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MATEMÁTICAS BÁSICAS
ANÁLISIS COMBINATORIO
ANÁLISIS COMBINATORIO
CONTEO
Para calcular la cantidad de elementos que tienen los conjuntos formados con ciertas reglas, sin que sea necesario saber enumerarlos uno a uno se utiliza el principio fundamental del conteo. Este principio
establece que si un evento puede tener lugar de m maneras diferentes y, luego de sucedido éste, un
segundo evento puede suceder de p maneras distintas, el número de formas diferentes en que pueden
realizarse los dos eventos es:
m ⋅ p
Ejemplo. Si en una reunión hay 3 hombres y 4 mujeres, ¿de cuántas maneras es posible seleccionar una pareja hombre-mujer?
Solución.
Si h 1 , h 2 ,h 3 son los hombres y m 1 , m 2 ,m 3 ,m 4 son las mujeres. Se aprecia que puede haber cuatro
parejas en las que h 1 es el hombre, otras cuatro en las que h 2 es el hombre y otras cuatro en las que el
hombre es h 3. De esta manera se concluye que el número de parejas es 4 + 4 + 4 = 12.
Si se establece que e 1 es el evento "elegir un hombre" y e 2 al evento "elegir una mujer". Como e 1 puede
suceder de tres maneras diferentes y e 2 de cuatro maneras diferentes, la cantidad de maneras de formar
una pareja (esto es que sucedan los eventos e 1 y e 2 ) es 3 (^4 )^ =^12.
Ejemplo.
Consideremos el conjunto A ={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }, ¿cuántos números de cinco cifras diferentes se pueden
formar con los elementos del conjunto A?
Solución. La primera cifra puede elegirse de cinco maneras diferentes, la segunda puede elegirse de cuatro maneras diferentes (no se puede usar el número colocado en el primer lugar), la tercera de tres maneras diferentes, la cuarta de dos maneras y la quinta de 1 manera. Aplicando el principio fundamental de
conteo, se obtiene: 5 ( 4 )( 3 )( 2 )( 1 ) = 120.
Ejemplo. El juego de placas de un automóvil consta de tres dígitos de los cuales el primero no es cero, seguidas de tres letras diferentes. ¿Cuántos juegos de placas pueden formarse? (se consideran 26 letras y 10 dígitos).
Solución. La primera letra puede elegirse de 26 maneras diferentes, lo mismo sucede para las otras dos. En el primer lugar de las cifras pueden colocarse 9 dígitos porque el cero no puede estar en el primer lugar. En el siguiente lugar pueden colocarse 10 dígitos y lo mismo sucede en el tercer lugar.
Aplicando el principio de conteo la cantidad pedida será: 9 ( 10 )( 10 )( 26 )( 26 )( 26 ) = 15 ' 818 , 400.
FACTORIAL DE UN NÚMERO
Se define como factorial de un número natural n al producto de n por todos los números que le
preceden. Se denota mediante n! :
n! = 1 ( 2 )( 3 )( 4 ) ⋅⋅⋅( n− 1 )( n)
Por definición, el factorial de cero es uno: 0! ≡ 1
El factorial de un número crece de forma muy considerable.
Ejemplos:
ORDENACIONES
Sea un conjunto de p elementos distintos. Si de ellos se toman grupos ordenados de elementos
diferentes, a cada una de estas disposiciones se les llama ordenaciones de p elementos tomados de q
en q. Esto significa que son las distintas agrupaciones que se pueden formar de manera que dos
diferentes agrupaciones difieran de un elemento o en su orden.
Ejemplo. Dado el conjunto M={a,b,c,d} se quiere formar los tríos ordenados de elementos sin repetir. ¿De cuántas maneras se puede hacer?
Solución. Se forma una tabla con tres columnas. En la primera se ponen todos los elementos del conjunto. En la segunda, los pares derivados de cada elemento y en la tercera, las tercias derivadas de cada par:
a
ab abc abd
ac acb acd
ad adb adc
b
ba bac bad
bc bca bcd
bd bda bdc
c
ca cab cad
cb cba cbd
cd cda cdb
d
da dab dac
db dba dbc
dc dca dcb
O =
Ejemplo. Dados los dígitos 2,3,5,6,7 y 9.
a) ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar? Solución.
El número de ordenaciones distintas es:
O =
b) ¿Cuántos números mayores de 400 se pueden formar? Solución. Para que sean mayores de 400 se deben descartar los dígitos 2 y 3 de la cifra más significativa, así que para la primera cifra hay 4 posibilidades, para la segunda hay 5 y para la tercera hay 4. Así que se
pueden formar 4 ( 5 )( 4 ) = 80 números.
c) ¿Cuántos números menores de 400 se pueden formar? Solución. Para que sean menores de 400 el primer dígito debe ser 2 ó 3. es decir sólo hay dos posibilidades.
Para el segundo dígito puede ser cualquiera de los cinco restantes:
O =
Para el tercer dígito puede ser cualquiera de los cuatro restantes:
O =
Por lo tanto, se pueden formar: 2 2 (^5 )(^4 )^40
4 1
5
⋅ O 1 ⋅O = = números.
PERMUTACIONES
Dados n objetos diferentes a 1 , a 2 ,a 3 ,⋅ ⋅⋅,an, ¿de cuántas maneras es posible ordenarlos? Por ejemplo,
para los elementos α, β, γ, hay 6 ordenaciones: αβγ, αγβ, βαγ, βγα, γαβ, γβα. En el caso general se
tendrán n maneras de escoger un elemento que ocupará el primer lugar, n − 1 maneras de elegir el que
ocupará el segundo lugar, n − 2 formas de escoger el que ocupa el tercer lugar y así sucesivamente
hasta tener una forma de elegir el que ocupa el último lugar. Por lo tanto, la cantidad de maneras de
ordenar n elementos diferentes es: n( n− 1 ) ( n− 2 ) ⋅⋅⋅ 1 =n!. Cada ordenación de los n objetos se
llama una permutación simple de los n elementos y la cantidad de estas permutaciones se representa
P n . De esta manera Pn = n!. Es decir, las permutaciones son las agrupaciones de los p elementos
tomados a la vez, de manera que dos agrupaciones difieran entre sí en el orden de los elementos.
Se puede concluir, a partir de lo anterior, que las permutaciones son un caso particular de ordenaciones, cuando se consideran todos los elementos del conjunto.
Ejemplo. ¿Cuántos son los anagramas (transposiciones de letras) de la palabra PRÁCTICO?
Solución. Cada anagrama de PRÁCTICO es nada más que una ordenación de las letras P, R, A, C, T, I, C, O. De
esta manera la cantidad de anagramas de la palabra PRÁCTICO será P 8 = 8 != 40 , 320.
Ejemplo. ¿Cuántos son los anagramas de la palabra PRÁCTICO que comienzan y terminan en consonante?
Solución. Como la palabra tiene ocho letras y hay tres vocales, la consonante inicial puede ser elegida de 5 maneras. Al empezar con una consonante, la consonante final sólo puede elegirse de 4 formas. Las
restantes pueden ser arregladas entre esas dos consonantes de P 6 =^6 !=^720 formas. La respuesta es:
Ejemplo. ¿En un parque, de cuántas maneras pueden sentarse cinco chicos y cinco chicas en cinco bancas para dos, de modo que en cada banca queden un chico y una chica?
Solución. El primer chico puede escoger un lugar de 10 formas, el segundo de 8 maneras, el tercero de 6 modos, el cuarto de 4 formas y el quinto de 2 maneras. Colocados los chicos, debemos colocar las 5 chicas en los 5
lugares que sobran, lo que puede ser hecho de P 5 = 5 != 120 formas. La respuesta es:
COMBINACIONES
Sea el conjunto: B = {m,n,o,p,q}
Todos los subconjuntos que tienen tres elementos son:
{m,n,o}, {m,n,p}, {m,n,q}, {m,o,p}, {m,o,q}, {m,p,q}, {n,o,p}, {n,o,q}, {n,p,q},{o,p,q}.
La elección de los elementos de los subconjuntos puede ser efectuada considerando las ordenaciones de cinco elementos tomados de 3 en 3. Sin embargo, algunos subconjuntos serían considerados diferentes siendo idénticos, por ejemplo, los subconjuntos {m,n,o}, {m,o,n}, {n,m,o}, {n,o,m}, {o,m,n}, {o,n,m}. Esto sucede porque en las ordenaciones son diferentes aquellas disposiciones que tienen los mismos
elementos en diferente orden. Esto significa que la cantidad
O = está contando cada
subconjunto una vez para cada ordenación diferente de sus elementos. Como en cada subconjunto los
elementos pueden ser ordenados de P 3 = 3 != 6 formas, el total de subconjuntos será 10
3
5
P
O
Definición:
Dado un conjunto A con p elementos, se denomina combinaciones de p elementos tomados de q en
q (con q ≤ p), a todos los subconjuntos de q elementos cada uno tomados de entre los p dados.
Esto significa que son todas las diferentes agrupaciones que pueden formarse de tal manera que desde
dichas agrupaciones difieran entre sí en al menos un elemento. Se denota mediante
q
p
o como p
Cq.
Generalizando, considerados los arreglos de p elementos tomados de q en q , se debe descartar
aquellos que, teniendo los mismos elementos, están dispuestos en distinto orden. Entonces resulta:
p q q
p
P
O
q
p
q
p q
a
aa
aaa aab aac
ab
aba abb abc
ac
aca acb acc
b
ba
baa bab bac
bb
bba bbb bbc
bc
bca bcb bcc
c
ca
caa cab cac
cb
cba cbb cbc
cc
cca ccb ccc
Se aprecia que en la primera columna se colocaron los elementos, en la segunda las ordenaciones de dos en dos y en la tercera las ordenaciones de tres en tres. En este caso, por cada elemento se obtienen tantas ordenaciones con repetición como elementos hay en el conjunto.
Las ordenaciones con repetición de 2 elementos tomados de entre 3 dados es 9 y las ordenaciones con repetición de 3 elementos tomados de entre 3 dados es 27.
Las ordenaciones con repetición se denotan como: p ORq
De esta manera, si se tienen p^ elementos, las ordenaciones con repetición con orden el respectivo serán:
OR 1 p^ = p
OR 2 p =p^ (^ p)^ =p^2 ( )( ) 3 OR 3 pp p p p = =
y así sucesivamente, por lo que:
p q ORq =p
Ejemplo. Con una cerradura de combinación de seis discos, de diez letras cada uno (las mismas letras en cada disco), ¿cuántas disposiciones pueden obtenerse?
Solución. Serán las ordenaciones con repetición de diez letras tomadas de seis en seis. Por lo tanto:
OR^106 = 106 = 1 ' 000 , 000
COMBINACIONES CON REPETICIÓN
De forma análoga a las ordenaciones, se puede suponer que, en una combinación, un determinado elemento pueda figurar varias veces, es decir se tratan de combinaciones con repetición. La cantidad de
combinaciones con repetición de p elementos tomados de q en q se denota como p CRq. Este número
puede ser, evidentemente, mayor que el de las combinaciones simples de p elementos tomados de q
en q^.
Para observar cómo se forman estas combinaciones, considérense los elementos a, b y c. Para obtener las combinaciones de orden dos con repetición, será necesario agregar a las combinaciones simples de orden dos ab, ac, bc, los nuevos grupos donde una misma letra puede figurar hasta dos veces, o sea aa, bb, cc, teniendo en total las combinaciones con repetición de orden dos: aa, ab, ac, bb, bc, cc.
Se deduce que las combinaciones de orden dos con repetición, de p elementos, se obtienen agregando,
sucesivamente, a la derecha de cada combinación de orden uno, dicho elemento y cada uno de los subsecuentes. A partir de lo anterior, se puede concluir que para formar las combinaciones con repetición de p elementos tomados de q en q , se forman las de orden anterior q − 1 , y a la derecha de cada una
de estas se coloca, sucesivamente, el último de los elementos que figura en ella y cada uno de los siguientes, hasta el último de los elementos dados, supuestos alineados los elementos de cada grupo en orden numérico o alfabético.
La expresión que permite calcular la cantidad de combinaciones con repetición es:
( ) ( 1 )!!
1! p q
p q CR (^) qp −
Ejemplo. Dados los elementos: {♣,♦,♥,♠} obtener:
a) P 4
b) O 1 4 , O 2 4 , O 3 4 , O 44
c) (^)
4
4 , 3
4 , 2
4 , 1
4
d) OR 1 4 , OR 24
e) 4 CR 1 , 4 CR 2 , 4 CR 3
f) Mostrar cada caso.
Solución.
a) P 4 =^4 !=^24
b) ( )
4 6
24 4 1!
4 4! 1 = = −
O = , ( )
12 2
24 4 2!
4 4! 2 = = −
O = , ( )
24 1
24 4 3!
4 4! 3 = = −
O = ,
( )
24 1
24 4 4!
4 4! 4 = = −
O =
c) ( ) ( )
4 61
24 4 1! 1!
4! 1
4 = = − =
, ( ) ( )
6 22
24 4 2! 2!
4! 2
4 = = − =
, ( ) ( )
4 16
24 4 3! 3!
4! 3
4 = = − =
,
( ) ( )
1 124
24 4 4! 4!
4! 4
4 = = − =
