apuntes de matemáticas, Apuntes de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica

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Trigonometría CLAVES PARA EMPEZAR 1. Página 134 34+4=7>5| A sa-1<3 > Corresponden a las medidas de los lados de un triángulo. b) 5+15=20<30> No corresponden a las medidas de los lados de un triángulo. 2. Página 134 a) Uno de sus ángulos es recto. Los dos restantes son agudos. b) Los ángulos agudos son complementarios, es decir, suman 90”. VIDA COTIDIANA EL FARO. Página 135 18300 distancia=86.60 m distancia ACTIVIDADES 1. Página 136 >. 2 5 25 a) x=180- ==" E) x=900- =>: 2n=8n e) x= 1440-4020 8% b) 10 LE 20 d) x=1080. 2 =3.2n=6n 2. Página 136 260 5 360 20. 31 360 _ ¿50 0) 70 1260" b) x=, 90 da 3. Página 136 a) Frad=90" 0) 2 rad=270* e) $ rad=60 a rad 120* 2 2 3 ? 4. Página 137 a) sena=32-06 cosa=1-08 50=Í-075 5 5 il 8 15 8 b) sena=5=0.47 cos «=-7=0,88 Ba=i=05 233 Trigonometría 5. Página 137 tga= o El cateto opuesto mide 4 cm. Aplicando el teorema de Pitágoras: 1? =3? +4? > h=49+16 >h=5 Los lados del triángulo miden 3, 4 y 5 cm. 6. Página 137 cateto opuesto . =1= 222 > cateto opuesto = cateto contiguo cateto contiguo — ? e Aplicando el teorema de Pitágoras: h?=c? +c? > h?=20? >4=20? >C0=vV2 Los otros dos lados son iguales y miden /2 cm. 7. Página 138 (0,4663? + 1=1,21744 1,21744 + 33,1818 — N iste. 1 nera TY 33,1818 + No existe. 0,1736' 1 => cosa a) tga+l= (0,3640? + 1= 1,1325 11305 7 Sí existe. 1 e gar coso o o37 c) cos%a +senta =1 0,2588? + 0,1485? = 0,067 + 0,0221=0,0891> 1 No existe. (0,9325? + 1=1,87 1 = Sí existe. 1 d) tga+1= 2 187 e rre —> 05% e) cos?a + sena =1>0,669Y + 0,2754? =0,4476 + 0,0758 =0,5234 + 1—> No existe. 8. Página 138 A Pa = - (1 E 21 Sexi a) costa + sena =1 f + ut Sí existe. TY 49 74 Bl +15 1 ag SAB, No existe. 259 a pt= b) Ba+I= == 2128 q. 5 9. Página 138 seña _Cos%a 1 1 1 2 2 2 14 2 2 sería * seña seña ta sera sera +cos%a =1> 10. Página 139 a) sena +c0s%a=1> sena + 0,4327 =1— sena =0,8133 — sen a = 0,9018 b) sena +Cc08%a =1> sena +0,1357? = 1 sena = 0,9816 — Sen a. = 0,9908 c) sena +C0s%a=1> sena + 0,9537 =1 sera =0,0916 > sen a = 0,3027 d) sena +C0s%a=1> sena + 0,2864? = 1 sera =0,918 — Sen a = 0,9581 234 Trigonometría 144 25 5 serra +08 =1> sen —=1> sera == sena==2 0 argo a+ 169 169 073 El _Seña 13 5 BO dog y BOP 8957 1 201 400 441 21 seta + c0% =1> seña +| E] =1> seña + =1> Seña = — > seña =2 8) a+ a 0+[2) > + a ET a 3 21 _seña _29 _ 2 Ba Ba > BA 2 25 1 senta 14 -2 h) 1 sera +1 sen' 9 7 aj 14. Página 139 1 sy 1 25 1 34. 1 a “a+ 1= 1 += L+1= £- Y as cosa. E) PE coa 9 costa — costa =Í 005 a=0,5145 sera +C0S% =1-> Sera +2 =1>seña= Es > Sen a. =0,8575 e > 1 L 2B_ 1 > osta=M cosa! osa 16 cosa 16 CoS%um 25 5 b) ari Br cosa lA Ci 16 9 3 seva +C0S% =1> seña + 2=1> Seña =2 > Sen a =2 a+ a > a+ 25 - a 25 > a 5 15. Página 140 h sen 60*= = 57 h=4,33 —> La altura del triángulo mide 4,33 cm. > h 5 E 16. Página 140 sen 45*= 5 =>(=4,24 —> La diagonal del cuadrado mide 4,24 cm. 17. Página 140 En un hexágono de lado 4 cm, su radio mide 4 cm y la mitad de su lado 2 cm. Consideramos el triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el radio del hexágono, 4 cm, un cateto la mitad de su lado, 2 cm, y el otro cateto la apotema. Si llamamos a, al ángulo marcado en la figura tenemos: cos a=%=05 En un hexágono de lado 6 cm, su radio mide 6 cm y la mitad de su lado 3 cm. Consideramos el triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el radio del hexágono, 6 cm, un cateto la mitad de su lado, 3 cm, y el otro cateto la apotema. Si llamamos a, al ángulo marcado en la figura tenemos: cos a =2=05 Por tanto COS a, =COS ar, . El coseno no varía según la longitud del lado. 236 De la misma manera: sen ay = 4-2 -12_8_48 4 4 4 21 sena=sena, sen a, = ee 71_NB_N8 6 6 6 2 80 = EZ Bo (-8_ 427 _ 5 En E 80 === 18. Página 141 a) sen 40”=0,643 cos 40” =0,766 tg 40” =0,839 b) sen 120”=0,866 cos 120” =-0,5 tg 120" =-1,732 c) sen75”=0,966 Cos 75” =0,259 18 75” =3,732 d) sen 220” =-—0,643 Cos 220” = 0,766 tg 220” =0,839 e) sen 135*=0,707 Cos 135*= 0,707 18 135" =-1 f) sen 300” =-—0,866 cos 300” =0,5 tg 300” =-—1,732 g) sen 240” =-—0,866 cos 240” =-—0,5 tg 240” =1,732 h) sen 15”=0,259 cos 15” = 0,966 18 15” =0,268 1) sen85”=0,996 cos 85" = 0,087 tg 85" =11,430 19. Página 141 sen =0,34 0=19,88* > (as 20. Página 141 a) sena Ea b) cos ah» a=70,59 21. Página 142 a) sen310”<0 cos 310”>0 tg 310” <0 b) sen 255”<0 cos 255 <0 tg 255>0 c) sen275”<0 cos 275” >0 18 275<0 d) sen 295”<0 cos 295” >0 tg 295<0 e) sen70”>0 cos 70”>0 tg 707>0 f) sen155>0 cos 155" <0 18 155 <0 237 c) sen (-35”) =-sen 35? =-0,57 COS (35) =C0S 35* tg (-35) =-tg 35” =-—0,70 27. Página 144 [sen 65” =C0S 25 =0,91 a) 65*=90"- 25” >¿C05 65” = Sen 25” =0,42 0,91 65 =2==2,17 e 0,42 sen 155” = sen 25* cos 155” =-—COs 25” =—0,91 18 155" = tg 25 =-0,47 b) 155”=180"-25”= sen 335* = sen 25"=-0,42 Cos 335" = Cos 25*=0,91 18 335" = tg 25" =-0,47 C) 335" =360" 25" =-25= 28. Página 144 sen B=C0S a Sea $ el otro ángulo: a +8+ 90? =180" +8=90"— a — cos 3=sena cosa + senta =1> COS%a =1-— 0,9848? — COS%a =0,0302 —+ COS a. =0,1738 sen $ =0,1738 COS B=0,9848 29. Página 145 a) 390 | 360 30 1 sen 390" =seno*=2 b) 480 | 360 120 1 E 2 lá sen 480 = sen 120? = c) 585 | 360 225 1 sen 585” = Sen 225" = A d) 405 360 45 1 sen 405” = sen 45” = Y 3 cos 390*=cos 207 tg 390" =1g 30 = 4 3 [én cos 480" =c0s 120 =-7 tg 480" = tg 120” = 3 COS 585” =COS 2-2 tg 585” = tg 225" =1 COS 405” =COS 45” tg 405”=1g 45”=1 239 Trigonometría e) 690 | 360 330 1 sen 690 =sen 390*=-2 vos 650" cos so0*— 4 eos E 30. Página 145 a) 1125| 360 45 3 60" — 45% =315" sen(—1 125”) = sen 315' => cos(-1125”) =C0S 315 => t8 (11259) = tg 315" =-1 b) 1060 360 340 2 60” — 340" = 20" sen(-1060*)= sen 20"=0,34 COS(-1060*) =COS 20" =0,94 18 (-1060*) = tg 20"=0,36 31. Página 145 (a, =45* + 360" = 105" > 360? . no, [02 = 45" 42-360 =765*> 360? Respuesta abierta. a=45%> a. 45-360? =-318* <0* a =45*2-360* = 675% < 0 y2 sen a, = Sen a, = SN a, =SeN o, === COS «1, =COS 1, =COS a, =COS a, =C0S a = tga,=tg80a,= Bo, =18 0. =8a=1 32. Página 146 a) h=420? +27 =29. La hipotenusa mide 29. go =0% 049,6 E 1059 =46,40 Los ángulos miden 90”, 43,6” y 46,4”. b) was= 2.010 El otro cateto mide 10 cm. Es un triángulo rectángulo isósceles, por tanto sus ángulos iguales miden 45”. h=4h107 +10” =14,1> La hipotenusa mide 14,1 cm 33. Página 146 h=W/7 +10? =12,2 > La hipotenusa mide 12,2 cm 7 o 10 1038-55 1807 20,70 =35 80=>7=1,43 B=55 Los ángulos miden 90”, 35” y 55”. 240 Trigonometría ACTIVIDADES FINALES 39. Página 148 2 2 a) Xx =1800-3¿¿ =10% rad e) x=2880-7¿7=16n rad 2m b) x=1260-=7wrad d) x=720- = 4 rad 40. Página 148 a) x=180" b) x=720" Cc) x =360" d) x=540% 41. Página 148 a a 2r E a) X= red b) x= rad e) x= rad a) x == red 42. Página 148 a) x=270" b) x = 300" c) x=90* d) x =240" 43. Página 148 a) 3015'=30,25* x=30,25-2% —0,53 rad 360 b) 15%27'45" =15,4625" Xx =15,4625- eS =0,27 rad 44. Página 148 a) 244525 =600+-45,25"=105,25"=105%1 e) e rad b) 1 rad 116,7 11642" 45. Página 148 a) h=4167+307 =34 b) c=/107-6=8 g0==053 go=5=075 seno =0,47 seno==5=06 cos a===088 cosa==5=08 242 46. Página 148 a) h=410* +24? =26 b) h=/%+12 =15 12 =2-13 ga 9 1 2 sen a ===0,8 015 cosa=2=06 15 c) c=425-7=24 24 80=5=343 24 sen a ==0,96 ES 7 Cos a =-—=0,28 ES d) c=4/29 - 20? =21 21 =2 105 80=> sen a = 2 =0,72 29 20 Cos a == =0,69 “7 47. Página 148 a) 8 60'=hb=2.87 2 b) 18 30=5>b=3,46 o) gar Db=7 9 d) 84=>0=9 10 18 8=7, 20,42 10 sen $==0,38 p 26 30==075 seno=h=06 cos eL 0,8 18 0==0.29 seng= 0,28 cosp= E =0,96 sené0r=3-.2=5,77 senzor=2 9-4 a 7 00547 =8=9,9 sen 52 a=12,73 54. Página 149 7Y fa) _ 49 121 170 a) sera+cos%a=1 ( ) ]- => 1> No existe. E DO IN 7 49 144 193 b) sena +c0s* -1>[%) El ati =32+1>No existe. ) start Ia) tl) 169165 716917 2 2 tarcostaio [BPE 20228 ox c) sena +c0s%a =1 an 5 7! Sí existe. 55. Página 149 2 a) senta +costa 1-2 +008%0=1>C08 a.= 1 cosa 7 cosa 25 25 Y2s 7 _Sena 25 ZA Losa gn 24 > E9= oy 25 24 25 sena COS a Ba= >tga 2 c) senta +costa=1=serta +5) =1>SNa= (Losa 23 sena= 5 17 289 289 17 15 _ Sena 1, 15 Losa ES ES=g 17 3Y 9 16 4 d) serra +c0s” => ($) 008% =1C08 a=,/1- >c08 Ecos == ) a +CoS%a OS a a E a=5 3 sen a 5 _3 E dos y ESE 5 56. Página 149 7 seña 6 1 7 a - £_ “1 =2>1> No existe. A sos go 1 13 169 144 b] "ay I= go al =1=-1=-—x 1 No existe. AA E Ea 25 5” 1 9 Lo c) o > Sí existe. 245 Trigonometría 57. Página 149 > a) sera +cos%a=1> C0Sa =V1- Sena —C0S a = 1-5) >008a= 1 00s0- _seña _37 _ 12 Bog E Bm 37 7 b) sería +C0S%a =1> COSA =vV1- Sera — C0S a = (2) acosa 12 cosa 61 y 3721 61 1 _seña 61 an ES dog] ESTE BAS 61 > > z 20 21 e) sena +cos%a=1> sen a =vV1-c0S%a — sena = 155) —sena= > Sena = 5 21 _Sseña _29 _ 2 E dog] ES BA 29 A 2 7 sy 25 12 d) sera +c0s'a=1> sen a=vV/1-c0S'a — sena = 1,5) Sena = >: Sena =3 2 00 ga ga Ba COS a. Ba EAN 5 13 58. Página 149 a a) sera +c0s%=1>C0S a =/M1- Sera >C08 a = "(E >.C0S a=,/1 2 0050 _seña COS 0% Ba 7 b) seva +c0S%0=1> Sen a =1-C08' > Sen a = 8) > sena = (E sena W5 _seña 3 5 e 7 Ba= > > 8g0=> 3 7 e) sena +Cos%=1008 a =/1— Sera — 008 a= (E 5008 a= ZE dog 2 34 1156 34 15 _seña 3 _ 154/19 E dos y ES pj 0 133 34 246 Trigonometría 60. Página 149 e] a) sera +cos'a=1>008 a =v/1- sera >C08 a= pepe E 2 V6 +2 sen a =43 +2 BO, 7 Ea + 7 b) sera +c08 a =1> sena =vV/1-coséa sen a=, [1 Ea - ECEz/ e Loa Y2 sen a 2 E0= dog, 7 E0= mé 8 61. Página 149 6 6 En pon=12 tg 60"= Ni > 6/3 =10,4 Los demás lados miden 12 y 10,4 cm. 62. Página 149 sen 45" =2 E 12 + =2>h=124/2 =16,97 h sE 12 Los demás lados miden 12 y 16,97 cm. 63. Página 149 Xx x sen 30" == > x=15 30 230 y lar si Y =2 5 x=15/13= 005 30" =3 > a 7 1543 =25,98 Los demás lados miden 15 y 25,98 cm. 64. Página 149 a=V22-2 =4/12 =2/3 =3,46 P=6:4=24 =24/3 =41,57 La apotema del polígono mide 3,46 cm y su área es 41,57 cm?. 248 65. Página 149 a) sen 157*=sen(180” — 23”) =sen 23" =0,39 c) sen 335" = sen(360* — 25”) = sen 25”=-—0,42 b) cos 197*=C05(180 + 17%) =-C0S 17" =-0,96 d) cos 245” =C0s(180* + 65%) =-COS 65” =-—0,42 66. Página 149 COS a, == a) sera +C08%=1> 008 a =+/1- Sera =>, ms 5 4 cos ay =-2 ES 3 MEN ga, cosa 1 3 2 67. Página 149 7 cos a, - HE a) sera +cosa=1>005 0 msara fi L 7 cos a, 7 7 26 sena 7 5 _Seña, Eos, 35 15 Eo COS a, 7 249 1 y [00sa,=> c) Cira OS A Vgtart Y loos a =— sen 1 43 A Ba,= Sn = 18 a,-C0S a, = 6(=E 1 COS a, = d) ga+1== cosa Tea Ml eos a, = sen 3 ga = ds Ma 8 0,:C0S a = E: + 18 a, = 20.0 _, sena, =18 a,:C0Sa, = ESE - 3 COS a, 69. Página 149 a) Ea=I+0=3+kn con keZ. b) Ba=1>0=G+Kr ,con keZ. c) g0a=/3>0=>3+k1 ,con keZ. d) oia ka ,con keZ. 70. Página 150 a) sen 1200”= sen 120” = sen 60* b) cos 870? =c08s 150” =-—cos 30” e) sen 930” = sen 210? =-—sen 30? d) cos 1770*=c0s 330” =coS 30” 71. Página 150 sen? 35% 4005” 35 =1 cos 35 =w/1-0,577 =./0,68 — cos 35" =0,82 sen e 18 35"= 518 35= a) Cos 1655? =C08 215" =C0s(180” + 35%) =-—COS 35" =-—0,82 b) sen 1585 = sen 145” =sen(180* — 35*) = sen 35? =0,57 e) sen 1765" = Sen 325* = sen(-35”) = sen 35 =-—0,57 d) cos 1565*=cC08 125” =Cos(90” + 35”) = sen 35” =-—0,57 251 Trigonometría 72. Página 150 a) cos 2 cos cos E = 2 b) cos E =-cos h=-> c) A a) sen E =senT=2 73. Página 150 a) cos 960*=c0s 240” =-cos 60” =-—sen 30” b) sen 600” = sen 240” = sen 60% =-—cos 30? c) cos 2145=C0S 345" = COS 15% d) sen 1120” = sen 40” 74. Página 150 a) tg 1655” =1g 215" =1g(180” + 35%) =18 35” =0,7 b) 18 1585”= 18 145? = tg(180* — 35) =-1g 35 =-0,7 c) 181765"=18 325” = g(-35%) =-1g 35" =-0,7 sen(90*+35%) _ cos35% 1 d 1565? = tg 125” = tg (90? + 35%) = == === =-1,43 1 8 RS e ENTES 75. Página 150 a) sena=cosa>tga= 2-1 0-34 km, con keZ. COS a 4 y [0 =+2kn b) sna=1-Sena > Sena=>3> ,con k.NEZ. a, = +20 c) sera =1>5eN0=1>0=>3+kn, con KneZ. y | =h+2kr d) sena +c05(90"—0)=1> Sen a +5ena=1> sena => Se ,con k.NEZ. 0, +20 76. Página 150 Cos a =1 a) sena ga=0>sma= ig 0 > sema (eno o miga 70 Arco keZ. b) sora —250na+1=0 sena 2 1 02 42%, con keZ. 252