¡Descarga Ejercicios tema Funciones I: Determinar dominios, curvas de nivel y isocuantas - Prof. Llo y más Apuntes en PDF de Análisis Matemático solo en Docsity!
EJERCICIOS TEMA 1.
- Determinar y dibujar ( en el caso de dos variables) los dominios de las siguientes funciones:
(a) f (x; y) = x^2 + y^2 (b) f (x; y) = 4x^2 y^3 (c) f (x; y) = (^) 1+yx 2 (d) f (x; y) = (^4) x (^21) +y 2 (e) f (x; y; z) = x^2 + y^3 + (^1) z (f) f (x; y; z) = x^2 + y^2 + 2 (g) f (x; y) = e
xy
(h) f (x; y) = (x^2 + y^3 ) log
xy + x^2
(i) f (x; y) =
q x y x+y ^1 (j) f (x; y) =
x^2 + y^2
log
x^2 + y^2 1
- Indicar el dominio, los espacios inicial y Önal, y la expresiÛn de las fun- ciones que se describen a continuaciÛn:
(a) Los beneÖcios de una empresa que produce 3 bienes con unos costes de 0090 euros, 0050 euros y 1020 euros por unidad respectivamente y unos respectivos precios de venta de 1050 euros, 1 euro y 2010 euros, en funciÛn de su producciÛn. (b) El ·rea de un tri·ngulo de vÈrtices (0; 0), (a; 0) y (0; b) en funciÛn de a; b 2 R. (c) El valor real de un automÛvil que sufre una depreciaciÛn del 20% anual en funciÛn del precio de compra y del tiempo de uso.
- Encontrar la expresiÛn de la funciÛn y su dominio para la funciÛn de costes totales de una empresa que produce 3 bienes A, B y C cuyos costes de producciÛn unitarios respectivos son 1í5 euros, 3 euros y 2 euros.
- Determinar y representar el dominio de deÖniciÛn de las siguientes fun- ciones:
(a) f (x; y) = ln(x^2 + y) (b) g(x; y) =
p x^2 y^2 +
p x^2 + y^2 1 (c) h(x; y) =
p 2 (x^2 + y^2 )
- Dibujar algunos conjuntos de nivel de las siguientes funciones:
(a) f (x; y) = x + y 3
(b) f (x; y) = 2x y (c) f (x; y) = x^2 y (d) f (x; y) = x^2 + y^2 (e) f (x; y) = log
x^2 + y^2
(f) f (x; y) = exy (g) f (x; y) = 4 (x + 1)^2 (y 2)^2 (h) f (x; y) = 2 log(xy) (i) f (x; y) = minf 3 x; 2 yg
- Dibujar las curvas de nivel para x > 0 e y > 0 de las siguientes funciones de utilidad:
(a) f (x; y) = 13 x + y (b) f (x; y) = 2 log x + log y (c) f (x; y) = min fx; yg (d) f (x; y) = min f 2 x; yg
- Represente en R^2 + algunas isocuantas de las siguientes funciones de pro- ducciÛn.
a) f (x 1 ; x 2 ) = 4x 1 x 21 =^2 : b) f (x 1 ; x 2 ) = x 1 + 2 log x 2 :
- Represente en R^2 + algunas curvas de indiferencia de la siguientes funciones de utilidad
a. U (x 1 ; x 2 ) = 2(x 1 3)(x 2 2)^1 =^2 ; x 1 3 ; x 2 2 : b. U (x 1 ; x 2 ) = 2x 1 + 3 log x 2 : c. U (x 1 ; x 2 ) = 2x 2 + 3 log x 1 :
- Represente gr·Öcamente los siguientes conjuntos de R^2 +:
a) El conjunto de cestas (x 1 ; x 2 ) accesibles para un consumidor con renta 50, que se enfrenta a unos precios p 1 = 2 y p 2 = 1: b) El conjunto de cestas preferidas a la cesta (1; 1) si la funciÛn de utilidad del individuo es U (x 1 ; x 2 ) = x 1 x 2 : c) El conjunto de cestas preferidas o indiferentes a la cesta (1; 1) si la funciÛn de utilidad del individuo es U (x 1 ; x 2 ) = x 1 x 2 : d) El conjunto de cestas accesibles y preferidas o indiferentes a la cesta (1; 1) si la funciÛn de utilidad del individuo es U (x 1 ; x 2 ) = x 1 x 2 y su conjunto presupuestario es el dado en el apartado (a).
(e) f (x; y) =
x^2 + y^2
log
x^2 + y^2 1
(f) f (x; y) =
xy si (x; y) 6 = (1; 1) 2 si (x; y) = (1; 1)
- Explicar por quÈ las curvas de nivel de una funciÛn z = f (x; y) para las cotas co y c 1 no se cortan.
- La estimaciÛn de la producciÛn de un centro pesquero de langostas viene dado por: F (S; E) = 2; 26 S^0 ;^44 E^0 ;^48 donde S designa el n˙mero de capturas y E el trabajo invertido y F (S; E) las capturas. C·culese la F (tS; tE) para t 2 R. En particular proporcione un signiÖcado para t = 2:
- Considere la funciÛn de producciÛn f (x 1 ; x 2 ) = Ax 1 x 2 ; donde (x 1 ; x 2 ) 2 R^2 +; y A; y son constantes positivas.
a) Represente gr·Öcamente algunas curvas de nivel (isocuantas) en los siguientes casos:
i) = 1= 4 ; = 1=4; ii) = 1= 2 ; = 1=2; iii) = 1; = 1:
b) Si A = = = 1; represente el conjunto de combinaciones (x 1 ; x 2 ) que permiten producir al menos 4 unidades de bien.
- Una empresa produce dos bienes, X e Y: Cuando produce cantidades x e y de dichos bienes, incurre en unos costes dados por C(x; y) = 2x^2 + y^2 :
a. Represente gr·Öcamente algunas curvas de nivel (curvas de isocostes). b. Si solo dispone de 100 u.m., represente gr·Öcamente todas las posibles combinaciones (x; y) que podrÌa producir.
- Cuando se producen x e y unidades de los bienes X e Y se incurre en unos costes dados por la funciÛn C(x; y) = x + 2y^2 : Los bienes X e Y se venden, respectivamente, a precios px = 1 y py = 2 por unidad.
a. Encuentre y represente gr·Öcamente la curva de isocoste que contiene al punto (6; 1) : b. Encuentre y represente gr·Öcamente el conjunto de combinaciones de productos (x; y) que permitan ingresar al menos 8 unidades mone- tarias sin pÈrdidas.
