Estadística Básica: Estatura y Voz, Apuntes de Psicología

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An´alisis de la varianza

ANOVA

Francisco Montes Departament d’Estad´ıstica i I. O. Universitat de Val`encia http://www.uv.es/~montes

Comparaci´on de k medias

Estatura y voz: los datos

• 1.75 1.83 1.80 1.68 1.93 1.88 1.80 1.68 1.73 1.
• Tenor 1 1.78 1.65 1.83 1.78 1.73 1.63 1.85 1.68 1.73 1.
  • 1.63 1.85 1.75 1.80 1.75 1.93 1.80 1.75 1.80 1.
• Tenor 2 1.75 1.80 1.80 1.80 1.75 1.78 1.75 1.73 1.78 1.
  • 1.83 1.78 1.83 1.75 1.85 1.80 1.83 1.73 1.73 1.
• Bajo 1 1.68 1.73 1.80 1.85 1.85 1.78 1.73 1.78 1.91 1.
  • 1.80 1.78 1.88 1.78 1.91 1.91 1.75 1.83 1.80 1.
  • 1.80 1.73 1.78 1.91 1.83 1.68 1.83 1.78 1.
  • 1.83 1.91 1.70 1.91 1.88 1.83 1.83 1.88 1.83 1.
• Bajo 2 1.88 1.78 1.68 1.73 1.91 1.73 1.78 1.83 1.70 1.
  • 1.78 1.75 1.83 1.80 1.88 1.

Estatura y voz: un gr´afico

1 - Tenor 1 2 - Tenor 2 3 - Bajo 1 4 - Bajo 2

• • • • media global o gran media

 media del grupo

¿C´omo contrastar la igualdad de k medias?

Si empleamos el test de la t de Student para 2 muestras independientes hemos de efectuar

2

comparaciones, pero adem´as hay un problema con el nivel de significaci´on final.

Si las 6 comparaciones condujeran a aceptar μi = μj con un nivel α = 0, 05 , el nivel de significaci´on para

H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 ,

ser´ıa α′^ = 0, 26. En general α′^ = 1 − (1 − α)n, donde n es el n´umero de comparaciones.

k = 6 → n = 15 → α′^ ≈ 0 , 5

Una comparaci´on simult´anea: ANOVA

Necesitamos poder comparar simult´aneamente todas la medias. El test que lo permite es el test ANOVA (de ANalysis Of VAriance).

Como su nombre indica, compara varianzas aunque lo que contrastamos sean medias. Para ello parte de 3 requisitos previos:

Independencia: las k muestras son independientes,

Normalidad: Xi ∼ N (μi, σ i^2 ), i = 1,... , k, y

Homocedasticidad: σ 12 = σ 22 = · · · = σ k^2 = σ^2.

Fundamentos del ANOVA (2)

El ANOVA se basa en la comparaci´on de la variabilidad media que hay entre los grupos con la que hay dentro de los grupos. ¿Por qu´e? Recordemos que la media y la varianza muestral verifican

var(¯x) = σ

2 n ,^ E(s

(^2) ) = σ (^2) ,

lo que nos permite dos estimaciones diferentes para σ^2 cuando disponemos de k muestras de una misma poblaci´on,

σ ˆ^2 = s^2 = k^1

∑^ k

i=

s^2 i (1) y σˆ^2 = ns^2 x = (^) k −n 1

∑^ k

i=

(¯xi−x¯)^2 (2)

Fundamentos del ANOVA (3)

En la tabla anterior, si las k muestras provienen de la misma poblaci´on todas la medias son iguales, (H 0 es cierta) y tanto (1) como (2) son v´alidos.

¿Qu´e ocurre cuando las medias no son iguales? Si suponemos que μi = μ + αi entonces

ns^2 x = ˆσ^2 + (^) k −^1

∑^ k

i=

ni αˆ^2 i (3)

Obs´ervese que (1) describe la variabilidad dentro de los grupos, mientras que (2) y (3) describen la variabilidad entre los grupos.

Comparaci´on de varianzas

Si X 1 , X 2 ,... , Xm y Y 1 , Y 2 ,... , Yn son muestras independientes de N (μ 1 , σ 12 ) y N (μ 2 , σ 22 ), respectivamente, un test para comparar la igualdad de varianzas se basa en que el cociente corregido de varianzas muestrales,

F = S 12 /σ 12 S 22 /σ 22 =^

σ 22 σ 12 ·^

S 12

S 22 ,

se distribuye como una Fm− 1 ,n− 1 , una F de Fisher con m − 1 gl en el numerador y n − 1 gl en el denominador.

La tabla ANOVA

Todo se reduce a obtener el valor del estad´ıstico (4) que bajo las condiciones iniciales de independencia, normalidad y homocedasticidad, se distribuye como una Fk− 1 ,n−k. La comparaci´on con el valor te´orico correspondiente nos dir´a si debemos aceptar o rechazar H 0.

Un m´etodo computacional conocido como tabla ANOVA facilita los c´alculos. Se trata de disponer en forma de tabla ciertas cantidades que conducen a la obtenci´on de F. El m´etodo est´a incorporado en los paquetes estad´ısticos m´as habituales.

An´alisis de los datos de los tenores

En primer lugar habr´a que comprobar que los requisitos iniciales se cumplen.

La independencia es el investigador quien debe garantizarla mediante una adecuada toma de muestras. La normalidad debe contrastarse mediante un test apropiado, por ejemplo el de Kolmogorv-Smirnov. La homocedasticidad debe tambi´en contrastarse con un test apropiado: el de la F o el de Levene.

Datos de los tenores: Flujo SPSS

1. GET DATA /TYPE=XLS /FILE=’C:\directorio\datos’ /CELLRANGE=full /READNAMES=on.
2. SORT CASES BY voz. SPLIT FILE. SEPARATE BY voz.
3. NPAR TESTS /K-S(NORMAL)= estatura /MISSING ANALYSIS.
4. ONEWAY estatura BY voz /STATISTICS DESCRIPTIVES HOMOGENEITY /MISSING ANALYSIS.

Datos de los tenores: Comparaci´on de medias

Datos de los tenores: Resultados

Como el p-valor asociado al valor de F encontrado es menor que α = 0, 05 , rechazamos la hip´otesis nula y aceptamos que hay diferencias entre las medias de las estaturas de los 4 grupos. Si hubi´eramos aceptado H 0 no habr´ıa m´as que a˜nadir, pero en este caso las preguntas a intentar responder son

¿entre que grupos hay diferencias?

¿es posible establecer conjuntos homog´eneos de medias?