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ejercicio resueltos de vigas AE 2
Tipo: Ejercicios
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3.1 Ejercicio. Viga de tres luces con cargas puntual, continua y variable.
Para la viga en concreto mostrada en la figura 3.1-a, encontrar las reacciones y el giro en el punto D, considere E= 20 GPa.
Figura 3.1-a Resolución:
Propiedades de la sección de la viga
A=0,10 m^2 Iy=0,001333 m^4 E=20 000 000 kPa
Numeración de los grados de libertad y elementos de la viga
Solo se tendrán en cuenta los grados de libertad verticales y giros ya que la viga estará sometida solo a fuerzas cortantes y flexión como se mencionó en el primer capítulo, como no existen cargas con componentes en la dirección X, la fuerza axial en cualquiera de los tres elementos será cero.
La enumeración de los grados de libertad se realiza de manera que queden agrupados aquellos que no tienen restricción cinemática y los demás corresponderán a las reacciones de la viga, como se aprecia en la figura 3.1-b
Figura 3.1-b Discretizacion de la viga
Como se estableció en la discretización de la viga solo se estudiaran tres elementos conectados por sus nodos A, B, C y D, por lo tanto se llevaran las fuerzas equivalentes generadas por las distintas cargas sobre los elementos a cada nodo, para ello se asume la condición de empotramiento perfecto de los elementos y se calculan las reacciones para cada uno como se muestra en la figura 3.1-c. al final las fuerzas actuantes serán la suma de los efectos de las cargas de cada elemento teniendo en cuenta su dirección y magnitud, estas actuaran sobre la viga en el sentido contrario a la supuesta reacción.
Figura 3.1-e. Fuerzas actuantes en los nodos de la viga
De esta manera se obtienen las fuerzas actuantes sobre la viga, La dirección predominante de la carga corresponde a la de mayor magnitud, estas actúan en la dirección opuesta a reacción idealizada.
Matriz de rigidez local y global de los elementos de la viga
Para la obtención de la matriz de rigidez local de los elementos se sustituyen los valores de E, Iz y L en la matriz mostrada en el primer capítulo para vigas.
Elemento 1
Angulo de rotación 0° (0,0 rad). L=5.0 m E= 20000, E= 20000000,000 kpas
L= 5,00 m B 0,25 m H 0,40 m
A= 0, I= 0,
Ѳ= 0,00 °
12EIy/L^3 = 2560 kN/m 6EIy/L^2 = 6400 kN/m 2EIy/L = 10666,67 kN/m 4EIy/L = 21333,33 kN/m
Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m
Como los elementos de la viga están alineados horizontalmente no se presentaran rotaciones y no será necesario el uso de la matriz de transformación de coordenadas del sistema local a global ya que coinciden, siendo directamente la matriz de rigidez local la global, solo se agrega la correspondencia de los grados de libertad locales a los globales de la viga según el elemento.
1 2 3 4 2560,00 6400,00 -2560,00 6400,00 1
6400,00 21333,33 -6400,00 10666,67 2
-2560,00 -6400,00 2560,00 -6400,00 3
6400,00 10666,67 -6400,00 21333,33 4
[ k 1 ] =
1 2 3 8 2560,00 6400,00 -2560,00 6400,00 1
6400,00 21333,33 -6400,00 10666,67 2
-2560,00 -6400,00 2560,00 -6400,00 3
6400,00 10666,67 -6400,00 21333,33 8
[ K 1 ] =
Matriz de rigidez en coordenadas globales
Elemento 3
Angulo de rotación 0° (0,0 rad).
3 8 4 7 3511,66 7901,23 -3511,66 7901,23 3
7901,23 23703,70 -7901,23 11851,85 8
-3511,66 -7901,23 3511,66 -7901,23 4
7901,23 11851,85 -7901,23 23703,70 7
[ K 2 ] =
E= 20000000,0 kpas
L= 5,50 m
B 0,25 m
H 0,40 m
A= 0,
I= 0,
Ѳ= 0,00 °
1 2 3 4 1923,37 5289,26 -1923,37 5289,26 1
5289,26 19393,94 -5289,26 9696,97 2
-1923,37 -5289,26 1923,37 -5289,26 3
5289,26 9696,97 -5289,26 19393,94 4
[ k 3 ] =
Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m
Matriz de rigidez en coordenadas globales
Ensamble de la matriz de rigidez de la viga
Ejemplo:
K3,4= K3,4 elemento1 + K3,4 elemento2 + K3,4 elemento K3,4= (0,0) + (-3511,66) + (0,0) K3,4= - 3511,66 kN/m
K8,3= K8,3 elemento1 + K8,3 elemento2 + K8,3 elemento K8,3= (-6400,00) + (7901,23) + (0,0) K8,3= 1501,23 kN/m
4 7 5 6 1923,37 5289,26 -1923,37 5289,26 4
5289,26 19393,94 -5289,26 9696,97 7
-1923,37 -5289,26 1923,37 -5289,26 5
5289,26 9696,97 -5289,26 19393,94 6
[ K 3 ] =
4 7 5 6 1923,37 5289,26 -1923,37 5289,26 4
5289,26 19393,94 -5289,26 9696,97 7
-1923,37 -5289,26 1923,37 -5289,26 5
5289,26 9696,97 -5289,26 19393,94 6
[ K 3 ] =
Figura 3.1-f
Vector de fuerzas sobre la viga en kN
gdl Fuerzas
(^1) Ay-17,
(^2) Ma-21,
(^3) By-51,
(^4) Cy-50,
(^5) Dy-38,
(^6) 30,
(^7) 5,
(^8) -3,
Vector de desplazamientos
Se sabe que la rigidez (K) es la relación entre una fuerza y el desplazamiento elástico que produce.
[U]= [K]-1^ [F] ecu 3.
Se sustrae la sub matriz de rigidez asociadas a las fuerzas conocidas (K 00 ) para calcular sus desplazamientos aplicando la ecuación No 3.
Obteniendo la inversa de la matriz [K 00 ], resulta
6 7 8 19393,9 9696,97 0 6
9696,97 43097,6 11851,9 7
0 11851,9 45037 8
6 7 8 0,000059 -0,000014 0,000004^6
-0,000014 0,000028 -0,000007^7
0,000004 -0,000007 0,000024^8
Las fuerzas en la base serán:
F1= -0,053 kN F2= -0,089 kN F3= -2,053 kN F4= 9,6738 kN F5= -7,5668 kN
Por lo tanto las reacciones en la base se obtendrán como sigue
-0,053=Ay-17,5 ; Ay= 17,447 kN -0,089=Ma-21,875 ; Ma= 21,786 kN.m -2,053=By-51,25 ; By= 49,197 kN 9,6738=Cy-50,250 ; Cy= 59,92 kN -7,566=Dy-38,50 ; Dy= 30,93 kN
Figura 3.1-g. Reacciones de la viga
