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12.2 Permutaciones
En las dos secciones que siguen se partirá de un conjunto de n elementos distintos y luego se escogerá un subconjunto formado por r de esos elementos, siendo r n i.  Dependiendo de si el orden de elección es importante y de si se permiten elementos repetidos en el subconjunto, los r elementos recibirán los nombres de permu tación, combinación, muestra o selección.      Por ejemplo, los n elementos distintos pueden ser las 7 letras de la fila inferior del teclado de una máquina de escribir; Z, X, C, V, B, N y M. Se pueden escoger cuatro (r = 4 ) de estas letras y escribirse de diversas maneras. Permutación  Si no se permiten repeticiones y el orden es importante, lo que se tiene es una permutación: BCMN, NBMC, CBNM, ZVXN y BVCZ son permutaciones. BBCV, ZVVB y XXXM no son permutaciones. BCMN, NMCB y CNBM son todas diferentes permutaciones a pesar de tener las mismas cuatro letras. Combinación                                               Si no se permiten repeticiones pero el orden no es importante, lo que se tiene es una combinación: MNBC, MNBZ, XBNZ, CBNZ y NVZX son combinaciones. CCCC, ZXVV y NZZV no son combinaciones. ZXCV, ZXVC y VXCZ son la misma combinación. Muestra Si se permiten, repeticiones y el orden es importante, se tiene una muestra: BCMN, BCNM, CBCB, CCCB y ZZZZ son muestras diferentes. CCNV, NCVC y VCCN son todas muestras distintas a pesar de que se utili zan las mismas cuatro letras. Selección  Si se permiten repeticiones y el orden no es importante, se tiene una selección: ZVCV, BNZZ, CCNZ, XXXV y MCXX son selecciones ZZXC, ZZCX y ZXCZ son la misma selección, pero diferentes muestras.
Existen muchos otros ejemplos. Las fórmulas que se darán en las dos secciones siguientes mostrarán que de las varias formas de escribir estas 4 de las 7 letras, son: No siempre será obvio cuál de todas las fórmulas es la que se debe emplear. Es necesario decidir si se permiten repeticiones y si el orden es importante o no. Véase la figura 12.1. EJEMPLO 1     Escriba cada una de las cuatro formas de elegir 2 de las 4 letras S, P, Q y R. Solución a) 12 permutaciones; no hay repetición, el orden es importante: SP, SQ, SR, PS, PQ, PR, QS, QP, QR, RS, RP, RQ b) 6 combinaciones; no hay repeticiones, el orden no es importante: SP, SQ, SR, PQ, PR, QR c) 16 muestras; están permitidas las repeticiones y el orden-es importante:                                SS, SP, SQ, SR, PS, PP, PQ, PR, QS, QP, QQ, QR, RS, RP, RQ, RR d) 10 selecciones; están permitidas las repeticiones y el orden no es importante: SS, SP, SQ, SR, PP, PQ, PR, QQ, QR, RR Principio fundamental del conteo En "El Rubaiyat de Omar Khayyam", de Edward Fitzgerald, está la inolvidable frase "un tarro de vino, un trozo de pan y tú". Supongamos que la persona ("tú") FIGURA 12.
que cualquiera de los n elementos es susceptible de ser escogido. Como las repeticiones están permitidas, el segundo elemento también se puede elegir en n formas. Lo mismo es cierto para el tercero, el cuarto y el resto de los r elementos. Asà las cosas, por el principio fundamental el número total de muestras de r elementos escogidos de entre n elementos es Fórmula de las muestras                                              (n)(n)(n)... (n) = nr EJEMPLO 4 ¿Cuántas "palabras" de 4 sÃmbolos se pueden formar para un código que emplea las 5 letras V, 1, D, E, O y los 3 caracteres #, * , & si se puede repetir cualquier sÃmbolo? Solución En este caso se trata de muestras, ya que cualquiera de los 8 sÃmbolos se puede usar y repetirse, además de que es evidente que en un código el orden es importanÂte. Empleando la fórmula de las muestras con n = 8 y r = 4 se obtiene la respuesta nr^ = 8^4 = (8)(8)(8)(8) = 4096 EJEMPLO 5  a) ¿De cuántos códigos de 3 dÃgitos podrá hacer uso una compañÃa telefónica si no hay restricciones para los dÃgitos? b) ¿Cuántos códigos hay si el primer dÃgito no puede ser 0 o 1 y el segundo dÃgito debe ser 0 o 1? Solución a) Ésta es una muestra de 3 dÃgitos tomados de los diez dÃgitos 0, 1,... , 9. La respuesta es 10 - 10 - 10 = 1000. b) Hay ocho posibilidades para el primer dÃgito, dos para el segundo y diez para el tercero. Por el principio fundamental del conteo, la respuesta es 8.^ 2.^ 10 = 160.
Permutaciones de n elementos distintos tomados r a la vez
Una permutación de n elementos distintos consiste en r de esos elementos dispuesÂtos en algún orden, siendo 1 r n_._ No se permiten las repeticiones y el orden no importa. En el ejemplo 1 se escribieron las 12 permutaciones de 4 letras tomadas 2 a la vez. Hay 6 permutaciones de las 3 letras a, b, c tomadas 2 a la vez: ab, ba, ac, ca, bc, cb EJEMPLO 6     ¿Cuántos códigos postales de 5 dÃgitos hay? si                        a) ¿Ningún dÃgito se repite?                        b) ¿Los dÃgitos se pueden repetir? Solución     a) En este caso se trata de permutaciones ya que se comienza con 10 dÃ- gitos difeÂrentes (n = 10), el orden de los dÃgitos es importante (70124 y 12047 son códigos postales distintos) y en a) se especifica que no deben haber repeticiones. Por el principio fundamental del conteo, la respuesta es
                                              Â
                          (10)(9)(8)(7)(6) = 30 240
b) Este caso es acerca de muestras ya que el orden es importante y se permiten las repeticiones. Empleando las fórmulas de las muestras se obtienen nr^ = 10^5 = 100 000 códigos postales posibles, aun cuando el Servicio Postal pueda no utilizar algunos de ellos, como el 00000, por ejemplo. El número de permutaciones de n elementos tomando r a la vez se represen tará por P(n, r), y se deducirá una fórmula a fin de evaluar este número. La posiÂción 1 del arreglo se puede llenar en n formas. Después de haber llenado la posición 1, se tienen n - 1 posibilidades para la posición 2, luego n - 2 posibilidades para la posición 3 y por último n - (r - 1) para la posición r. Como n - (r- 1)=n - r + 1 el principio fundamental del conteo proporciona esta fórmula: Número de permutaciones  P(n, r) = n(n – 1 –2)... (n – r + 1)                     (12.1a) NOTA  Éste es el producto de r factores, los cuales son los enteros positivos que empiezan en n y van disminuyendo. EJEMPLO 7 Evalúe P(9, 3) y P(6, 4). Solución Según la fórmula de P(n, r), P(9, 3) = 9 .Â^ 8.^  7 = 504         tres factores P(6, 4) = 6.^ 5.^  4.^ 3 = 360     cuatro factores Recuérdese que en una permutación se está trabajando con un conjunto de n elementos que se pueden distinguir uno de otro. A veces es conveniente escribir y utilizar la fórmula de P(n, r) en forma disÂtinta. Recuérdese que la definición de n! es n! = n(n - 1)(n - 2)... (3)(2)(1) Por tanto,               3! = 3.^  2.^  1 = 6 5!=5.^  4.^  3.^  2.^  1= 8!=8.^  7.^  6.^  5.^  4.^  3.^  2.^  1= 12! = 479 001 600
1. P(5, 3) Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â
                                              Â
                             Â
2. P(11, 2)
3. P(8, 5)
4. P(13, 3)
5. P(33, 1)
6. P(10, 4)
7. P(6, 6)
8. P(9, 7)
¿Qué número es mayor?
9. 37 o 13^3 10. 64 o 11^3 11. 74 o 14^3 12. 29 o 5^5 En los ejemplos 13 a 16 decida si se trata de una permutación o de una muestra. 13. Hacer una "palabra" de 5 letras utilizando letras cualesquiera. 14. Hacer una "palabra" de 7 letras utilizando 7 letras diferentes. 15. George y Marie escogen cada uno por su lado una de cinco sopas. 16. Warren y Carol eligen, cada uno por su lado, un trabajo de primavera distinto de entre una lista de 8. 17. ¿Cuántas matrÃculas se pueden hacer si cada una tiene 3 dÃgitos diferentes seguidos por 2 letras disÂtintas? 18. ¿Cuántas matrÃculas se pueden hacer si cada una tiene 3 letras seguidas por 3 dÃgitos? 19. ¿Cuántas "palabras" de 3 letras se pueden forÂmar con las letras del alfabeto si se excluyen K, Q, X, Y y Z? 20. ¿Cuántas "palabras" de 5 letras se pueden forÂmar si se utilizan las 12 letras del alfabeto haÂwaiano? 21. ¿Cuántos enteros entre 1000 y 9000 se pueden formar con los dÃgitos 2, 4, 5, 6 y 7?
22. ¿Cuántos números pares de 4 dÃgitos se pueden formar utilizando el 7, el 6, el 4 y el 2? 23. ¿Cuál es el número de resultados posibles si se lanÂzan dos dados normales? Suponga que los dados son          indistinguibles uno del otro. 24. ¿De cuántas maneras puede contestarse un cuesÂtionario que contiene 12 preguntas de tipo verdaÂdero/falso? 25. ¿Cuántas "palabras" de 3 letras se pueden forÂmar a partir de las 8 primeras consonantes del alÂfabeto si no repite letra      alguna? 26. ¿De cuántas maneras pueden alinearse 4 sospechoÂsos en una fila? 27. ¿De cuántas maneras pueden los encargados del museo del Louvre acomodar 3 de 10 pinturas en los 3 lugares de      una exposición? 28. Después de haber elegido a los nueve abridores, 40. ¿cuántos órdenes de bateo puede tener el director de un equipo de béisbol si el pÃcher batea en cuarÂto lugar? 29. ¿Cuántos dÃgitos de 4 números se pueden formar utilizando el 1, el 2, el 4, el 5, el 7 y el 8 si ningún dÃgito se repite? 30. ¿Cuántos nombres de estaciones de radio de 4 leÂtras diferentes se pueden formar si la primera letra debe ser X o W? ¿Y si las letras se pueden repetir? 31. Se van a retratar 9 personas y se dispone sólo de 5 asientos. ¿En cuántas formas se pueden acomoÂdar las personas para el retrato? 32. ¿De cuántas maneras pueden acomodarse 8 perÂsonas en una fotografÃa si el señor Kitchen insiste en colocarse en la extrema izquierda? 33. El alfabeto griego tiene 24 letras. ¿Cuántas orgaÂnizaciones puede haber si sus nombres consisten en 2 0 3 letras griegas y ningún nombre puede teÂner una letra repetida? Sugerencia: haga el cálcuÂlo para 2 letras, luego para 3 letras y sume. 34. ¿De cuántas maneras diferentes puede un centro de renta de pelÃculas en vÃdeo disponer 11 pelÃcuÂlas distintas en un anaquel? 35. Si Stanley, que trabaja en el cuerpo de señales, tieÂne 8 banderas diferentes, ¿cuántas señales puede formar    colocando las banderas en un astaÂbandera? 36. ¿Cuántas permutaciones se obtienen con las 6 leÂtras de la palabra "sample"? Desarreglo Un desarreglo de 1, 2, 3,... , n es una permutación de todos los n elementos tal que ninguno queda en su posición original. El número de desarreglos es 37.  Escriba todos los desarreglos de 1, 2, 3 y 4. 38.    Calcule D 5 , D 6 y D 7.
