Analisi matematico Basico, Apuntes de Análisis Matemático

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2 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Extremos de una función: Sea f una función definida en un intervalo I que contiene a x (^) 0 :

1. f ( x 0 ) es el mínimo de f en I si f ( x 0 ) f ( x )  x  I
2. f ( x 0 ) es el máximo de f en I si f ( x 0 ) f ( x )  x  I El mínimo y el máximo de una función en un intervalo se llaman valores extremos de la función en ese intervalo. También se los llama Máximo Absoluto y Mínimo Absoluto de ese intervalo. Una función no tiene necesariamente máximo y mínimo en un intervalo. Ejemplos:

a.- f ( x ) x^2  1 en  1 , 2 

f ( x ) es continua en   1 , 2 

Máximo Absoluto: (2,3) Mínimo Absoluto: (0,-1) b.- f ( x ) x^2  1 en (-1,2) f ( x )es continua en (-1,2) No tiene Máximo Absoluto Mínimo Absoluto: (0,-1)

4 Máximo Relativo : Si existe algún intervalo abierto en el que f ( x 0 ) sea el máximo valor se dice que f ( x 0 )es un máximo relativo de f Mínimo Relativo: Si existe algún intervalo abierto en el que f ( x 0 ) sea el mínimo valor se dice que f ( x 0 )es un mínimo relativo de f Aclaración: La curva de la función donde alcanza un máximo o mínimo relativo puede tener recta tangente horizontal lo que significa que la función es derivable en ese punto o puede ser un punto anguloso o filoso, lo que significa que la función no es derivable en ese punto. Por ejemplo, la función dada en el ejemplo anterior para el primer caso. El de f ( x ) x para el segundo caso. (0,0) es mínimo relativo de la función La función no es derivable en (0,0) Números Críticos Si f está definida en x 0 se dirá que x 0 es un número crítico o punto crítico de f si f ´( x 0 ) 0 o si f ´( x )no está definida en x 0 Por ejemplo:

2 f ( x ) ( 1  x ) Dominio de f ( x ) R

f ´( x ) 2 ( 1  x ) 0  x  1 ( Punto crítico )

5

1 ( ) 2   x x f x Dominio de f (^ x )^ R {^1 }        (^) cos

2 1 2 2 2 2 2

Puntos críti

x

x

x

x x

x

x x

x

x x x

f x

Los extremos relativos sólo ocurren en los números críticos.

Guía para hallar extremos absolutos en un intervalo cerrado  a , b  de una

función continua 1.-Hallar los números críticos. 2.-Evaluar la función en cada número crítico que tenga en el intervalo cerrado

 a , b 

3.-Evaluar la función en los extremos del intervalo  a , b 

4.-El menor de tales valores de los ítems 2.- y 3.- es el mínimo absoluto y el mayor es el máximo absoluto de la función en el intervalo [ a; b ] Ejemplo: Hallar los extremos absolutos de: ( ) 3 4  1 , 2  4 3 f x  x  x en  Resolución:

3 2 2 2

f x  x  x  x x   x x    x  x 

1.- Números críticos: x ^0 y x ^1

2.- f (^0 )^0 f (^1 )^1

3.- f (^ ^1 )^7 f (^2 )^16

4.- (2,16) Máximo Absoluto (1,-1) Mínimo Absoluto

7 Los siguientes pasos permiten reconocer la existencia de extremos relativos: 1.- Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento 2.- Si f es una función continua y derivable en un intervalo abierto que contiene a x (^) 0 y x 0 es un número crítico se cumple que:

• Si f ´ cambia de negativa a positiva cuando pasa por x 0 entonces f ( x 0 ) es un mínimo relativo de f.
• Si f ´ cambia de positiva a negativa cuando pasa por x 0 entonces f ( x 0 ) es un máximo relativo de f.
• Si f ´ no cambia de signo cuando pasa por x 0 entonces f ( x 0 ) no es ni máximo ni mínimo relativo Ejemplo: Calcular máximos y mínimos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:

1. f^ (^ x )^2 x^3 x^12 x 3 2    Dominio f: R ' ( ) 6 6 12 2 f x  x  x 

Números críticos: x 1 = - 2 x 2 = 1

Signo de f’(x) + 0 - 0 +

6 6 12 0 1 2 2 1 2 x  x    x  x 

8

2

f           

2 2

f

f

Int. Crec: ^ ^ ,^2 ^ ^1 ,

Int. Dec: (-2,1)

Máximo relativo: (- 2 , 20)

3 2

f           

Mínimo relativo: (1,-7)

( 1 ) 2. 1 3. 1 12. 1 2 3 12 7 3 2 f        El Criterio de la Derivada Segunda Dada f una función tal que: f ´( x 0 ) 0 y la derivada segunda de f existe en un intervalo abierto que contiene a x 0

• Si f ´´( x 0 ) 0 entonces f  x 0 es un mínimo relativo
• Si f ´´( x 0 ) 0 entonces f ( x 0 ) es un máximo relativo

10 Puntos de Inflexión El punto de inflexión es el punto de la gráfica de la curva en la cual la curva cambia la concavidad. f ( x 0 ) es punto de inflexión si f ´´( x 0 ) 0 o f ''( x 0 ) noexiste y

alguna de sus derivadas sucesivas en x 0 es distinta de cero.

Además, la derivada segunda posee distinto signo en los intervalos anterior y

posterior al valor x 0.

En el punto de inflexión la curva de la función tiene una recta tangente que atraviesa a la curva. Esta recta tangente puede ser inclinada, horizontal o vertical. En el ejemplo anterior: f ( x ) 2 x 3 x 12 x 3 2    Dominio f: R ' ( ) 6 6 12 2 f x  x  x  f ' '( x ) 12 x  6 2 1 12 6 12 x  6  0  x  

Punto de Inflexión es: (- 0 , 5 ; 6 ,5)

f ' ''( x ) 12  0 ( 0 , 5 ) 2 ( 0 , 5 ) 3 ( 0 , 5 ) 12 ( 0 , 5 ) 6 , 5 3 2 f        

11 Intervalos de concavidad:

Signo de f ’’(x) - 0 +

f ' '( 1 ) 12 ( 1 ) 6  6  0 f ' '( 1 ) 12. 1  6  18  0

Int. Concavidad hacia abajo: (-∞ ; - 0 ,5)

Int. Concavidad hacia arriba: (-0,5 ; ∞)

Aclaración: Si una función tiene puntos de discontinuidad, éstos deben analizarse junto con los números críticos para determinar los intervalos de prueba.

13 Int. Crec: ^ ^ ,^1 ^ ^1 , Int. Dec: ^ ^1 ,^0 ^ ^0 ,^1  Máximo relativo: (-1,-2) 2 1 1 ( 1 ) ( 1 )   f     Mínimo relativo: (1,2) 2 1 1 f ( 1 ) 1   Dominio f´: R - {0} 4 4 3 2 2 ''( ) 2 ''( ) 0

1. 1. 2 ' '( ) 0 x f x x x f x x x x f x               0 2 3  x

No existe x real tal que f '^ '( x )^0

No existe punto de Inflexión 2 1 ' ( ) 1 x f x  

14 Intervalos de concavidad:

Signo de f ’’(x) - --- +

f   la función es cóncava hacia abajo en

el intervalo (-∞,0)

f ' '( 1 ) 3   la función es cóncava hacia arriba en el intervalo (0, ∞)

Int. concavidad hacia abajo: (-∞ , 0)

Int. concavidad hacia arriba: (0 , ∞)

16 Ejemplo del análisis de una función a partir de la curva de su derivada primera La curva representada en el gráfico corresponde a la derivada de la función

f(x). f’(x) = x

2

+ x - 6. Indicar para la función f(x) :

a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Extremos relativos. c) Puntos de inflexión. d) Intervalos de concavidad x = - 3 y x = 2 son números críticos (Valores que anulan a la función f’(x) ) En x = - 3 f(x) tiene un máximo relativo (El signo de la función f’(x) cambia de positivo a negativo cuando pasa por x = -

En x = 2 f(x) tiene un mínimo relativo (El signo de la función f’(x) cambia de negativo a positivo cuando pasa por x =

Intervalos de crecimiento de f(x) : (-∞, - 3) U (2, ∞) (La función f’(x) es positiva en esos intervalos) Intervalo de decrecimiento de f(x) : (-3, 2) (La función f’(x) es negativa en esos intervalos)

17 Punto de inflexión en x = - 1/ (La pendiente de la recta tangente a la curva de f’(x) es cero, es decir que la derivada segunda f’’(x) es 0 en x = - 1/2) Intervalo de concavidad hacia abajo: (-∞, - 0.5) (La pendiente de la recta tangente a la curva de f’(x) en ese intervalo es negativa, es decir que la derivada segunda f’’(x) es negativa en ese intervalo) (Además la función f’(x) es decreciente en ese intervalo) Intervalo de concavidad hacia arriba: (-0.5, ∞) (La pendiente de la recta tangente a la curva de f’(x) en ese intervalo positiva, es decir que la derivada segunda f’’(x) es positiva en ese intervalo) (Además la función f’(x) es creciente en ese intervalo) Gráfico de la función f(x) y su derivada f’(x)