 0

Ejercicios

1. Observa las tablas siguientes y responde las preguntas

𝑓(𝑥) = 𝑦

𝑓(𝑥) = 𝑦

Tabla 1 Tabla 2

a) ¿en la tabla uno, a qué número se aproxima los valores de x?

“x” se aproxima a dos por la izquierda, ya que el valor de “x” aumenta de 1.0 a 1.9999,

valores menores que 2.

b) ¿en la tabla uno, a qué número se aproxima los valores de y?

Los valores de “y” se aproximan a 4

c) ¿en la tabla dos, a qué número se aproxima los valores de x?

Se aproximan a 2 por la derecha, ya que el valor de “x” disminuye de 3.0 hasta 2.001,

valores mayores que 2.

d) ¿en la tabla dos, a qué número se aproxima los valores de y?

Los valores de y se aproximan a 4, ya que el valor de y disminuye 8.000 a 4.

e) ¿Existe el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 2? En caso de que la respuesta sea afirmativa

indica el valor.

Si existe, y sería igual a 4 ya que si “x” se aproxima a 2 por la izquierda y a 2 por la derecha,

“y” se aproxima a 4

g) lim

𝑥→ 0

𝑓(𝑥) = 3. 48 ; cuando el límite de “x” se acerca a 0 por la derecha, el valor de “y”

es igual a 3.48.

h) lim

𝑥→ 0

𝑓(𝑥) = 3. 48 ; cuando el límite se acerca a 0 el valor de “y” es igual a 3.48.

3. Observa la gráfica de la función 𝑔(𝑥), y determina los límites siguientes en caso de existir.

a) lim

𝑥→ 2

−

𝑔(𝑥) = 3 ; si el valor de 𝑥 se acerca a

2 por la izquierda el valor de 𝑦 es igual a 3

b) lim

𝑥→ 2

𝑔(𝑥) = 1 ; si el valor de 𝑥 se acerca a

2 por la derecha el valor de 𝑦 es igual a 1

c) lim

𝑥→ 2

𝑔(𝑥) = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒; como el valor del

limite cuando 𝑥 → 2 por la derecha es

diferente al limite por la izquierda el valor de

y no existe.

d) lim

𝑥→ 5

−

𝑔(𝑥) = 2 ; cuando el valor de 𝑥 se acerca a 5 por la izquierda el limite es igual a 2.

e) lim

𝑥→ 5

𝑔(𝑥) = 2 ; cuando el valor de 𝑥 se acerca a 5 por la derecha el limite es igual a 2

f) lim

𝑥→ 5

𝑔(𝑥) = 2 ; como los limites unilaterales existen y son iguales, existe el limite

bilatera y es igual a 2

4. Calcula los siguientes limites.

a) lim

𝑥→ 3

2

Primero vamos a sustituir el valor de 𝑥 por el valor numérico al que se acerca (3), en la

función para encontrar el valor del límite.

2

2

Ahora vamos a localizar valores de 𝑦 cuando 𝑥 se acerca a 3, para ello vamos a realizar

una tabla con los valores de x cuando se acerca por la derecha (valores mayores) y

cuando se acerca por la izquierda (valores menores).

Tabla 1 (valores menores)

2

Como podemos obaservar en la tabla 1, el valore de 𝑥 inicia en 2 y se aproxima al valor

de 3, y el valor de 𝑦 se aproxima al valor de 22.

En la tabla 2 se observa que los valores de 𝑥 disminuyen de 4 hasta acercarse a 3, y el

valor de 𝑦 se se acerca al número 22.

Por lo tanto podemos comprobar que el límite cuando el valor de 𝑥 se acerca a 3 es

igual a 22

lim

𝑥→ 3

2

b) lim

𝑥→ 2

−

3

2

vamos a realizar la tabla que corresponde a los valores menores a 2 para 𝑥 y

sustituirlos en la ecuación para obtener el valor de 𝑦, asi veremos a que valor

se acerca.

Tabla 2 (valores mayores)

2

c) lim

𝑥→ 0

𝑒

−𝑥

+𝑒

𝑥

𝑒

−𝑥

Vamos a utilizar el metodo gráfico para localizar los valores de la

función de 𝑥 cuando se acerca a 0 por la derecha

Tabla (valores mayores)

−𝑥

𝑥

−𝑥

Podemos observar que cuando el valor de 𝑥 se acerca a 0 el valor de 𝑦 se

acerca al número 2 asi tenemos

lim

𝑥→ 0

−𝑥

𝑥

−𝑥

d) lim

𝑥→ 9

−

𝑥+√𝑥

𝑥

2

• 3

Vamos a graficar los valores de 𝑦 cuando 𝑥 se acerca a 9 por la izquierda

podemos observar que en la grafica, cuando los valores de 𝑥 disminuyen hasta

acercarce a 9, los valores de 𝑦 tambien disminuyen y se acercan a 0.

por lo tanto

lim

𝑥→ 9

−

2

e) lim

𝑥→− 3

− 6 𝑥− 18

5

Vamos a realizar la tabla correspondiente a los valores de 𝑥 y 𝑦

Así podemos obtener la siguiente tabla

Así tenemos que cuando el valor de 𝑥

se aproxima al valor de 2, el valor de 𝑦 se aproxima a 1.732. Por lo tanto

podemos decir que

Tabla (valores mayores)

2

lim

𝑥→ 2

2

g) lim

𝑥→− 3

𝑥− 3

𝑥

2

−𝑥− 12

Vamos a sustituir el valor al que se aproxima la 𝑥 en la ecuación para encontrar

el valor de 𝑦

2

2

como el valor que obtuvimos es 0 vamos a obtener los valores de la tabla para

revisar hacia donde se aproxima el valor de 𝑦

Así tenemos que el

lim

𝑥→− 3

2

h) lim

𝑥→ 4

𝑥− 4

𝑥

2

− 7 𝑥+ 12

Sustituimos el valor de la aproximación de 𝑥 en la ecuación para encontrar el

valore de 𝑦.

2

2

Tabla

2

− 03

− 04

3.001 - 1.668056992 x 10

• 4

3.01 - 1.6807005516 x 10

• 3

k) lim

𝑥→ 2

2 𝑥

2

• 22 𝑥+ 20

2 𝑥+ 4

Sustituimos el valor de 𝑥 = 2 en la ecuación para encontrar a que valor se

aproxima 𝑦.

2

2

Por lo tanto el límite de la función cuando 𝑥 tiende a 2 es igual a 9

lim

𝑥→ 2

2

l) lim

𝑥→ 2

6 𝑥− 12

𝑥

2

+𝑥− 6

Sustituyendo el valor de la aproximación de 𝑥 en la función, obtenemos:

2

2

Revisamos en la tabla para encontrar los valores a los que se aproxima 𝑦

Como podemos observar en la tabla el

limite de la función cuando 𝑥 se

aproxima a 2, no se acerca a ningun

valor, ya que los valores de 𝑦 van solo

en aumento. Por lo tanto podemos

concluir que el límite es infinito.

lim

𝑥→ 2

2

5. Describe en que consiste el concepto de continuidad de una función.

Podemos decir que una función es continua cuando la gráfica de la función no se

corta, es decir, es un solo trazo continuo.

Ejemplo:

2

cuya gráfica es la parábola:

Tabla

2

Como se puede apreciar la grafica que va desde menos infinito hasta infinito es de

un solo trazo. (Llopis Fabra, s.f.)

Además, para que sea continua debe satisfacer tres condiciones:

a) La función deberá estar definida en un intervalo abierto el cual contiene al

valor al que se aproxima la variable 𝑥.

𝑓(𝑥) es continua en el intervalo 𝐼 = ]𝑎, 𝑏[

La función 𝑓 es continua en el punto 𝑐 si

lim

𝑥→𝑐

b) Cuando el límite de la función existe

lim

𝑥→𝑐

c) Cuando

lim

𝑥→𝑐