Apuntes de Radiación y Ondas Guiadas
-1/237- Autor: Pedro de Paco
Escola Tècnica Superior d'Enginyeria
Departament de Telecomunicació i d’Enginyeria de Sistemes
Apuntes
RADIACIÓN Y ONDAS GUIADAS
Pedro de Paco
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Apuntes 2.0, Apuntes de Electrónica
Asignatura: Radiació i ones guiades, Profesor: Pedro De Paco, Carrera: Enginyeria Tèc. Telecomunicació, Especialitat de Sistemes Electrònics, Universidad: UAB
Tipo: Apuntes
Antes del 2010
1 / 237
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Escola Tècnica Superior d'Enginyeria
Departament de Telecomunicació i d’Enginyeria de Sistemes
Apuntes
RADIACIÓN Y ONDAS GUIADAS
Pedro de Paco
- INTRODUCCIÓN........................................................................................................................................
- OBJETIVOS.................................................................................................................................................
- BIBLIOGRAFÍA..........................................................................................................................................
- INGENIERÍA ELECTROMAGNÉTICA. ...................................................................................................
- INTRODUCCIÓN AL ELECTROMAGNETISMO....................................................................................
- ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO .......................................................................................................
- ORGANISMOS INTERNACIONALES REGULADORES DE COMUNICACIONES. .........................
- ECUACIONES DE MAXWELL EN FORMA DIFERENCIAL E INTEGRAL. .......................
- 1.1. LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO ELÉCTRICO. .................................................................
- 1.2. LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNÉTICO. ...............................................................
- 1.3. LEY DE FARADAY. ..................................................................................................................
- 1.4. LEY DE AMPERE. .....................................................................................................................
- 1.5. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD..............................................................................................
- 1.6. TEOREMA DE LA DIVERGENCIA..........................................................................................
- 1.7. TEOREMA DE STOKES. ...........................................................................................................
- VARIACIÓN DE LOS CAMPOS EN RÉGIMEN PERMANENTE SINUSOIDAL. ................
- 2.1. CARACTERIZACIÓN DE LA VARIACIÓN TEMPORAL SENOIDAL. ................................
- 2.2. LEYES DE MAXWELL EN NOTACIÓN FASORIAL .............................................................
- CAMPOS EN MEDIOS MATERIALES.....................................................................................
- 3.1. MATERIALES CONDUCTORES. .............................................................................................
- 3.2. MATERIALES DIELÉCTRICOS. ..............................................................................................
- MEDIOS.....................................................................................................................................................
- 4.1. CAMPOS EN INTERFICIES DE MEDIOS GENERALES. ......................................................
- MEDIOS DIELÉCTRICOS. ...................................................................................................................... 4.2. CONDICIÓN DE CONTORNO EN LA SUPERFICIE DE SEPARACIÓN ENTRE DOS
- CONDUCTOR. .......................................................................................................................................... 4.3. CONDICIÓN DE CONTORNO EN LA INTERFICIE ENTRE MEDIOS DIELÉCTRICO Y
- LA ECUACIÓN DE ONDA Y SOLUCIÓN DE ONDA PLANA UNIDIMENSIONAL ..........
- 5.1. FENÓMENOS ONDULATORIOS. ............................................................................................
- 5.1.1. ECUACIÓN DE ONDA UNIDIMENSIONAL...........................................................................
- LIBRE. 5.1.2. JUSTIFICACIÓN DE PROPAGACIÓN ONDA ELECTROMAGNÉTICA EN EL ESPACIO
- LA ECUACIÓN DE ONDA. .......................................................................................................
- 6.1. LA ECUACIÓN DE ONDA Y SOLUCIÓN DE ONDA PLANA ..............................................
- 6.2. SOLUCIÓN DE ONDA PLANA PARA LA ECUACIÓN DE ONDAS. ...................................
- 6.2.1. PARÁMETROS DE ONDA PLANA..........................................................................................
- 6.2.2. APLICACIÓN. EFECTO DOPPLER..........................................................................................
- ONDAS PLANAS EN MEDIOS MATERIALES.......................................................................
- 7.1. ONDAS PLANAS EN MEDIOS DIELECTRICOS CON PÉRDIDAS......................................
- FINITA. 8. PROPAGACIÓN DE LA ONDA PLANA EN UN CONDUCTOR DE CONDUCTIVIDAD
- SOLUCIÓN GENERAL DE ONDA PLANA. ............................................................................
- 9.1. SOLUCIÓN GENERAL DE ONDA PLANA. ............................................................................
- POYNTING. .............................................................................................................................................. 10. FLUJO DE POTENCIA ASOCIADO A ONDA ELECTROMAGNETICA. VECTOR DE
- POLARIZACIÓN DE ONDAS PLANAS...................................................................................
- 11.1. ANÁLISIS DE LA POLARIZACIÓN DE UNA ONDA PLANA. .............................................
- 11.1.1. CASO DE POLARIZACIÓN LINEAL. .................................................................................
- 11.1.2. CASO DE POLARIZACIÓN CIRCULAR. ...........................................................................
- 11.1.3. APLICACIÓN. PARÁMETROS DE ANTENA. ...................................................................
- REFLEXIÓN DE ONDA PLANA EN ESCENARIOS DE CAMBIO DE MEDIO. ..................
- 12.1. REFLEXIÓN DE ONDA PLANA EN UN CONDUCTOR PERFECTO. ..................................
- DIELÉCTRICOS........................................................................................................................................ 13. ESTUDIO DE ONDA PLANA EN UNA SUPERFICIE DE CAMBIO DE MEDIO ENTRE
- 13.1.1. MEDIO DIELÉCTRICO SIN PÉRDIDAS. ............................................................................
- DIELECTRICOS........................................................................................................................................ 14. INCIDENCIA OBLICUA SOBRE LA SUPERFICIE DE SEPARACIÓN ENTRE DOS
- 14.1. INTRODUCCIÓN. ......................................................................................................................
- 14.2. CASO POLARIZACIÓN LINEAL PERPENDICULAR AL PLANO DE INCIDENCIA. ........
- CASO DE POLARIZACIÓN LINEAL PARALELA AL PLANO DE INCIDENCIA. .............
- 15.1. CASOS ESPECIALES.................................................................................................................
- 15.2. FENOMENO REFLEXIÓN TOTAL. .........................................................................................
- 15.3. CANCELACIÓN DE ONDA REFLEJADA. ..............................................................................
- APLICACIÓN: FUNCIONAMIENTO DE LA FIBRA ÓPTICA...............................................
- 16.1.1. DISPERSIÓN MODAL EN LAS FIBRAS ÓPTICAS. ..........................................................
- INTRODUCCIÓN LÍNEA DE TRANSMISIÓN ....................................................................................
- OBJETIVOS.............................................................................................................................................
- TEORÍA DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN.....................................................................
- 17.1. HECHO DIFERENCIAL DE LA LINEA DE TRANSMISIÓN ...............................................
- 17.1.1. ONDAS TRANSVERSALES ELECTROMAGNÉTICAS (TEM) ......................................
- 17.2. EL MODELO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN. ......................................................................
- 17.2.1. EL MODELO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN ..................................................................
- 17.2.2. LA CELDA ELEMENTAL ..................................................................................................
- CIRCUITAL............................................................................................................................................. 17.2.3. RESOLUCIÓN DE LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN MEDIANTE EL MODELO
- 17.2.4. PROPAGACIÓN DE LA ONDA EN LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN..............................
- LA LÍNEA SIN PÉRDIDAS......................................................................................................
- 18.1.1. LÍNEA DE BAJAS PÉRDIDAS. ..........................................................................................
- LINEA DE TRANSMISIÓN SIN PÉRDIDAS CARGADAS...................................................
- TRANSMISIÓN SIN PÉRDIDAS........................................................................................................... 19.1.1. EFECTO DE UNA CARGA DE IMPEDANCIA ARBITRARIA EN UNA LÍNEA DE
- 19.1.2. LA ONDA ESTACIONARIA...............................................................................................
- 19.1.2.1. ANÁLISIS CUALITATIVO DE LA ONDA ESTACIONARIA .........................................
- 19.1.2.2. ANÁLISIS CUANTITATIVO DE LA ONDA ESTACIONARIA.......................................
- 19.1.3. COEFICIENTE DE REFLEXIÓN A LO LARGO DE LA LÍNEA......................................
- 19.1.4. IMPEDANCIA A LO LARGO DE LA LINEA....................................................................
- 19.2. POTENCIA MEDIA EN LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN ......................................................
- LÍNEAS SIN PÉRDIDAS CARGADAS...................................................................................
- 20.1.1. LÍNEA CARGADA CON CORTOCIRCUITO....................................................................
- 20.1.1.1. EVOLUCIÓN DE LA TENSIÓN Y LA CORRIENTE........................................................
- 20.1.1.2. EVOLUCIÓN DE LA IMPEDANCIA .................................................................................
- 20.1.2. LÍNEA CARGADA CON CIRCUITO ABIERTO...............................................................
- 20.1.2.1. EVOLUCIÓN DE LA TENSIÓN Y LA CORRIENTE........................................................
- 20.1.2.2. EVOLUCIÓN DE LA IMPEDANCIA .................................................................................
- 20.2. PERIODICIDAD DE LA LINEA DE TRANSMISON.............................................................
- 20.3. LINEA DE TRANSMISIÓN CARGADA CON LÍNEA DE TRANSMISIÓN........................
- 20.4. DESADAPTACIÓN DE CARGA Y GENERADOR................................................................
- 20.4.1. PROBLEMAS.......................................................................................................................
- ANÁLISIS DE LOS CAMPOS EN LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN .....................................
- 21.1. PARÁMETROS DE LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN. ............................................................
- CAMPOS ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO. ............................................................................................. 21.1.1. CÁLCULO DE LA AUTOINDUCTANCIA Y LA CAPACIDAD EN FUNCIÓN DE LOS
- CAMPOS ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO. ............................................................................................. 21.1.2. CÁLCULO DE LA RESISTENCIA Y LA CONDUCTIVIDAD EN FUNCIÓN DE LOS
- 21.2. PARÁMETROS DE LAS PRINCIPALES LÍNEAS DE TRANSMISIÓN PLANAR .............
- 21.2.1. PARÁMETROS DE LA LÍNEA COAXIAL........................................................................
- 21.2.2. GEOMETRÍA DE LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN STRIPLINE .......................................
- 21.2.3. PARÁMETROS DE LA LÍNEA MICROSTRIP ...................................................................
- CARTA SMITH I. .....................................................................................................................
- REDES DE ADAPTACIÓN I....................................................................................................
- 23.1. ADAPTACIÓN CON ELEMENTOS CONCENTRADOS.......................................................
- 23.2. DESPLAZAMIENTOS SOBRE LA CARTA DE SMITH. ......................................................
- 23.3. ADAPTACIÓN CON ELEMENTOS DISTRIBUIDOS. ..........................................................
- 23.3.1. ADAPTACIÓN CON INVERSOR DE IMPEDANCIA.......................................................
- REDES DE ADAPTACIÓN II. .................................................................................................
- 24.1.1. ADAPTACIÓN CON STUB SIMPLE SERIE. ....................................................................
- 24.1.2. ADAPTACIÓN CON STUB SIMPLE PARALELO............................................................
- 24.2. ELEMENTOS CONCENTRADOS...........................................................................................
- GUIAS DE ONDAS DE PAREDES CONDUCTORAS...........................................................
- 25.1. GUIAS CONDUCTORAS.........................................................................................................
- GUIA DE ONDAS DE PAREDES CONDUCTORAS DE SECCIÓN RECTANGULAR. .....
- 26.1.1. MODOS TE...........................................................................................................................
- 26.1.2. MODOS TM. ........................................................................................................................
- 26.1.3. MODOS GUIADOS Y MODOS EN CORTE. .....................................................................
- SCATTERING. ........................................................................................................................................ 27. REPRESENTACIÓN MATRICIAL CIRCUITOS MICROONDAS PARAMETROS
- 27.1. PARÁMETROS DE DISPERSIÓN O “SCATTERING”. ........................................................
- 27.1.1. SIMBOLOGÍA......................................................................................................................
- 27.2. RELACIÓN ENTRE PARAMETROS S Y PARAMTEROS Z E Y.........................................
- PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE DISPERSIÓN..............................................................
- 28.1.1. REDES PASIVAS.................................................................................................................
- 28.1.2. REDES PASIVAS SIN PÉRDIDAS (UNITARIEDAD)......................................................
- 28.1.3. REDES SIMETRICAS..........................................................................................................
- 28.1.4. REDES RECIPROCAS.........................................................................................................
- 28.1.5. CAMBIO DEL PLANO DE REFERENCIA. .......................................................................
- 28.2. PUNTO DE INTERÉS: REDES PASIVAS Y SIN PÉRDIDAS...............................................
- REDES DE DOS PUERTAS. ....................................................................................................
- 29.1.1. GANANCIA DE TRANSFERENCIA DE POTENCIA. ......................................................
- 29.1.2. GANANCIA DE TENSIÓN Y PARAMETROS S...............................................................
- 29.2. SOLUCIONARIO......................................................................................................................
- EJERCICIOS AUTOEVALUACIÓN......................................................................................................
- 29.3. SOLUCIONARIO......................................................................................................................
OBJETIVOS
Vamos a establecer una serie de 10 objetivos básicos entorno a los cuales se ha organizado este módulo. Al final del curso deberéis ser capaces de:
- Manejar la formulación fasorial de los campos con agilidad, pasando del dominio temporal al
dominio fasorial y viceversa con seguridad.
- Entender qué significa el principio de continuidad de los campos en la superficie de cambio de
medio. Resultado fundamental para cuando analicemos la transición de una onda que viaja por un medio y pasa a viajar por otro medio.
- Conocer la expresión general de la ecuación de ondas para el campo eléctrico en el dominio
fasorial. Conocer la expresión de la solución de onda plana. Y relacionar parámetros como constante de fase, longitud de onda y velocidad de fase.
- Manejar el concepto de perpendicularidad entre los vectores de orientación de los campos
eléctrico y magnético y dirección de propagación de la onda, que además deben cumplir con la regla de la mano derecha.
- Obtener la expresión del campo magnético asociado a la onda a partir del conocimiento el campo
eléctrico y viceversa. Así como del vector dirección de propagación.
- Calcular la densidad de potencia, conocida la amplitud del campo eléctrico asociado. Y manejar
el concepto de densidad de potencia.
- Establecer qué tipo de polarización presenta una onda analizando la orientación del vector
campo eléctrico.
- Manejar el concepto de reflexión y transmisión en los casos de incidencia perpendicular a la
superficie de cambio de medio entre dieléctricos y entre dieléctrico y conductor.
- Manejar las Leyes de Snell en términos de los fenómenos de reflexión y refracción de la onda,
aplicado al problema de incidencia oblicua de la onda electromagnética en la superficie de separación de dos medios dieléctricos
- Entender (que no memorizar) las expresiones de los coeficientes de reflexión y transmisión para
los casos de polarización paralela y perpendicular en función de los índices de refracción de los medios.
BIBLIOGRAFÍA
DIOS,F., ARTIGAS,D., RECOLONS,J., COMERON, A.,CANAL,F. Campos electromagnéticos.
Edicions UPC,
RAMO, S., WHINNERY, J. & VAN DUZER, T. Fields and waves in communication electronics. John
Wiley and Sons, 1994
BARA, J. Circuitos de microondas con líneas de transmisión. Edicions UPC, 1996.
DAVID M. POZAR, Microwave Engineering, John Wiley & Sons, 1998
BIBLIOGRAFÍA complementaria
GOWAR, J. Optical communications systems. 2nd. ed.. Prentice-Hall, 1993
CARDAMA, A., JOFRE, L., RIUS, J., ROMEU, J., BLANCH, S. Antenas. 2a. ed. Edicions UPC, 2000
INGENIERÍA ELECTROMAGNÉTICA.
En este apartado vamos a introducir brevemente la importancia de la onda electromagnética. Hablaremos del espectro electromagnético, así como de los organismos que lo gestionan. Presentaremos formalmente las Leyes de Maxwell en su formulación diferencial e integral con el objetivo de conocerlas.
Recordad que las fuentes de los campos son las cargas y las corrientes. Y que si las fuentes varían en el tiempo podemos asegurar que los campos creados lo harán de la misma forma.
Asumiremos que todas las variaciones temporales son del tipo sinusoidal, es decir que estamos trabajando en régimen permanente sinusoidal. De esta manera podremos independizar los campos del tiempo pasando al dominio fasorial.
Por último, en este apartado, repasaremos los aspectos más importantes de cómo la presencia de medios materiales modifican los campos. Finalmente, cerraremos el apartado planteando las condiciones de contorno que deben cumplir los campos en la superficie de separación entre dos medios diferentes.
En este primer apartado habremos fijado las bases de cómo deberemos tratar los campos, preparando así el camino al estudio de la onda electromagnética propiamente dicha en el apartado 2.
INTRODUCCIÓN AL ELECTROMAGNETISMO.
En 1873 James Clerk Maxwell formuló las bases de la teoría electromagnética moderna: las ecuaciones de Maxwell describen a nivel macroscópico los fenómenos eléctricos y magnéticos. En aquel momento las aportaciones de Maxwell consolidaron el estado de la ciencia electromagnética. Maxwell estableció a partir de consideraciones teóricas el fenómeno del desplazamiento de la corriente eléctrica. El trabajo de Maxwell estaba basado en los trabajos empíricos llevados a cabo por Gauss, Ampére, Faraday y otros. A partir de este punto Hertz y Marconi llegaron al descubrimiento de la propagación de la onda electromagnética.
En este curso estudiaremos cómo se predice la existencia de distribuciones espaciales de campo que se propagan, lo que se conoce como ondas electromagnéticas. La verificación experimental por Hertz, en 1888, de la existencia de las ondas electromagnéticas, completó la verificación de la validez de las ecuaciones de Maxwell.
Las ondas electromagnéticas juegan un papel fundamental en la naturaleza; sin ir más lejos, la luz y el calor del sol son ondas electromagnéticas. Pero también ocupan un lugar central en muchas disciplinas de la ingeniería, principalmente en electrónica y telecomunicaciones. Gracias a su capacidad para almacenar energía, la potencia que tienen asociada se utiliza como vehículo para transmitir información a distancia. Hechos cotidianos como escuchar la radio, mirar la televisión, las comunicaciones vía satélite o la telefonía móvil son posibles gracias a las ondas electromagnéticas.
Hasta aquí parecería que sólo son útiles cuando no existe un medio material de un punto a otro, lo cual no es cierto: en las líneas telefónicas suficientemente largas es imprescindible tener en cuenta los fenómenos ondulatorios; en las grandes instalaciones de comunicaciones por satélite se utilizan guías de onda conductoras huecas para llevar la energía desde los equipos de emisión hasta la antena emisora; el cable coaxial de la antena de televisor es también una guía de onda que lleva la señal de TV de la antena, situada en las azoteas, al receptor de televisión; o los sistemas de comunicaciones terrestres modernos que conducen las ondas electromagnéticas mediante fibras ópticas.
ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO
Todos los sistemas de telecomunicación utilizan señales eléctricas para transportar la información; las señales eléctricas se caracterizan por la variación en el tiempo de sus magnitudes de tensión y corriente. Además de esta descripción en el dominio del tiempo, es posible establecer otra en el dominio de la
La Tabla 1 muestra la ordenación del espectro en función de la frecuencia, desde la radiación ultravioleta hasta la radiofrecuencia. Se muestra también el rango de longitudes de onda correspondiente a cada rango de frecuencias.
Radiación Frecuencia Longitud de Onda Ultravioleta 750-3000 THz 100-400 nm
Visible 385-750 THz 780-400 nm
Violeta Azul Verde Amarilla Naranja Rojo
400 – 424 nm 424 - 491,2nm 491,2 - 575nm 575 - 585 nm 585 - 647 nm 647 - 780 nm
Infrarroja (IR) 0,3-385 THz 1000-0,78 μm
IR-A
IR-B
IR-C
780-1.400 nm 1.400-3000 nm 3 -1000 um Microondas 0,3-300 GHz 1000-1 mm Radiofrecuencia 0,1-300 MHz 3000-1 m
Tabla 1 Ordenación en función de la frecuencia del espectro electromagnético.
Normalmente se utiliza la nomenclatura en frecuencia para las bandas de radiofrecuencia y microondas, y la de longitud de onda para el visible y la radiación ultravioleta. Por eso veréis que las bandas de radiofrecuencias e infrarrojos se ordenan por frecuencias y las del visible y el ultravioleta por longitud de onda. Los rangos que podéis ver en la Tabla 1 se subdividen, a su vez, en rangos más pequeños que se conocen como sub-bandas. En la Tabla 2 podéis ver estas sub-bandas para el caso de radiofrecuencia y microondas.
Denominación sub-banda Margen en frecuencias Margen en longitudes de Onda Extremly High Frequency EHF Extremadamente alta frecuencia 30 GHz - 300 GHz^ 10 mm - 1 mm Super High Frequency SHF Super alta frecuencia SHF 3 GHz - 30 GHz^ 10 cm - 1 cm Ultra High Frequency UHF Ultra alta frecuencia 300 MHz - 3 GHz^ 100 cm - 10 cm Very High Frequency VHF Muy alta frecuencia 30 MHz - 300 MHz^ 10 m - 1 m High Frequency HF Alta frecuencia 3 MHz - 30 MHz^ 100 m - 10 m Medium Frequency MF Frecuencia Media 300 kHz - 3 MHz^ 1 km - 100 m Low Frequency LF Frecuencia baja 30 kHz - 300 kHz^ 10 km - 1 km Very Low Frequency VLF Muy baja frecuencia 3 kHz - 30 kHz^ 100 km - 10 km
Tabla 2 Ordenación en función de la frecuencia del subconjunto del espectro electromagnético mayoritariamente utilizado en telecomunicaciones correspondiente al subconjunto de Radiofrecuencia y Microondas.
Se indica en cada caso el rango de frecuencias y longitudes de onda a que corresponde. De hecho, son estas subbandas las que se utilizan de forma masiva entre los diferentes servicios de telecomunicación existentes.
ORGANISMOS INTERNACIONALES REGULADORES DE
COMUNICACIONES.
El espectro radioeléctrico está completamente legislado por las administraciones públicas al tratarse de un bien de uso común. Éstas realizan una asignación de frecuencias para los diferentes servicios de telecomunicación. Esta asignación tiene en cuenta las características de las señales que se transmiten, pero también los problemas propios de la propagación de señales radioeléctricas.
La Unión Internacional de Telecomunicaciones (UIT) es una agencia dependiente de la ONU, integrada por 168 países. En ella los gobiernos y el sector privado coordinan el establecimiento y la operación de redes de telecomunicaciones y servicios. Se responsabilizan de la reglamentación, la estandarización, la coordinación y el desarrollo de las telecomunicaciones internacionales. También se encarga de la armonización de los reglamentos nacionales: su objetivo es fomentar y facilitar el desarrollo global de las telecomunicaciones para beneficio de la sociedad.
Las normas que elabora se reflejan en el Convenio Internacional de Telecomunicaciones. Los países que ratifican este convenio se comprometen a aceptar y cumplir sus normas y reglamentos.
Uno de estos reglamentos es el de radiocomunicaciones. La UIT divide el mundo en tres regiones: la región I, comprendida entre los meridianos -20º i +20º, que cubre África, Europa y la parte asiática de la CEI (Comunidad de Estados Independientes); la región II, delimitada por los meridianos -20º y -160º, que cubre América y Groenlandia; y la región III, comprendida entre los meridianos +20º y +180º, que integra Asia y Australia.
La UIT, a través de su secretariado, organiza las Regulaciones Internacionales de Radio. El soporte técnico lo proporciona la oficina de desarrollo de las Telecomunicaciones (BDT), mientras que la Oficina Internacional del Registro de Frecuencias (IFRB) anota las frecuencias que cada país miembro propone para sus servicios de telecomunicación y supervisa que se ajusten a las normativas de la UIT. En España podéis encontrar una relación completa en lo que se conoce como CNAF (Cuadro Nacional de Atribución de Frecuencias).
El “ International Radio Consultive Committee ” (CCIR) y el “ International Telegraph and Telephone Consultive Committee ” (CCITT) elaboran las recomendaciones que han de seguir los ingenieros en el diseño y desarrollo de nuevos sistemas. Las recomendaciones del CCIR y el CCITT, llamadas UIT-R y UIT-T para comunicaciones radio y telecomunicación respectivamente, una vez son aprobadas por el órgano competente adquieren el carácter de tratado internacional.
1.3. LEY DE FARADAY.
Si se produce una variación del flujo de campo magnético a través de una superficie determinada por un contorno C, aparece una f.e.m. inducida en dicho contorno, es decir, una diferencia de potencial. El sentido de la corriente inducida se opondrá a la variación del flujo, como causa que la produce.
C S
d
Edl Bd S
dt
JG G JG JG
v (3)
Observamos que si el imán se mantiene en reposo el campo magnético que genera no es capaz de inducir una diferencia de potencial o una f.e.m. en el contorno, es necesaria la variación. (fem=fuerza de origen no electroestático que mueve cargas manteniendo corriente en Régimen Permanente)
Figura 2 Ejemplo ilustrativo del fenómeno descrito por Ley de Faraday, si existe una variación del flujo de campo magnético a través de una superficie, por ejemplo debido al movimiento de un imán,aparecerá una difeencia de potencial en bornes de la espira.
1.4. LEY DE AMPERE.
Al medir la fuerza producida entre conductores que llevan corriente, la suma de la corriente que atraviesa una superficie abierta, definida por un contorno cerrado, C, es proporcional a la suma del flujo magnético por dicho contorno.
C S
∫ Bdl^ =^ μ∫∫ Jd S
JG G JG JG
v (4)
La circulación del campo magnético sobe un circuito cerrado es proporcional a la intensidad de corriente que atraviesa cualquier superficie que tenga por contorno el circuito.
Figura 3Esquema de cómo una circulación de corriente genera influjo de campo magnético rotatorio.
1.5. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
Maxwell observó que la ley de Ampere necesitaba una modificación para obedecer la ley de conservación de la carga, la ley de Ampere falla en caso de campos con variación en el tiempo. El principio de conservación de la carga o de continuidad se basa en el hecho que la carga total ni se crea ni se destruye y si existen variaciones en una región determinada del espacio es porque la carga abandona dicha región, hay corrientes
S V V
dQ d d
I Jd s JdV r dV J r t
dt dt dt
JG G JG JG
w (5)
1.6. TEOREMA DE LA DIVERGENCIA.
Definiendo el operador divergencia según.
div A A Ax^ A^ y Az
x y z
JG JG
Se puede demostrar,
S V
∫∫ Ad s^ =^ ∫∇ AdV
JG G JG
w (7)
El teorema relaciona el flujo de un campo sobre una superficie cerrada con la integral sobre el volumen encerrado por la superficie de una magnitud llamada divergencia.
Si aislamos la ecuación anterior según:
lim 0
s v
Ad s
div A
V
∆
JG G
JG
Podemos interpretar que la divergencia de un campo vectorial es el flujo que atraviesa una superficie cerrada, que al estar dividida por el diferencial de volumen equivale a una densidad de flujo. Como el flujo nos indica las fuentes en el interior de un volumen y realizamos el paso al limite del diferencial del volumen (cada vez más pequeño) al final obtenemos el flujo que surge de un único punto o equivalentemente si en un punto determinado hay una fuente de campo o si en este punto nacen o mueren líneas de campo.
Aplicación:
Ley de gauss diferencial.
S V o^ V o
Ed s EdV r dV E
∫∫ =^ ∫ ∇^ =^ ∫ ⇔ ∇^ =
JG G JG JG
w (9)
1.7. TEOREMA DE STOKES.
Relaciona la circulación a lo largo de un circuito cerrado con un flujo a través de una superficie abierta que tenga como contorno dicho circuito.
C S
∫ Adl^ =^ ∫∫∇ x Ad S
JG G JG JG
v (10)
Donde el sentido de giro de la circulación y el del diferencial de superficie están relacionados por la regla del sacacorchos.
En coordenadas cartesianas el rotacional se calcula según.
x y z
x y z
rot A x A
x y z
A A A
∂^ ∂^ ∂
JG JG
Como el campo eléctrico es irrotacional, ∇ xE = 0, ∃ potencial E r ( )= −∇ φ
JG JG G
La Tabla 3 muestra un resumen de la formulación en forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell en el dominio temporal, más la ecuación de continuidad de la carga, también conocida como ley de conservación de la carga. Observad que los símbolos incluyen un subíndice que indican la dirección de orientación de los vectores considerando el caso unidimensional con propagación únicamente en la dirección z
Forma Integral Forma Diferencial
Faraday C S
dl d s
t
E B
K K K G
v
t
∇ × = −
E B
G G
Ampére/Maxwel l (^) C S S
dl d s d s
t
H J D
G G G G G G
v
t
∇ × = +
H J D
G K G
Gauss (E) S V
∫∫ D d s^^ =∫∫∫^ ρ dV
G G
∇ D= ρ
G
Gauss (B) 0
S
∫∫B d s^^ =
G G
∇ B= 0
G
Conservación de
Carga S V
d s dV
t
J
G G
t
J
G
Tabla 3 Formulación integral y diferencial de las ecuaciones de Maxwell en el dominio temporal.
La ley de Faraday (13)) nos indica que si se produce una variación en el tiempo del flujo de inducción magnética a través de una superficie (S), determinada por un contorno (C), aparecerá una diferencia de potencial. El signo negativo indica que el sentido de la corriente inducida se opondrá a la variación del flujo, es decir, intentará compensar esa variación.
Observamos que si el imán se mantiene en reposo el campo magnético que genera no es capaz de inducir una diferencia de potencial o una f.e.m. en el contorno, es necesaria la variación. (fem=fuerza de origen no electroestático que mueve cargas manteniendo corriente en Régimen Permanente)
La ley de Ampére (14) nos dice que una circulación de corriente genera un campo magnético diferente de cero.
Pero la ley de Ampére también dice que un campo eléctrico variable con el tiempo genera un campo magnético. En este sentido la ley de Ampére es “simétrica” a la ley de Faraday: en la ley de Faraday la variación un variación de flujo de inducción magnética genera un campo eléctrico; y en la de Ampére una variación de flujo de campo eléctrico genera un campo magnético.
La circulación del campo magnético sobe un circuito cerrado es proporcional a la intensidad de corriente que atraviesa cualquier superficie que tenga por contorno el circuito.
Estas dos leyes, la de Faraday y la de Ampére (con la parte correspondiente al campo eléctrico) constituyen un punto de inflexión en la historia de la física, ya que unen dos fuerzas que hasta ese momento se consideraban distintas: la electricidad y el magnetismo.
La ley de Gauss para el campo eléctrico (15) establece que el flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada (S), es igual a la carga en el interior del volumen (V) que encierra dicha superficie. En este sentido la ley de Gauss para el campo eléctrico identifica las fuentes de dicho campo eléctrico, ya que en el interior de un volumen nacerán o morirán líneas de campo tan sólo si hay presencia de cargas en su interior.
La ley de Gauss para el campo magnético (16) establece por su parte que los monopolos magnéticos (que vendrían a ser el equivalente magnético de las cargas) no pueden existir aislados. Esto implica que el número de líneas de flujo saliente de una superficie cerrada es igual al número de líneas de flujo entrante a dicha superficie. Es lo que pasa en un imán, en el campo magnético terrestre o en un solenoide. Por eso decimos que con esta ley se pone de manifiesto el carácter solenoidal del campo magnético
Estas cuatro leyes se conocen como las leyes de Maxwell y constituyen la base de la teoría del Electromagnetismo, y son uno de los pilares de la física actual.
Sin embargo, Maxwell notó que necesitaba una ley más para satisfacer el principio (Base, origen, razón fundamental sobre la cual se procede discurriendo en cualquier materia.) de conservación de la carga: la ley de conservación de la carga (17). Según esta ley, si existen variaciones en una región determinada del espacio es porque la carga abandona dicha región, hay corrientes. Dicho con otras palabras, una variación en el tiempo de la densidad de carga provoca la aparición de una densidad de corriente eléctrica.
Las leyes de Maxwell están desligadas entre si ya que necesitamos conocer la densidad de flujo magnético para conocer la intensidad de campo eléctrico y necesitamos conocer la densidad de flujo eléctrico para conocer la intensidad de campo magnético. Sin embargo se pueden establecer unas relaciones constitutivas entre éllas. En el espacio libre podemos relacionar las intensidades de campo eléctrico y magnético con las densidades de flujo respectivamente. Al tratarse de un medio lineal, isótropo y homogéneo podemos considerar:
D = ε o E
JG JG
B = μ o H
JG JJG
El concepto de linealidad equivale a decir que podemos aplicar el principio de superposición. Si cada fuente produce su propio campo de forma independiente, el campo resultante debido a muchas fuentes, es la suma de los campos producidos por cada una de las fuentes.
Figura 6 Representación de cómo una combinación adecuada de señales sinusoidales de amplitud y frecuencia determinada puede construir una señal cuadrada.
2.1. CARACTERIZACIÓN DE LA VARIACIÓN TEMPORAL SENOIDAL.
Una variación sinusoidal viene descrita matemáticamente por la expresión:
a t ( ) = A cos(2 π f to + φ) (20)
Donde A es la amplitud de pico de la sinusoide, fo es la frecuencia fundamental de la sinusoide y φ (léase
fi) es la fase inicial de la sinusoide en t =0.
En cada ciclo la fase de la sinusoide recorre 2 π radianes. En habitual escribir la variación sinusoidal en función de su frecuencia angular o pulsación ω (leáse omega).
-2 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.
-1.
-0.
0
1
2
Tiempo
a t ( ) = A cos(2 π f to +φ)
+A
T
-2 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.
-1.
-0.
0
1
2
Tiempo
a t ( ) = A cos(2 π f to +φ)
+A
T
Figura 7 Representación temporal de una sinusoide.
La frecuencia angular es una medida de velocidad angular ya que determina el ángulo recorrido por unidad de tiempo. Sabiendo que en cada ciclo la fase de la sinusoide recorre 2 π radianes y que el
periodo T es el tiempo que tarda la sinusoide en completar un ciclo, tenemos que la frecuencia angular
es:
2 fo
T
π ω= = π (21)
Las unidades de la frecuencia angular son radianes por segundo que, abreviadamente, escribiremos como rad/s.
Sabiendo que la variación en el tiempo es sinusoidal, es suficiente con decir la amplitud de la onda, y la frecuencia (consideramos que el desfase inicial es cero). Es decir, con estos dos parámetros tenemos suficiente para caracterizar la onda, aunque matemáticamente se exprese como se indica en la ecuación (20)
Por tanto, si tenemos un vector cuya longitud sea la amplitud de la onda, y que gire con una velocidad angular igual a la frecuencia de la onda, tendremos toda la información que necesitamos para caracterizar la onda. Este vector se llama fasor.
Un fasor es un vector cuya longitud es la amplitud de la sinoside y que gira a una velocidad angular igual al a frecuencia de la onda.
En la Figura 8 tenéis una representación de este vector en lo que se llama un diagrama polar: un diagrama en el que se representan la amplitud y la velocidad angular. Podéis ver que si proyectamos la amplitud del vector sobre el eje vertical a medida que avanza el tiempo podemos obtener la representación de la señal sinusoidal asociada.
Hay todavía un elemento del que no hemos hablado y que es fundamental para caracterizar una onda: el
desfase inicial, φ (ver (20)). De hecho, a la hora de trabajar, sin embargo, a menudo se trabaja con
frecuencias conocidas y sólo interesa conocer la amplitud de la onda y el desfase inicial (pensad por ejemplo en la corriente alterna). Por tanto, en realidad, a la hora de trabajar con fasores sólo se utilizan: la amplitud y el desfase inicial, es decir, la longitud del vector y en qué ángulo empieza a girar.
Hasta aquí hemos visto cómo se representa un fasor en una gráfica, pero, ¿cómo se trabaja matemáticamente con él? ¿cómo se representa? Para verlo partiremos de la ecuación (20), y utilizaremos las relaciones de Euler:
x t ( ) = A ·cos( ω t + φ ) = Re Ae j^ (^ ω t^^ +φ) =Re Ae j^ φ^ ej^ ω t
Donde A es la amplitud de la sinusoide, ω la frecuencia angular y φ es la fase inicial para t =0. La parte
Ae^ j^ φ^ contiene toda la información que hemos dicho que necesitamos: la amplitud y el desfase, por lo que podemos decir que una sinusoide en el dominio del tiempo se puede interpretar como un fasor Aej^ φ^.
t
t
Figura 8 Representación fasorial de una sinusoide en el dominio del tiempo como un vector que gira a la misma frecuencia que la sinusoide.
Así podemos formular un campo eléctrico, por ejemplo orientado en la dirección x , con variación
sinusoidal: