Ejercicios C102 8-09-2021
Diferenciales
El diferencial de una función de dos variables 𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦) es:
𝑑𝑧 =𝜕𝑧
𝜕𝑥𝑑𝑥 +𝜕𝑧
𝜕𝑦𝑑𝑦 =𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑑𝑥 +𝜕𝑓
𝜕𝑦𝑑𝑦
El incremento de la variable z (∆𝑧) y su tasa de crecimiento (∆𝑧
𝑧) , se puede aproximar mediante:
∆𝑧 = 𝜕𝑓
𝜕𝑥∆𝑥 +𝜕𝑓
𝜕𝑦∆𝑦 ; ∆𝑧
𝑧=1
𝑧𝜕𝑓
𝜕𝑥∆𝑥 +1
𝑧𝜕𝑓
𝜕𝑦∆𝑦
El diferencial de una función de dos variables 𝑤 = 𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧) es:
𝑑𝑤 =𝜕𝑤
𝜕𝑥 𝑑𝑥 +𝜕𝑤
𝜕𝑦 𝑑𝑦+𝜕𝑤
𝜕𝑧 𝑑𝑧 =𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑑𝑥 +𝜕𝑓
𝜕𝑦𝑑𝑦 +𝜕𝑓
𝜕𝑧𝑑𝑧
∆𝑤 = 𝜕𝑓
𝜕𝑥∆𝑥 + 𝜕𝑓
𝜕𝑦∆𝑦 + 𝜕𝑓
𝜕𝑧∆𝑧
Definición de Gradiente
El gradiente ∇es un operador vectorial que se calcula a partir de las derivadas parcial, es decir, esl
gradiente se aplicación es un operador que se aplica a una función:
∇= ( 𝜕
𝜕𝑥,𝜕
𝜕𝑦 ) = 𝑖 𝜕
𝜕𝑥 +𝑗 𝜕
𝜕𝑦
El gradiente de una función de dos variables𝑓(𝑥,𝑦) es:
∇f = ( 𝜕
𝜕𝑥,𝜕
𝜕𝑦 ) 𝑓 = 𝑖𝜕𝑓
𝜕𝑥 +𝑗𝜕𝑓
𝜕𝑦
Para una función de tres variables 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧), el gradientes es igual a
∇f = ( 𝜕
𝜕𝑥,𝜕
𝜕𝑦 , 𝜕
𝜕𝑧)𝑓 = 𝑖𝜕𝑓
𝜕𝑥 +𝑗𝜕𝑓
𝜕𝑦+ 𝑘
𝜕𝑓
𝜕𝑧
1. Halle las derivadas de orden superior 𝜕2𝑓
𝜕𝑥2,𝜕2𝑓
𝜕𝑦2,𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦,de: a) 𝑓(𝑥,𝑦)=√16− 𝑥2− 4𝑦2, b)
𝑓(𝑥,𝑦)=ln(4 + 𝑥2+𝑥𝑦 +𝑦2)
2. Por derivación implícita, calcular las derivadas 𝜕𝑧
𝜕𝑥 y 𝜕𝑧
𝜕𝑦 de: a) 𝑒2𝑧+𝑥 −2𝑒𝑧+𝑦 +𝑥𝑦 = 0, b) 4+
𝑥𝑧−ln (𝑥𝑦 + 𝑧) = 0.
3. Para 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦,𝑧), halle las derivadas 𝜕𝑤
𝜕𝑥, 𝜕𝑤
𝜕𝑦 y 𝜕𝑤
𝜕𝑧, y simplifique la expresión: 𝐸 = 𝜕𝑤
𝜕𝑥 𝜕𝑤
𝜕𝑦 −𝜕𝑤
𝜕𝑧,
donde las funciones son: a) 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=ln(4− 𝑥𝑦− 𝑧) , b) 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=𝑥𝑦𝑧
4+𝑥2+𝑦2+𝑧2
4. Aplicando Jacobianos, halle: 𝜕𝑢
𝜕𝑥 y 𝜕𝑣
𝜕𝑦, a partir de las siguientes funciones implícitas:
𝑥 + 𝑦𝑢 + 𝑥𝑣2− 4 = 0
𝑦+ 𝑥𝑣 −𝑢3− 7 = 0
