Análisis de Regresión Múltiple: Conceptos y Aplicaciones | Ejercicios de Matemáticas Aplicadas

AN ÁLI SIS DE RE GRE SIÓ N MÚL TIP LE:

Si el objetivo no slo es la estimacin sino adems la inferencia, entonces,

debemos suponer que las ui siguen alguna distribucin de probabilidad.

Con el supuesto de normalidad, los estimadores de MCO βˆ2, βˆ3 y βˆ1 son de

varianza m%nima en toda la clase de estimadores insesgados, sean lineales o no.

En resumen, son MEI (mejores estimadores insesgados).

El m*todo del anlisis de varianza en las pruebas de significancia general de una

regresin m+ltiple observada: la prueba F.

Esta hiptesis conjunta se prueba con la t*cnica del anlisis de varianza (ANOVA),

lo cual se demuestra de la siguiente manera.

Recuerde la identidad

Yi2􏰀= βˆ2 yi x2i + βˆ3 yi x3i + uˆ2i

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SCT tiene, n − 1 gl, y SCR tiene n − 3 gl. SCE tiene 2 gl, pues es funcin de βˆ2 y

βˆ3. Por consiguiente, seg+n el procedimiento ANOVA

Ahora puede demostrarse que, seg+n el supuesto de la distribucin normal para ui

y la hiptesis nula β2 = β3 = 0, la variable

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uˆ2i / (n − 3) SCR/gl

se distribuye como la distribucin F con 2 y n − 3 gl.

SCE/gl

SCR/gl

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ANÁLISIS DE REGRESIÓN MÚLTIPLE: Si el objetivo no sólo es la estimación sino además la inferencia, entonces, debemos suponer que las ui siguen alguna distribución de probabilidad. Con el supuesto de normalidad, los estimadores de MCO βˆ2, βˆ3 y βˆ1 son de varianza mínima en toda la clase de estimadores insesgados, sean lineales o no. En resumen, son MEI (mejores estimadores insesgados). El método del análisis de varianza en las pruebas de significancia general de una regresión múltiple observada: la prueba F. Esta hipótesis conjunta se prueba con la técnica del análisis de varianza (ANOVA), lo cual se demuestra de la siguiente manera. Recuerde la identidad Yi^2 􏰀= βˆ 2 yi x2i + βˆ 3 yi x3i + uˆ^2 i SCT= SCE + SCR SCT tiene, n − 1 gl, y SCR tiene n − 3 gl. SCE tiene 2 gl, pues es función de βˆ2 y βˆ3. Por consiguiente, según el procedimiento ANOVA Ahora puede demostrarse que, según el supuesto de la distribución normal para u (^) i y la hipótesis nula β 2 = β 3 = 0, la variable F=􏰀 ( βˆ=􏰀 ( βˆ=􏰀 ( βˆ=􏰀 ( βˆ=􏰀 ( βˆ=􏰀 ( βˆ=􏰀 ( βˆ=􏰀 ( βˆ=􏰀 ( βˆ=􏰀 ( βˆ=􏰀 ( βˆ=􏰀 ( βˆ=􏰀 ( βˆ=􏰀 ( βˆ ( βˆ 2 yi x2i +βˆ 3 yi x3i ) / 2 SCE/gl uˆ^2 i / (n − 3) SCR/gl se distribuye como la distribución F con 2 y n − 3 gl. SCE/gl SCR/gl

El modelo estimado de regresión con dos variables sirve para 1) predicción de la media, es decir, predicción puntual sobre la función de regresión poblacional (FRP), y también para 2) predicción individual, es decir, predicción de un valor individual de Y, dado el valor de la regresora X = X 0 , donde X 0 es el valor numérico específico de X. Conclusión:  En la regresión múltiple, la prueba de significancia individual de un coeficiente de regresión parcial (con la prueba t) y la prueba de la significancia general de la regresión (es decir, H0 : todos los coeficientes de pendiente parcial son cero o R^2 = 0) no son la misma cosa.  La prueba F tiene gran versatilidad, pues con ella se pueden probar diversas hipótesis, como 1) si un coeficiente de regresión individual es estadísticamente significativo, 2) si todos los coeficientes de pendiente parciales son cero, 3) si dos o más coeficientes son estadísticamente iguales, 4) si los coeficientes satisfacen algunas restricciones lineales y 5) si el modelo de regresión posee estabilidad estructural. Como por ejemplo: es el caso de dos variables, el modelo de regresión múltiple sirve para fines de predicción de media y/o individual.

Las consecuencias de la multicolinealidad son las siguientes: si existe colinealidad perfecta entre las X, sus coeficientes de regresión son indeterminados y sus errores estándar no están definidos. Si la colinealidad es alta pero no perfecta—la colinealidad de nuestro modelo no es perfecta—, por tanto, es posible la estimación de los coeficien- tes de regresión, pero sus errores estándar tienden a ser grandes. Como resultado, los valores poblacionales de los coeficientes no pueden estimarse en forma precisa.

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