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Pr´actica 7: Reglas de trapecios compuesta y
m´etodo de Romberg.
1 Introducci´on
Recordemos que posiblemente la regla de trapecios (simple) para aproximar la integral
I(f ) =
∫ (^) b
a
f (t) dt (1)
est´a dada por
IT (f ) = (b − a)
f (a) + f (b) 2
mientras que la de trapecios compuesta es
ITC (f ; h) = h
[
f (a) 2
n∑− 1
k=
f (xk) + f (b) 2
]
donde
h = b − a n , xk = a + kh , k = 0, 1 ,... , n.
Observe tambi´en que podemos calcular eficientemente las f´ormulas ITC (f ; h) cuando n = 2m: comenzando con ITC (f ; b − a) = IT (f ), dada en (2), se sigue con
ITC
f ; b − a 2 j
ICT
f ; b − a 2 j−^1
b − a 2 j
(^2) ∑j−^1
i=
f
a + (2i − 1) b − a 2 j
A su vez, el m´etodo de integraci´on de Romberg consiste en la aplicaci´on de extrapolaci´on de Richardson a la f´ormula (3). Como resultado, se obtiene la tabla triangular
G 0 , 0 G 1 , 0 G 1 , 1 G 2 , 0 G 2 , 1 G 2 , 2 .. .
Gm, 0 Gm, 1 Gm, 2... Gm,m
Pr´actica de ordenador VII 2
donde
Gk, 0 = ICT
f ; b − a 2 k
, k = 0, 1 ,... , m, (5)
y las siguientes columnas se calculan seg´un la f´ormula
Gm,k = Gm,k− 1 + dm,k , dm,k =
Gm,k− 1 − Gm− 1 ,k− 1 4 k^ − 1 , m ≥ k ≥ 1. (6)
El valor Gm,m es te´oricamente la mejor aproximaci´on a la integral I(f ) dada en (1).
2 Pr´actica de laboratorio
Vamos a implementar la f´ormula de los trapecios compuesta y el m´etodo de Romberg por medio de dos funciones, descritas m´as abajo. Al final, experi- mentaremos con las funciones creadas y compararemos con el resultado de aplicar la funci´on quad de MATLAB.
- Para implementar las f´ormulas (3)–(4), cree una funci´on, denomina- da itp (de “integraci´on con trapecios compuesta”), con las siguiente estructura:
function [g] = itp(f, a, b, m)
donde f es la funci´on a integrar en el intervalo [a, b]. Como resultado debemos obtener el vector g de los valores de Gk, 0 , k = 0, 1 ,... , m, dados en (5). Atenci´on: se exigir´a que la funci´on f venga dada en forma de cadena de caracteres (’texto’), definida con la variable x de tal forma que si x es un vector, f devuelva el vector correspondiente. Por ejemplo,
f = ’sin(x)./(x.^2)’
Internamente itp debe contener los siguientes bloques o pasos:
- MATLAB tiene un sistema muy flexible de manejo de los datos de entrada. Es decir, podr´ıamos llamar nuestra funci´on con 4 o menos par´ametros de entrada, asumiendo los dem´as por defecto. Para ello podemos emplear el valor de la variable nargin que contiene la cantidad de datos de entrada con que fue llamada la funci´on (consulte la ayuda para m´as detalles). Como primer paso, se debe verificar de cu´antos par´ametros de entrada disponemos: si la cantidad es 3, asumir m = 10 por de- fecto. Si la cantidad es < 3, emitir mensaje “Faltan datos” y abandonar. Sugerencia: use los comandos disp (o warning) y break.
Andrei Mart´ınez Finkelshtein
