anillos de lezama 14, Apuntes de Física

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CUADERNOS DE ´ALGEBRA

No. 2

Anillos

Oswaldo Lezama

Departamento de Matem´aticas

Facultad de Ciencias

Universidad Nacional de Colombia

Sede de Bogot´a

30 de mayo de 2017

ii

Cuaderno dedicado a Lukas, mi hijo.

• 1. Anillos y subanillos Pr´ologo v
  • 1.1. Definici´on y ejemplos
  • 1.2. Subanillos
  • 1.3. Ejercicios
• 2. Ideales
  • 2.1. Definici´on y ejemplos
  • 2.2. Operaciones con ideales
  • 2.3. Ejercicios
• 3. Anillo cociente y homomorfismos
  • 3.1. Definiciones y ejemplos
  • 3.2. Teoremas de homomorfismo e isomorfismo
  • 3.3. Ejercicios
• 4. Producto de anillos
  • 4.1. Definici´on y propiedades elementales
  • 4.2. Teorema chino de residuos
  • 4.3. Ejercicios
• 5. Ideales primos y maximales
  • 5.1. Definiciones y ejemplos
  • 5.2. Comportamiento a trav´es de homomorfismos
  • 5.3. Ejercicios
• 6. Dominios de integridad
  • 6.1. Definiciones y ejemplos
  • 6.2. Dominios gaussianos
  • 6.3. Ejercicios
• 7. Anillos de fracciones: caso conmutativo iv CONTENIDO
  • 7.1. Construcci´on y propiedades
  • 7.2. Ejemplos
  • 7.3. Ejercicios
• 8. Polinomios y series
  • 8.1. El anillo de series
  • 8.2. El anillo de polinomios
  • 8.3. Propiedades elementales
  • 8.4. Teorema de Gauss
  • 8.5. Ejercicios
• Bibliograf´ıa

Pr´ologo

La colecci´on Cuadernos de ´algebra consta de 10 publicaciones sobre los principales temas de esta rama de las matem´aticas, y pretende servir de material para preparar los ex´amenes de admisi´on y de candidatura de los programas colombianos de doc- torado en matem´aticas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material b´asico de los cursos de estructuras algebraicas y ´algebra lineal de los programas de maestr´ıa; los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de los ex´amenes de candidatura, a saber: anillos y m´odulos; categor´ıas; ´algebra homol´ogica; ´algebra no conmutativa; ´algebra conmutativa y geometr´ıa algebraica. Cada cuaderno es fruto de las clases dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombia en los ´ultimos 25 a˜nos, y est´an basados en las fuentes bibliogr´aficas consignadas en cada uno de ellos, como tambi´en en el libro Anillos, M´odulos y Categor´ıas, publi- cado por la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuya edici´on est´a totalmente agotada (v´ease [12]). Un material similar, pero mucho m´as completo que el presentado en estas diez publicaciones, es el excelente libro de Serge Lang, Algebra, cuya tercera edici´on revisada ha sido publicada por Springer en el 2004 (v´ease [10]). Posiblemente el valor de los Cuadernos de ´algebra sea su pre- sentaci´on ordenada y did´actica, as´ı como la inclusi´on de muchas pruebas omitidas en la literatura y suficientes ejemplos que ilustran la teor´ıa. Los cuadernos son:

1. Grupos 6. Anillos y m´odulos
2. Anillos 7. Categor´ıas
3. M´odulos 8. Algebra homol´´ ogica
4. Algebra lineal´ 9. Algebra no conmutativa´
5. Cuerpos 10. Geometr´ıa algebraica Los cuadernos est´an divididos en cap´ıtulos, los cuales a su vez se dividen en secciones. Para cada cap´ıtulo se a˜nade al final una lista de ejercicios que deber´ıa ser complementada por los lectores con las amplias listas de problemas que incluyen las principales monograf´ıas relacionadas con el respectivo tema. Cuaderno de anillos. El presente cuaderno da una introducci´on a la teor´ıa general de anillos. Los anillos, junto con los grupos, son posiblemente los objetos algebraicos m´as importantes. En efecto, la teor´ıa general de anillos es el lenguaje fundamental para la mayor´ıa de las corrientes contempor´aneas del ´algebra, entre

v

Cap´ıtulo 1

Anillos y subanillos

Posiblemente junto con los grupos y los espacios vectoriales, los anillos son los obje- tos algebraicos m´as importantes. En este cap´ıtulo presentamos su definici´on, como tambi´en algunos de los ejemplos m´as conocidos de tal estructura.

1.1. Definici´on y ejemplos

Definici´on 1.1.1. Sea A un conjunto no vac´ıo. Se dice que A tiene estructura de anillo, o simplemente que A es un anillo, si en A han sido definidas dos operaciones binarias internas notadas + y · tales que:

(i) (A, +) es un grupo abeliano.

(ii) (A, ·) es un semigrupo con elemento identidad 1.

(iii) La multiplicaci´on es distributiva con respecto a la adici´on, es decir,

a · (b + c) = a · b + a · c (b + c) · d = b · d + c · d

∀a, b, c, d ∈ A.

Si adem´as la multiplicaci´on es conmutativa, es decir,

a · b = b · a , ∀a, b ∈ A,

se dice entonces que (A, +, ·) es un anillo conmutativo.

Observaci´on 1.1.2. En adelante A denotar´a un anillo no necesariamente conmuta- tivo, R un anillo conmutativo, 0 el elemento nulo de la adici´on, tambi´en denominado el cero de A, −a el opuesto aditivo de a ∈ A. Salvo en casos necesarios, omitire- mos el punto de la multiplicaci´on. El elemento identidad 1 tambi´en se denomina el uno de A.

2 CAP´ITULO 1. ANILLOS Y SUBANILLOS

Los siguientes ejemplos ponen de manifiesto la gran variedad de anillos (conmu- tativos y no conmutativos) que podemos encontrar.

Ejemplo 1.1.3. Anillos num´ericos: los n´umeros enteros Z, los racionales Q, los reales R y los complejos C, con sus operaciones habituales de adici´on y multi- plicaci´on, constituyen ejemplos de anillos. Los denotaremos por (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·) y (C, +, ·).

Ejemplo 1.1.4. Anillo de endomorfismos de un grupo abeliano: dado un grupo abeliano (G, +), denotamos por End (G) a su conjunto de endomorfismos:

End (G) := {f : G −→ G|f (a + b) = f (a) + f (b)}.

Consideremos en End (G) las siguientes operaciones: Adici´on: f, g ∈ End (G)

f + g : G −→ G a 7 −→ (f + g) (a) := f (a) + g (a).

Multiplicaci´on: f, g ∈ End (G)

f ◦ g : G −→ G a 7 −→ (f ◦ g) (a) := f (g (a)).

Es f´acil comprobar que End (G) bajo estas operaciones constituye un anillo en el cual su elemento nulo es el endomorfismo nulo,

0 : G −→ G a 7 −→ 0

y su elemento identidad es la funci´on id´entica de G,

iG : G −→ G a 7 −→ a.

El siguiente ejemplo muestra que en general End (G) no es conmutativo. Basta considerar el grupo V definido por

V := {e, a, b, ab} , a^2 = b^2 = e, ab = ba

y las funciones

G f −→ G e 7 −→ e a 7 −→ a b 7 −→ ab ab 7 −→ b

G

g −→ G e 7 −→ e a 7 −→ b b 7 −→ a ab 7 −→ ab

4 CAP´ITULO 1. ANILLOS Y SUBANILLOS

Ejemplo 1.1.6. Aplicaciones de un conjunto no vac´ıo en un anillo: sea (A, +, ·, 1) un anillo y sea X un conjunto no vac´ıo cualquiera. Denotemos por AX el conjunto de todas las funciones con dominio X y codominio A. Las operaciones siguientes dan a AX^ estructura de anillo: sean f : X −→ A, g : X −→ A funciones de X en A; entonces se definen: Adici´on:

f + g : X −→ A x 7 −→ (f + g) (x) := f (x) + g(x).

Multiplicaci´on:

f · g : X −→ A x 7 −→ (f · g) (x) := f (x) · g(x).

El cero de AX^ es la funci´on denotada por 0 y que asigna a cada elemento de X el cero del anillo A; el elemento identidad denotado por 1 es la funci´on que asigna a cada elemento de X el 1 del anillo A. Notemos que AX^ es conmutativo si, y s´olo si, A es un anillo conmutativo. Cuando X = N y A = R, RN^ es el anillo de sucesiones reales.

Ejemplo 1.1.7. Anillo de los enteros m´odulo n ≥ 2: consideremos el grupo abeliano (Zn, +) de enteros m´odulo n, donde Zn = Z/ 〈n〉 :=

0 , 1 , 2 ,... n − 1

En Zn se define la multiplicaci´on de clases por

r s := rs, r, s ∈ Z,

es decir, en t´erminos del producto del anillo Z; esta operaci´on est´a bien definida, pues si r = r′^ y s = s′, entonces rs = r′s′. Es inmediato que (Zn, ·, 1) es un semigrupo con elemento identidad 1. La distributividad de la multiplicaci´on respecto de la adici´on en Zn es consecuencia directa de la distributividad de la multiplicaci´on respecto de la adici´on en el anillo Z; lo mismo podemos decir para la conmutatividad de la multiplicaci´on. As´ı, (Zn, +, ·) es un anillo conmutativo. Si n = 0, entonces

Z 0 = Z/ 〈 0 〉 = {r = {r} |r ∈ Z}

y podemos considerar que Z 0 es el mismo anillo Z; cuando n = 1, entonces Z 1 = Z/ 〈 1 〉 = Z/Z =

. En este ´ultimo caso el anillo Z 1 consta de un solo elemento: la clase cero. Obs´ervese que en este anillo el elemento neutro de la adici´on coincide con el elemento identidad de la multiplicaci´on.

Observaci´on 1.1.8. Un anillo A se dice que es trivial, o tambi´en que es nulo, si posee un solo elemento. Una condici´on necesaria y suficiente para que un anillo sea trivial es que su elemento nulo coincida con su elemento identidad. En adelante, si no se advierte lo contrario, la palabra anillo indicar´a anillo no nulo.

1.1. DEFINICI ON Y EJEMPLOS´ 5

Definici´on 1.1.9. Sea A un anillo, y sea a ∈ A. Se dice que a es un elemento invertible del anillo A, si existe en A un elemento (´unico) denotado por a−^1 tal que aa−^1 = 1 = a−^1 a. El conjunto de todos los elementos invertibles de un anillo A se denota A∗, es decir, A∗^ := {a ∈ A|a es invertible}.

Proposici´on 1.1.10. Si (A, +, ·) es un anillo, (A∗, ·) es un grupo, denominado el grupo multiplicativo del anillo A, o tambi´en, el grupo de los elementos invertibles de A.

Demostraci´on. Se deja como ejercicio al lector.

Definici´on 1.1.11. Sea A un anillo no nulo. Se dice que A es un anillo de di- visi´on, si todos los elementos no nulos de A son invertibles, es decir, si A∗^ = A − { 0 }. Un cuerpo es un anillo de divisi´on conmutativo.

Ejemplo 1.1.12. Para los anillos considerados en los ejemplos anteriores se tiene lo siguiente:

(i) Grupos multiplicativos:

Z∗^ = { 1 , − 1 }; Q∗^ = Q− { 0 }; R∗^ = R− { 0 };

C∗^ = C− { 0 }; Z∗ n = {x|m.c.d.(x, n) = 1} ; End (G)∗^ = Aut (G) := grupo de automorfismos de G; Mn (A)∗^ = GL( n (A) := grupo lineal de orden n sobre A; AX^

= {f : X −→ A|f (X) ⊆ A∗}.

(ii) Anillos de la parte (i) que son cuerpos.

(a) Z no es un cuerpo. (b) Q es cuerpo. (c) R es cuerpo. (d) C es cuerpo. (e) Zn es cuerpo si, y s´olo si, n es un n´umero primo. (f) End (G) no es cuerpo por no ser conmutativo, en general, tampoco es un anillo de divisi´on, pues por ejemplo para el grupo abeliano Z la funci´on h : Z −→ Z definida por h (k) = 2k es un elemento de End (Z), h 6 = 0, pero h /∈ Aut (G). (g) Mn (A) no es un cuerpo por no ser conmutativo; tampoco es anillo de divisi´on a menos que A lo sea y n = 1. (h) Si |X| ≥ 2, AX^ no es un anillo de divisi´on.

1.2. SUBANILLOS 7

El elemento a ∈ A es un divisor de cero a la derecha si existe b 6 = 0, b ∈ A, tal que ba = 0. De manera an´aloga se define un divisor de cero a izquierda. Un anillo sin divisores de cero se denomina dominio, si adem´as es conmutativo se conoce como dominio de integridad (DI).

Definici´on 1.1.15. Sea A un anillo no nulo. Se dice que A cumple la ley cance- lativa a derecha, si para cualesquiera b, c ∈ A y cualquier a 6 = 0 en A se cumple

ba = ca ⇔ b = c.

De manera an´aloga se define la ley cancelativa a izquierda.

Proposici´on 1.1.16. Sea A un anillo.

(i) A es un dominio si, y s´olo si, A cumple las dos propiedades cancelativas.

(ii) Todo anillo de divisi´on es un dominio.

(iii) Todo dominio finito es un anillo de divisi´on.

(iv) Zn es dominio de integridad si, y s´olo si, n es primo.

Demostraci´on. Las dos primeras propiedades son evidentes. (iii) Sea D un dominio finito. Veamos que D∗^ = D − { 0 }. Puesto que D es finito, D est´a constituido por n elementos distintos, a 1 , a 2 ,... , an. Dado a no nulo en D se puede afirmar que los siguientes elementos de D son distintos: a 1 · a, a 2 · a,... , an · a, pues, si ai · a = aj · a para i 6 = j, entonces (ai − aj ) · a = 0 y como D es un dominio, se tendr´a que ai = aj. Entonces, todo elemento de D debe ser de la forma ai · a para alg´un ai; en particular 1 = ai · a para alg´un ai y as´ı a tiene inverso a izquierda. De manera similar se prueba que a tiene inverso a derecha, luego a ∈ D∗.

(iv) Consecuencia de (i) y (ii).

1.2. Subanillos

Definici´on 1.2.1. Dado (A, +, ·, 1) un anillo y S ⊆ A, S 6 = ∅, se dice que S es subanillo de A, si (S, +, ·, 1) tiene estructura de anillo. Un subanillo S de A tal que S 6 = A se denomina subanillo propio de A.

Es f´acil comprobar que S es subanillo de A si 1 ∈ S, y para cualesquiera a, b ∈ S, se cumple que a − b, ab ∈ S. El anillo A tiene como subanillo trivial al mismo anillo A.

Ejemplo 1.2.2. (a) Z no tiene subanillos propios.

(b) Z es subanillo propio de Q, R y C.

8 CAP´ITULO 1. ANILLOS Y SUBANILLOS

(c) Q es un subanillo propio de R y C.

(d) R es subanillo propio de C.

Ejemplo 1.2.3. Sean End (G) el anillo de endomorfismos de un grupo abeliano G y H un subgrupo de G. El conjunto S de endomorfismos f de G tales que f (H) ⊆ H, es un subanillo de End (G).

Ejemplo 1.2.4. Sea Mn (A) el anillo de matrices de orden n sobre un anillo A; si denotamos por D (A) al conjunto de las matrices diagonales en Mn (A), es decir,

D (A) := {D = [dij ] ∈ Mn (A) |dij = 0, para i 6 = j},

entonces D (A) es un subanillo de Mn (A). El grupo de elementos invertibles del anillo D(A) se denota por Dn(A).

Ejemplo 1.2.5. Dado un anillo cualquiera, el conjunto C (A) de elementos de A que conmutan (respecto al producto) con todos los elementos de A, es decir,

C (A) := {a ∈ A|ab = ba, para todo b ∈ A}

es un subanillo de A y se denomina el centro de A. N´otese que A es conmutativo si, y s´olo si, C (A) = A.

Ejemplo 1.2.6. Sea AX^ el anillo de funciones del conjunto X en el anillo A, y sea S un subanillo de A. Entonces S′^ := {f ∈ A|f (X) ⊆ S} es un subanillo de AX^.

Ejemplo 1.2.7. Cuaterniones de Hamilton: consideremos en el anillo de las matrices de orden 2 sobre el cuerpo de los n´umeros complejos el subconjunto

H :=

{[

z w −w z

]

|z, w ∈ C

⊆ M 2 (C),

donde z = a − bi denota el conjugado del complejo z = a + bi, a, b ∈ R. H es un subanillo de M 2 (C): [ z 1 w 1 −w 1 z 1

]

[

z 2 w 2 −w 2 z 2

]

[

z 1 − z 2 w 1 − w 2 −w 1 − w 2 z 1 − z 2

]

∈ H,

[

z 1 w 1 −w 1 z 1

] [

z 2 w 2 −w 2 z 2

]

[

z 1 z 2 − w 1 w 2 z 1 w 2 + w 1 z 2 −z 1 w 2 + w 1 z 2 z 1 z 2 − w 1 w 2

]

∈ H,

[

]

∈ H.

N´otese que H no es conmutativo:

10 CAP´ITULO 1. ANILLOS Y SUBANILLOS

(kiai) (kj aj^ ) = kikj ai+j

da que el producto de dos elementos de S est´a en S. Obviamente a ∈ S. De lo anterior se desprende que

Z[a] = {

∑^ n

i=

kiai|ki ∈ Z, n ≥ 1 }, a 6 = 0, (1.2.2)

Z[0] = Z[1] = {k · 1 = k|k ∈ Z}. (1.2.3)

y se denomina subanillo primo de A.

Ejemplo 1.2.10. El ejemplo anterior puede ser ampliado a dos o m´as elementos a 1 ,... , an de tal forma que Z[a 1 ,... , an] es el menor subanillo de A que contiene a los elementos a 1 ,... , an, y consta de todas las sumas finitas con sumandos de la forma

kai 111 ai 212 · · · ai n^1 nai 121 ai 222 · · · ai n^2 n· · · ai 1 r 1 ai 2 r 2 · · · ai nrn ,

con k ∈ Z, r ≥ 1 e iuv ≥ 0. Notemos que los elementos a 1 ,... , an no necesariamente conmutan ya que A no es conmutativo. De otra parte, si B es un subanillo de A y a 1 ,... , an ∈ A, entonces pode- mos repetir las ideas expuestas anteriormente y construir el menor subanillo de A que contenga al subanillo B y a los elementos a 1 ,... , an; este anillo se denota por B[a 1 ,... , an] y consta de todas las sumas finitas con sumandos de la forma

k 1 ai 111 ai 212 · · · ai n^1 nk 2 ai 121 ai 222 · · · ai n^2 n· · · krai 1 r 1 ai 2 r 2 · · · ai nrn ,

con kj ∈ B, 1 ≤ j ≤ r. Este subanillo se denomina el subanillo de A generado por B y a 1 ,... , an. Notemos que si kai = aik y aiaj = aj ai, para 1 ≤ i, j ≤ n y todo k ∈ B, entonces cada elemento de B[a 1 ,... , an] es una suma finita de sumandos de la forma kai 11 ai 22 · · · ai nn , con k ∈ B e iu ≥ 0, es decir, expresiones polin´omicas en a 1 ,... , an con coeficientes en B.

1.3. Ejercicios

1. Demuestre la proposici´on 1.1.10.
2. Demuestre que Zn es cuerpo, si y s´olo si, n es un n´umero primo.
3. Sea A un anillo. Demuestre que si |X| ≥ 2, entonces AX^ no es un anillo de divisi´on.
4. Demuestre la proposici´on 1.1.13.

1.3. EJERCICIOS 11

5. Sean X un conjunto finito no vac´ıo y 2X^ su conjunto de partes. Sea ∆ la diferencia sim´etrica de conjuntos y ∩ la intersecci´on. Demuestre que (2X^ , ∆, ∩) es un anillo conmutativo.
6. Sea

Q[

−3] :=

a + b

− 3 | a, b ∈ Q

donde Q es el anillo de los n´umeros racionales. Consid´erense en Q[

−3] las operaciones habituales de suma y multiplicaci´on de complejos. Demuestre que bajo estas operaciones Q[

−3] es un cuerpo.

7. Si R es un anillo conmutativo, demuestre que para cada n ≥ 1

(a + b)n^ =

∑^ n

k=

n k

akbn−k,

n k

n! (n − k)!k!

, a, b ∈ R.

8. Sea p ∈ Z no nulo. Demuestre que

Qp := { (^) pak |a ∈ Z, k ≥ 0 }

es un subanillo de Q y coincide con Z[^1 p ].

9. Sean (A, +, ·, 1) un anillo y Q el anillo de endomorfismos del grupo abeliano (A, +). Para cada x ∈ A se define la funci´on

fx : A −→ A a 7 −→ xa

Compruebe que para cada x ∈ A, fx ∈ Q. Si F := {fx | x ∈ A}, pruebe adem´as que F es un subanillo de Q isomorfo a A (v´ease el cap´ıtulo 3).

10. Calcule el centro del anillo de cuaterniones.
11. Sea A un anillo y n ≥ 2. Calcule el centro del anillo de matrices Mn(A).
12. Sean X un conjunto no vac´ıo, A un anillo y f : X → A una funci´on biyectiva. Demuestre que las siguientes operaciones convierten a X en un anillo:

x + y := f −^1 (f (x) + f (y)), xy := f −^1 (f (x)f (y)).

13. Sea A un anillo que satisface la siguiente condici´on: dado a ∈ A no nulo existe un ´unico b ∈ A tal que aba = a. Demuestre que:

(i) bab = b. (ii) A es un anillo de divisi´on.

2.1. DEFINICI ON Y EJEMPLOS´ 13

Corolario 2.1.4. Si A es un anillo de divisi´on, entonces los ´unicos ideales derechos (izquierdos, bil´ateros) de A son los triviales. Rec´ıprocamente, si un anillo A posee s´olo dos ideales derechos (o tambi´en, s´olo dos ideales izquierdos), entonces A es un anillo de divisi´on.

Demostraci´on. Sea I un ideal derecho no nulo del anillo de divisi´on A, entonces existe x ∈ I ⊆ A, x 6 = 0; esto indica que x ∈ I es invertible y, por la proposici´on 2.1.3, I = A. La demostraci´on para ideales izquierdos es id´entica. La afirmaci´on para ideales bil´ateros es consecuencia de lo anterior. Sea ahora A un anillo cuyos ´unicos ideales derechos son los triviales. Para x 6 = 0 en A, el conjunto xA : = {xa | a ∈ A} es un ideal derecho de A; adem´as este ideal es no nulo y, por lo tanto, xA = A; se obtiene que 1 ∈ A ⊆ xA; esto significa que existe x′^ ∈ A tal que xx′^ = 1. Obs´ervese que x′^ es no nulo y adem´as x′A = A. Existe pues x′′^ ∈ A tal que x′x′′^ = 1 y xx′x′′^ = x, lo cual implica que x′′^ = x, es decir, x ∈ A∗. Se ha probado que cada elemento no nulo de A es invertible, es decir, A es un anillo de divisi´on. La demostraci´on para ideales izquierdos es an´aloga.

Observaci´on 2.1.5. Si un anillo A tiene s´olo dos ideales bil´ateros no se puede afirmar que A sea un anillo de divisi´on, como se ver´a a continuaci´on.

Ejemplo 2.1.6. Ideales del anillo de matrices Mn(A): sean A un anillo y Mn(A) su anillo de matrices de orden n. Para I un ideal bil´atero de A, el conjunto denotado por

Mn(I) := {F = [aij ] | aij ∈ I}

es un ideal bil´atero de Mn(A). En efecto, Mn(I) 6 = ∅ pues 0 ∈ Mn(I); dadas H = [hij ], B = [bij ] ∈ Mn(I), entonces H − B = C = [cij ] ∈ Mn(I), ya que cij = hij − bij est´a en I, para todo i, j, 1 ≤ i, j ≤ n. Adem´as, para H ∈ Mn(I) y D = [dij ] ∈ Mn(A) se cumple que HD = F = [fij ] ∈ Mn(I). En efecto,

fij =

∑^ n

k=

hikdkj ∈ I,

pues I es un ideal derecho y entonces hikdkj ∈ I para cada k, 1 ≤ k ≤ n; por tanto, la suma fij ∈ I. An´alogamente, DH ∈ Mn(I). Se ha probado que cada ideal bil´atero I del anillo A determina en Mn(A) el ideal bil´atero Mn(I). Probemos ahora el rec´ıproco, es decir, que cada ideal bil´atero J de Mn(A) determina en A un ideal bil´atero I tal que J es precisamente Mn(I). En efecto, consideremos el conjunto

Iij := {a ∈ A| Eij a ∈ J },

14 CAP´ITULO 2. IDEALES

donde Eij a denota la matriz de orden n cuya ´unica entrada no nula es la correspon- diente a la intersecci´on de la fila i y la columna j, en la cual est´a el elemento a. Si a = 1, dicha matriz se denota simplemente por Eij. Para este tipo de matrices es f´acil demostrar que

Eij aElkb =

0 , si j 6 = l Eikab, si j = l.

Veamos que Iij es un ideal bil´atero de A. Iij 6 = ∅ ya que 0 ∈ J; dados x, y ∈ Iij entonces Eij x, Eij y ∈ J, y como J es ideal bil´atero, entonces Eij x − Eij y = Eij (x − y) ∈ J, de donde x − y ∈ Iij. De otra parte, para a ∈ A y x ∈ Iij , se tiene que Eij x ∈ J, Ejj a, Eiia ∈ Mn(A), y por lo tanto, Eij xEjj a = Eij xa ∈ J; tambi´en, EiiaEij x = Eij ax ∈ J, de donde xa, ax ∈ Iij. Probemos ahora que

J = {H = [hij ] | aij ∈ Iij }.

Sea H = [hij ] tal que hij ∈ Iij para cada par de ´ındices 1 ≤ i, j ≤ n, H puede escribirse de la forma

H =

∑^ n

i,j=

Eij hij ,

donde se tiene que Eij hij ∈ J, luego H ∈ J. De otro lado, dada H = [hij ] ∈ J, mostraremos que una entrada cualquiera hlk de H est´a en Ilk. En efecto,

EllHEkk = Elkhlk ∈ J,

de donde hlk ∈ Ilk. Se desea mostrar finalmente que todos los ideales Iij , 1 ≤ i, j ≤ n, coinciden. Fijemos dos ´ındices i, j y probemos que Iij = Iir para todo r. Dado x ∈ Iij se cumple que Eij x ∈ J, y por lo tanto, Eij xEjr = Eirx ∈ J, luego x ∈ Iir, es decir, Iij ⊆ Iir. Sim´etricamente, Iir ⊆ Iij. En forma an´aloga, Isj = Iij para 1 ≤ s ≤ n. Resulta pues que Iij = I y

J = {H = [hij ] | hij ∈ Iij } = Mn(I).

Se ha demostrado as´ı que los ideales bil´ateros de Mn(A) son de la forma Mn(I), donde I es un ideal bil´atero de A.

Ejemplo 2.1.7. Ideales bil´ateros del anillo de matrices sobre un anillo de divisi´on A: para n ≥ 2, sea Mn(A) el anillo de matrices sobre un anillo de divisi´on A. Seg´un el ejemplo 2.1.6 , Mn(A) tiene s´olo dos ideales bil´ateros: los triviales Mn (0) = 0 y Mn(A). Sin embargo, Mn(A) no es un anillo de divisi´on ya que la matriz E 11 es no nula y no es invertible.