Análisis Factorial en la Red de Información y Análisis de Datos - Prof. Granero, Apuntes de Psicología

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Redes de Información y

Análisis de Datos

ANÁLISIS FACTORIAL

Guía de Exposición

Ramon Mahía

Noviembre 2002

IDEA CONCEPTUAL BÁSICA

(1) Parte de un conjunto amplio de variables que presentan interrelaciones importantes.. (2) se asume que las relaciones existen porque las variables son manifestaciones comunes de factores no "observables" de forma directa...y (3) se pretende llegar a un cálculo de esos factores: (a)- resumiendo información (b)- clarificando las relaciones entre ellas y (c) sin pérdida excesiva de información.

DEFINICIÓN

(1) Proporciona la estructura interna, las dimensiones subyacentes, el transformado de un conjunto amplio de variables, elaborando una estructura más simple, con menos dimensiones, que proporcione la misma información y permita globalizar así el entendimiento del fenómeno.

(2) Simplifica la modelización convirtiendo, por eliminación de redundancias expresadas en altas correlaciones entre variables, un amplio conjunto de variables en factores "estructurales".

DIFERENCIAS CON OTRAS TÉCNICAS

No es una técnica de dependencia (no hay selección a priori de dependiente y exógenas), es una Técnica de Interdependencia

No es una técnica de agrupación: Aunque puede aplicarse con fines de agrupación sobre matrices de correlaciones entre objetos/ sujetos (Factorial Q), lo habitual es su aplicación sobre matrices de correlaciones entre variables (Factorial R).

MODELO FACTORIAL EXPLORATORIO (Un ejemplo):

Se desea extrapolar de la provincia al municipio, un modelo de regresión explicativo del nivel de renta disponible función de una serie de manifestaciones de esa renta. Para ello, se parte de un amplio conjunto de variables provinciales y para los 8.000 municipios españoles.

MODELO FACTORIAL CONFIRMATORIO (ejemplo):

Se desea medir la capacidad de abstracción, analítica y memoria de los alumnos.

Se observaron 10 notas de cada alumno de un determinado grupo de estudiantes universitarios. Entre estas notas, o al menos entre algunas de ellas, se observan correlaciones elevadas que, en cierta medida, provienen de aptitudes globales del alumno que no se observan directamente:

Nota en álgebra Nota en cálculo Nota en estadística Nota en derecho mercantil Nota en derecho laboral Nota en contabilidad financiera y de sociedades Nota en análisis de costes Nota en comunicación comercial Nota en actuariales Nota en econometría Un análisis factorial permitió que la información relativa a estas variables se resumiese en tres únicos factores de fondo, sin pérdida excesiva de información y logrando, de nuevo, una incorrelación muy conveniente. Cada uno de estos tres factores se interpretó como: F2 - Factor de CAPACIDAD DE ABSTRACCIÓN F3 - Factor de MEMORIA F4 - Factor de CAPACIDAD ANÁLÍTICA Independientemente de estos tres factores relacionados con grupos de variables (notas) se identificó, claro está, una factor común que podríamos llamar inteligencia en general y un factor específico para cada asignatura (su propia dificultad y componentes de tipos aleatorio relativos a las distintas formas de evaluación).

MODELO FACTORIAL TEÓRICO

Xij = ai1· F 1j + ai2 · F 2j + ai3· F 3j +…… + di·U ij

Xij = Valor normalizado de la variable “i” para el sujeto “j” Nota en Matemáticas (i) del alumno (j)

F1j = Valor del Factor 1 para el sujeto “j” Valor del factor CAPACIDAD DE ABSTRACCIÓN del alumno “j”

ai1 = Relación entre variable “i” y factor 1

Relación entre las Matemáticas y la CAPACIDAD DE ABSTRACCIÓN

F2j = Valor del Factor 2 para el sujeto “j” Valor del factor MEMORIA del alumno “j”

ai2 = Relación entre variable “i” y factor 2

Relación entre las Matemáticas y la MEMORIA … … … di ·U (^) ij = Parte aleatoria independiente de los factores:

• “Di” es “la/s particularidad/es” de la nota en Matemáticas y “Uij” es la forma en que esa peculiaridad afecta al alumno “j”. (P.ej. “di” puede hacer referencia a la concentración que se requiere en un examen de matemáticas y Uij a la capacidad de concentración del alumno):

MÁS SOBRE EL MODELO TEÓRICO II

2.- La varianza de la variable observada “i” puede

descomponerse en una parte explicada por los factores comunes al resto de variables y otra explicada por el factor específico:

• Comunalidad: Uno de los términos más clásicos del análisis factorial expresa la parte de cada variable (su variabilidad) que puede ser explicada por los factores comunes a todas ellas.
• Especificidad: Es el término opuesto a comunalidad ya que expresa la parte específica de cada variable que escapa a los factores comunes.

3.- El coeficiente de correlación entre dos variables dependerá

exclusivamente de la forma en que ambas variables compartan factores comunes:

PASOS A COMPLETAR (I)

1.- SELECCIÓN DE VARIABLES

Dimensión conceptual: Variables en relación con el fenómeno de análisis. Aún en el caso de un análisis exploratorio, tener claro el modelo factorial teórico ayuda a la selección conceptual de las mismas. "Basura dentro - Basura Fuera"

Dimensión técnica:

(1) Deben ser métricas, aunque se admite la presencia (no generalizada) de ficticias (0,1).

(2) Un número elevado no garantiza un mejor análisis, es más, debe optarse por la minimización del número inicial.

(3) Las correlaciones son la base del planteamiento.

3.A) Deben existir altas correlaciones en general para encontrar factores comunes.

3.B) Todas deben presentar, al menos, alguna relación fuerte: variables aisladas del resto constituirán factores aislados.

• Recomendable en análisis confirmatorio de dimensiones latentes (objetivo de reducción en 2º plano)
• Recomendable cuando las puntuaciones factoriales no son importantes (no van a usarse); el método adolece de indeterminación de factores.

(3) Seleccionar el número de factores que son necesarios para captar una cantidad razonable de información de los datos originales.

2.a) Valor de los Autovalores o Raíces Latentes 2.b) Selección a proiri (modelo teórico conocido) 2.c) Utilidad práctica (conceptual) de los factores 2.d) % global varianza original explicada 2.e) Contraste de caída en la comunalidad acumulada

PASOS A COMPLETAR (III)

3.- INTERPRETACIÓN Y ROTACIÓN:

La matriz de cargas, factorial o de componentes relacionarán factores y variables para aproximarnos a su significado. ( Matriz de estructura: Matriz que contiene los coeficientes de correlación entre factores y variables originales. Para factores ortogonales coincide con la de cargas).

• A la hora de valorar si una carga expresa relación o no (es suficientemente elevada), deberemos ser tanto más exigentes cuanto:
  • Menor sea el tamaño muestral
  • Menos variables se incluyan en el factorial
  • El factor analizado sea de los últimos extraídos

Si esta misión es difícil, la rotación elimina ambigüedades, ayudando a hacerlo:

• Rotaciones ortogonales (Varimax, Equamax, Cuartimax): Es conceptualmente menos realista, pero maximiza la varianza "explicada" y, en ocasiones, la ortogonalidad resulta útil.
• Rotaciones oblicuas (Oblimin): Es más realista (es difícil suponer ortogonalidad conceptualmente), suele ofrecer resultados más claros y además aporta información sobre la relación entre factores.

DETALLE TÉCNICO I:

ALGO MÁS SOBRE EL ANÁLISIS DE CORRELACIONES

• Triple condición de análisis:

DETALLE TÉCNICO II:

ALGO MÁS SOBRE LA EXTRACCIÓN POR

COMPONENTES PRINCIPALES (MARCO GENERAL)

"P" variables iniciales:

X’ = [X 1 , X 2 ........X (^) p F 05 D

Construiremos p componentes principales guiados por: (1) función lineal de las variables originales, (2) que absorban el máximo de variación de las variables X y (3) que estén incorrelacionados.

Y (^) ij = ; j = 1, 2, ....., n

Y (^) i = ; ;

La variación de la variable Yi, será:

donde S = X’X

DETALLE TÉCNICO III:

DETALLE OBTENCIÓN 1ER Y 2º COMPONENTES

PRINCIPALES

El primer componente es:

..... y debemos procurar que se maximice:

Para abordar el proceso debemos exigir:

..... por tanto al final: Max ..... ... o sea:

Huyendo de la solución trivial tenemos: ........ ...... a partir de aquí, hallamos que sustituida en nos da