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T.45.-LOS POLIEDROS EN LOS SISTEMAS DE
REPRESENTACIÓN:
POLIEDROS:
Un poliedro (‘de muchas caras') es una figura tridimensional cuyas caras son todas polígonos. Los poliedros son superficies regladas y desarrollables. Un cubo o hexaedro tiene seis caras cuadradas. Un poliedro simple es aquel que no tiene agujeros. Un polígono (en griego, ‘de muchos ángulos’) regular es una figura plana con un cierto número de lados iguales. Si n=3, el polígono es el triángulo equilátero, si n= será el cuadrado, etc.
- Los poliedros platónicos o
regulares son aquellos que tienen como
caras un mismo tipo de polígono regular. Todos los vértices tienen el mismo numero de caras alrededor. Todos cumplen las siguientes condiciones: 1° Todas las caras son polígonos regulares. 2º Todas las caras son iguales. 3º Todos los ángulos poliédricos son iguales. 4º Existe una esfera circunscrita que pasa por todos los vértices. 5° Existe una esfera inscrita tangente a todas las caras.
- Los poliedros semirregulares o arquimedianos equiángulos cumplen las condiciones 1ª, 3ª y 4ª, pero no lo hacen con la 2ª y 5ª. Los poliedros semiregulares equifaciales cumplen la 2ª y la 5ª, sin embargo no con las 1ª, 3ª y 4ª.
POLIEDROS REGULARES:
De entre todos los poliedros que existen los regulares son especialmente importantes por sus propiedades, belleza y presencia en la vida real. Se les conoce con el nombre de sólidos platónicos en honor a Platón (siglo IV a. de C.) que los cita en el Timeo , pero lo cierto es que no se sabe en qué época llegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, tetraedro y dodecaedro a Pitágoras y el octaedro e icosaedro a Teeteto (415-369 a. de C.). Para Platón los elementos últimos de la materia son los poliedros regulares, asignando el fuego al tetraedro ( El fuego tiene la forma del tetraedro, pues el fuego es el elemento más pequeño, ligero, móvil y agudo) , la tierra al cubo (el poliedro más sólido de los cinco), el aire al octaedro (Para los griegos el aire, de tamaño, peso y fluidez, en cierto modo intermedios, se compone de octaedros) y el agua al icosaedro ( El agua, el más móvil y fluido de los elementos, debe tener como forma propia o “semilla”, el icosaedro, el sólido más cercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidad puede rodar) , mientras que el dodecaedro (el universo) (Como los griegos ya tenían asignados los cuatro elementos, dejaba sin pareja al dodecaedro. De forma un tanto forzada lo relacionaron con el Universo como conjunción de los otros cuatro: La forma del dodecaedro es la que los dioses emplean para disponer las constelaciones en los cielos. Dios lo utilizó para todo cuando dibujó el orden final). A finales del siglo XVI, Kepler imaginó una relación entre los cinco poliedros regulares y las órbitas de los planetas del sistema solar entonces conocidos (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno). Según él cada planeta se movía en una esfera separada de la contigua por un sólido platónico. Los pitagóricos y mucho después Kepler descubrieron que sólo hay cinco poliedros regulares. Existen varias demostraciones de este hecho. La más fácil es la basada en la suma de los ángulos de los vértices de cada polígono que concurre en un vértice del poliedro. Así podemos tomar ➔ el triángulo equilatero (60º en cada vértice) y unir tres de ellos (3x60º=180º) obteniendo el tetraedro. ➔ Con cuatro (4x60º=240º) saldrá el octaedro, mientras que con cinco (5x60º=300º) se formará el icosaedro. ➔ Con cuadrados sólo es posible construir el hexaedro (3x90º=270º) porque con cuatro cuadrados ya forman un mismo plano (360º). ➔ Con el pentágono sólo se construye uno, el dodecaedro (3x108º=324) y ya con cuatro se pasa de 360º. Con el hexágono no es posible construir ninguno (3x120º=360º) y así sucesivamente.
POLIEDROS SEMIRREGULARES(ARQUIMEDIANOS)
Se obtienen por la sección de los regulares y poseen caras formadas por distintos polígonos (normalmente sólo dos o tres). Se dividen en equiángulos y equifaciales. Sus nombres derivan del de los regulares. Obtenemos los poliedros arquimedianos haciendo dos tipos de secciones : 1.- Cortando por un plano que pase por el punto medio de todas las aristas que concurren en cada vértice. El nuevo poliedro tendrá unas caras cuyo número de lados será igual al orden del vértice y otras del mismo número de lados que las caras del poliedro inicial. 2.- Cortando por un plano que pase a una distancia del vértice igual a un tercio del valor de la arista. El poliedro resultante tendrá unas caras con un número de lados igual al orden del vértice y otras con doble número de lados que las del poliedro inicial. De la naturaleza de estos cortes podremos agruparlos en dos tipos básicos:
- IRREGULAR EQUIÁNGULO: Tienen el mismo ángulo entre sus caras y se obtienen de truncar simplemente los vértices y aristas de los regulares. Así se obtienen 13 sólidos de los cuales uno proviene del tetraedro, seis del cubo u octaedro y otros seis del dodecaedro o icosaedro. Esa característica proviene de las conjugaciones. Sus caras son diferentes polígonos regulares. Se les puede circunscribir una esfera por los vértices, pero no inscribir.
- IRREGULAR EQUIFACIAL: (o de catalán) Tienen el mismo polígono no regular en todas sus caras y se obtienen a partir de los equiángulos trazando planos tangentes por los vértices a la esfera circunscrita. De cada equiángulo saldrá un equifacial. Por lo que también existen
- se les puede inscribir una esfera tangente a todas las caras. Aunque con menor importancia existen otro tipo de poliedros semirregulares: Prismas y antiprismas son uniformes y convexos, con caras regulares: fueron analizados por Kepler. Si se gira la base con respecto a la otra se obtiene el antiprisma. Los SOLIDOS DE JOHNSON son poliedros estrictamente convexos, siendo cada una de sus caras un polígono regular. No se requiere que todas las caras sean un mismo polígono, o que polígonos del mismo tipo se unan por los vértices. Un ejemplo de sólido de Johnson es la pirámide de base cuadrada con lados equiláteros, que presenta una cara cuadrada y cuatro triangulares.
en un plano sobre una de sus aristas. Si esta en equilibrio, es decir, con la arista opuesta también es paralela al plano, su proyección en planta será un cuadrado y sólo quedara medir la altura con un triángulo rectángulo semejantes a los dos casos anteriores. Si se inclina hacia un lado se hará necesario realizar un cambio de plano perpendicular a la arista para dibujarlo en principio apoyado y a continuación girarlo sobre la arista apoyada para alzarlo hasta el ángulo pedido. La proyección horizontal abcd aparece como un cuadrado de diagonal igual a la arista ab del tetraedro. La proyección vertical de la arista a'b' se encuentra en la línea de tierra. Para hallar la altura de la proyección vertical de los puntos d'c', se construye un triangulo rectángulo del que se conoce la hipotenusa y un cateto. Esta coincide con la altura de una de las caras del tetraedro; para hallarla se ha abatido sobre el plano horizontal hasta verla en verdadera magnitud. El cateto es la proyección de dicha altura sobre el ese plano, que coincide en magnitud con la mitad de la proyección horizontal de una arista del tetraedro. El otro cateto obtenido es la altura buscada. Si se conociera un vértice sobre un plano que contiene a la base, bastaría con proyectarlo sobre el plano para hallar el centro y construir la base concéntrica de uno cualquiera que serviría de apoyo para construirlo por semejanza.
HEXAEDRO
Es el poliedro más fácil y su estructura ortogonal ayuda a su construcción. Esta constituido por 6 caras, 8 vértices y 12 aristas.
- A)Si el hexaedro tiene una cara apoyada en el plano horizontal, la proyección horizontal abcd es un cuadrado de lado la arista del hexaedro. La proyección vertical de la base a'b’c'd’ coincide con la línea de tierra. La altura vendrá determinada directamente por la medida de la arista sobre rectas perpendiculares a la línea de tierra desde los vértices de la base.
- B)Si el hexaedro tiene una arista apoyada en el plano horizontal de proyección, se abate una de sus caras proyectantes (A)(B)(C).(D). La orientación de la cara vendrá dada por el ángulo que forme otra cara con el plano de proyección. Estos vértices referidos perpendicularmente sobre P determinan los puntos abcd. Llevándose la dimensión de la arista perpendicularmente a la traza P del plano obtendremos los vértices efgh y la proyección horizontal del hexaedro.Las cotas X,Y,Z, de los vertices (A) (C) y (D) respectivamente se obtienen sobre la cara del hexaedro abatida que, trasladadas sobre la línea de tierra, determinan las proyecciones verticales de los puntos a', c', d'. El punto b' tiene cota cero y esta situado en la línea de tierra directamente. La proyección vertical del hexaedro se completa con las aristas horizontales que pasan por dichos puntos.
- C)Una posición habitual del hexaedro es la que lo sitúa en equilibrio sobre una de sus diagonales (perpendicular a un plano de proyección). Se construye a partir de las proyecciones de un hexaedro con una cara sobre el plano y las diagonales de esta cara dispuestas de modo paralelo ya perpendicular a la línea de tierra. Se alzara con un eje de giro E contenido en el plano y perpendicular a la línea de tierra. Se gira la diagonal interior e'c’ del hexaedro hasta colocarla perpendicular al plano en las nuevas proyecciones e 1 c 1 y e 1 ’ c 1 ’. Para completar el hexaedro no interesa girar el resto de los vértices del mismo, sino construir de nuevo la proyección a partir de la diagonal por medio de las aristas e 1 ’a 1 ' y c 1 'g 1 ' y las diagonales c 1 'a 1 ’ y e 1 g 1 ' de las caras.
- B)Cuando posee una cara apoyada en el plano horizontal de proyección La cara abc contenida en el plano horizontal y su paralela dfg se proyectaran en verdadera magnitud, según dos triángulos equiláteros de lado igual a la arista y dispuestos simétricamente. Uniendo los vértices de estos dos triángulos se obtendrá la proyección horizontal. Para conseguir la cota de la cara horizontal superior se sigue un procedimiento similar a las operaciones ya citadas en el tetraedro: mediante el abatimiento de un triangulo rectángulo bh(B), cuya hipotenusa es la altura de uno de los triángulos equiláteros de las caras y el otro cateto b(B) la proyección horizontal de esta altura. El otro cateto es la altura buscada.
DODECAEDRO
Los dodecaedros estén formados por 12 pentágonos regulares, 20 vértices y 30 aristas. La posición más habitual en la que se le suele dibujar es con una cara apoyada en un plano de proyección. Esta cara y la opuesta aparecen como dos pentágonos girados 180°. Para hallar los otros diez vértices que componen el contorno aparente del dodecaedro es necesario realizar un procedimiento basado en el desabatimiento de dos caras contiguas.
- En la figura de la derecha se aprecia como tras disponer la cara 1 apoyada y las caras 2 y 3 abatidas, se han señalado las trayectorias de los vértices A y B al levantarse usando como chamela las aristas comunes con las cara 1. El punto donde se cruzan las trayectorias es la
proyección del punto espacial donde coinciden ambas caras al unirse en la arista común. Obtenido éste, los restantes estén sobre la circunferencia concéntrica con la cara apoyada. Una vez determinada la planta es necesario hallar las alturas correspondientes a la corona de diez puntos intermedia. Esta operación se realiza de modo semejante a como se hallaron las alturas en otros poliedros por medio de triángulos rectángulos de los que se conoce un cateto y la hipotenusa, siendo el otro cateto la altura buscada. En esta posición también es posible encontrar las alturas con mayor facilidad, pues corresponden a las diagonales larga y corta respectivamente de la proyección de los pentágonos laterales.
ICOSAEDRO
Los icosaedros están formados por 20 triángulos equiláteros, 12 vértices y 30 aristas. Se les suele dibujar en dos posiciones muy típicas: en equilibrio con una diagonal perpendicular a un plano de proyección o apoyados en una cara. En la primera se aprecia claramente la organización pentagonal de cinco caras en cada vértice. El contorno aparente estará formado por un decágono resultado de la pirámide superior y de la inferior girada hasta oponerse. Las aristas de las bases de estas pirámides aparecen en verdadera dimensión pues son paralelas al plano de proyección.
