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¿De cuántas maneras The
Futurists (un grupo de rock)
pueden planear su gira de
conciertos en San Francisco, Los
Ángeles, San Diego, Denver y
Las Vegas si deben hacer tres
presentaciones consecutivas
en California? En el ejemplo
13, página 425, mostraremos
cómo determinar el número de
diferentes itinerarios posibles.
A
menudo tratamos con colecciones de objetos bien
definidas llamadas conjuntos. En este capítulo se verá
cómo se combinan algebraicamente los conjuntos para producir
otros conjuntos. También estudiaremos algunas técnicas
para determinar el número de elementos en un conjunto y la
variedad de formas en que los elementos de un conjunto se
acomodan o combinan. Después de proporcionar el significado
técnico del término probabilidad , se verá cómo se aplican las
reglas de la probabilidad a muchas situaciones reales para
calcular la probabilidad de ocurrencia de ciertos eventos.
CONJUNTOS Y
PROBABILIDAD
© Unteroffizier/Dreamstime.com
396 7 CONJUNTOS Y PROBABILIDAD
7.1 Conjuntos y operaciones de conjuntos
Terminología y notación de conjuntos
Con frecuencia tratamos con colecciones de diferentes tipos de objetos. Por ejemplo, al
realizar un estudio de la distribución del peso de los recién nacidos, podríamos consi-
derar la colección de todos los bebés nacidos en el Hospital General de Massachusetts
durante 2008. En un estudio del consumo de combustible de los automóviles compactos,
podríamos estar interesados en la colección de automóviles compactos fabricados por
General Motors, modelo 2008. Estas colecciones son ejemplos de conjuntos. De manera
más específica, un conjunto es una colección bien definida de objetos. De ahí que un
conjunto no sólo es una colección de objetos cualesquiera, sino que debe estar bien
definido en el sentido de que si nos proporcionan un objeto debemos poder determinar
si éste pertenece o no a la colección.
Los objetos de un conjunto se llaman elementos , o miembros , de un conjunto , y
por lo general se denotan por medio de letras minúsculas a , b , c ,... ; los conjuntos por
sí mismos comúnmente se denotan por letras mayúsculas A , B , C ,.... Los elementos
de un conjunto pueden mostrarse mediante una lista de todos los elementos entre llaves.
Por ejemplo, al usar la notación de lista , el conjunto A, que se compone de las primeras
tres letras del alfabeto se escribe
A U a , b , c W
El conjunto B de todas las letras del alfabeto se escribe
B U a , b , c ,... , z W
Otra notación de uso común es la notación de conjuntos. Enseguida se proporciona
una regla que describe la propiedad o propiedades definitivas que un objeto x debe satis-
facer para reunir los requisitos para pertenecer al conjunto. Utilizando esta notación, el
conjunto B se escribe como
B U x | x es una letra del alfabeto}
y se lee “ B es el conjunto de todos los elementos x tales que x es una letra del alfabeto”.
Si a es un elemento de un conjunto A , se escribe a ; A y se lee “ a pertenece a A ”
o “ a es un elemento de A .” Sin embargo, si el elemento a no pertenece al conjunto A ,
entonces se escribe a m A y se lee “ a no pertenece a A ”. Por ejemplo, si A {1, 2, 3,
4, 5}, entonces 3 ; A pero 6 m A.
Explore y analice
1. Sea A la colección de todos los días de agosto de 2008 en los cuales la temperatura media diaria en el aeropuerto internacional de San Francisco fue aproximadamente de 75°F. ¿ A es un conjunto? Explique su respuesta. 2. Sea B la colección de todos los días de agosto de 2008 en los cuales la temperatura media diaria en el aeropuerto internacional de San Francisco fue de 73.5°F y 81.2°F, inclusive. ¿ B es un conjunto? Explique su respuesta.
Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos A y B son iguales , en forma escrita A B , si y sólo si tienen exac-
tamente los mismos elementos.
EJEMPLO 1 Sean A , B y C los conjuntos
A { a , e , i , o , u } B { a , i , o , e , u } C { a , e , i , o }
398 7 CONJUNTOS Y PROBABILIDAD
En contraste con el conjunto vacío tenemos, en el otro extremo, la noción de un con-
junto más grande, o universal. Un conjunto universal es el conjunto de todos los ele-
mentos de interés en un análisis particular. Es el más grande en el sentido de que todos
los conjuntos considerados en el análisis del problema son subconjuntos del conjunto
universal. Desde luego, los diferentes conjuntos universales se asocian con problemas
distintos, como muestra el ejemplo 5.
EJEMPLO 5
a. Si el problema a resolver es determinar la razón de estudiantes mujeres a estudian-
tes hombres en un colegio, entonces una opción lógica de un conjunto universal es
el conjunto que se compone de todo el cuerpo de estudiantes del colegio.
b. Si el problema es determinar la razón de estudiantes mujeres a estudiantes hombres
en el departamento de administración del colegio del inciso (a), entonces el con-
junto de todos los estudiantes en el departamento de administración puede elegirse
como conjunto universal.
La representación visual de los conjuntos se realiza mediante el uso de diagramas
de Venn , los cuales son de ayuda considerable en la comprensión de los conceptos
introducidos antes, así como en la solución de problemas que involucran conjuntos. El
conjunto universal U se representa por un rectángulo y los subconjuntos de U se repre-
sentan por regiones que están dentro del rectángulo.
EJEMPLO 6 Utilice diagramas de Venn para ilustrar los enunciados siguientes:
a. Los conjuntos A y B son iguales.
b. El conjunto A es un subconjunto propio del conjunto B.
c. Los conjuntos A y B no son subconjuntos uno del otro.
Solución Los diagramas de Venn respectivos se muestran en la figura 1a-c.
U U
A , B
U U
A B^ o A
B A
B
(c) A q B y B q A
Operaciones de conjuntos
Una vez presentado el concepto de conjunto, nuestra siguiente tarea es considerar las
operaciones con conjuntos, es decir, considerar maneras en que los conjuntos pueden
combinarse para producir otros conjuntos. Estas operaciones permiten combinar conjun-
tos de una manera muy parecida a cómo las operaciones de suma y multiplicación per-
miten combinar números para obtener otros números. De aquí en adelante, se supondrá
que todos los conjuntos son subconjuntos de un conjunto universal U dado.
(a) A B (b) A B
FIGURA 1
7.1 CONJUNTOS Y OPERACIONES DE CONJUNTOS 399
La porción sombreada del diagrama de Venn (figura 2) representa el conjunto A B.
EJEMPLO 7 Si A { a , b , c } y B { a , c , d }, entonces A B { a , b , c , d }.
Intersección de conjuntos
Sean A y B conjuntos. El conjunto de elementos comunes a los conjuntos A y B ,
que se escribe A B , se llama intersección de A y B.
A w B H x | x ; A y x ; B J
La porción sombreada del diagrama de Venn (figura 3) representa el conjunto A B.
EJEMPLO 8 Sean A { a , b , c } y B { a , c , d }. Por tanto A B { a , c }. (Com-
pare este resultado con el ejemplo 7.)
EJEMPLO 9 Sean A {1, 3, 5, 7, 9} y B {2, 4, 6, 8, 10}. Por tanto A B ;.
Los dos conjuntos del ejemplo 9 tienen una intersección vacía, o nula. En general, se
dice que los conjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos en común, es decir,
si A B ;.
EJEMPLO 10 Sea U el conjunto de todos los estudiantes en el aula. Si M { x ; U |
x es hombre) y F { x ; U | x es mujer}, entonces F M ; y por ende F y M son
disjuntos.
Complemento de un conjunto
Si U es un conjunto universal y A es un subconjunto de U , entonces el conjunto de
todos los elementos de U que no están en A se llama complemento de A y se de-
nota por Ac.
Ac^ H x | x ; U y x m A J
La porción sombreada del diagrama de Venn (figura 4) muestra el conjunto Ac.
EJEMPLO 11 Sean U {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y A {2, 4, 6, 8, 10}. Por
tanto Ac^ {1, 3, 5, 7, 9}.
Explore y analice Sean A , B y C subconjuntos no vacíos de un conjunto U.
1. Suponga que A B p ;, A C p ; y B C p ;. ¿Puede usted concluir que A B C p ;? Explique su respuesta con un ejemplo. 2. Suponga que A B C p ;. ¿Puede concluir que A B p ;, A C p ; y B C p ;? Explique su respuesta.
Unión de conjuntos
Sean A y B conjuntos. La unión de A y B , que se escribe A B , es el conjunto de
todos los elementos que pertenecen, ya sea a A , a B o a ambos.
A B H x | x ; A o x ; B o a ambos}
U
U
A B
FIGURA 2 Unión de conjuntos A B.
A B
U
FIGURA 3 Intersección de conjuntos A B.
A Ac
U
FIGURA 4 Complemento de conjuntos.
7.1 CONJUNTOS Y OPERACIONES DE CONJUNTOS 401
FIGURA 6 Ac^ Bc^ es el conjunto obtenido al unir (a) y (b).
EJEMPLO 13 Sean U {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A {1, 2, 4, 8, 9) y B {3,
4, 5, 6, 8}. Verifique por cálculo directo que ( A B ) c^ Ac^ Bc.
Solución A B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}, por tanto ( A B ) c^ {7, 10}. Además,
Ac^ {3, 5, 6, 7, 10} y Bc^ {1, 2, 7, 9, 10}, de ahí que Ac^ Bc^ {7, 10}.
A continuación se presenta el resultado requerido.
EJEMPLO DE APLICACIÓN 14 Opciones de automóviles Sean U el
conjunto de todos los automóviles en el lote de un vendedor y
A U x ; U x está equipado con transmisión automática}
B U x ; U x está equipado con aire acondicionado}
C U x ; U x está equipado con bolsas de aire laterales}
Encuentre una expresión en función de A , B y C para cada uno de los conjuntos
siguientes:
a. El conjunto de automóviles con al menos una de las opciones dadas
b. El conjunto de automóviles con exactamente una de las opciones dadas
c. El conjunto de automóviles con transmisión automática y bolsas de aire laterales,
pero sin aire acondicionado
Solución
a. El conjunto de automóviles con al menos una de las opciones dadas es A B
C (fig ura 7a).
b. El conjunto de automóviles con transmisión automática está dado únicamente
por A Bc^ Cc. De manera similar, encontramos que el conjunto de automóvi-
les con aire acondicionado está dado sólo por B Cc^ Ac , mientras el conjunto
de automóviles con bolsas de aire laterales está dado únicamente por C Ac^
Bc. Por tanto, el conjunto de automóviles con exactamente una de las opciones
dadas es ( A BC^ Cc ) ( B Cc^ AC ) ( C AC^ BC ) (figura 7b).
c. El conjunto de automóviles con transmisión automática y bolsas de aire laterales,
pero sin aire acondicionado, está dado por A C Bc^ (figura 7c).
A
U
B
Bc
U
Ac
(a) (b)
U U
C
B A
U
C
A B A
C
B
(a) El conjunto de automóviles con (b) El conjunto de automóviles con (c) El conjunto de automóviles con al menos una opción exactamente una opción transmisión automática y bolsas de aire laterales pero sin aire acondicio- nado FIGURA 7
402 7 CONJUNTOS Y PROBABILIDAD
En los ejercicios 1-4 escriba el conjunto en notación de conjuntos.
1. El conjunto de medallistas de oro en los Juegos Olímpicos de Invierno de 2010 2. El conjunto de equipos de futbol americano en la NFL 3. {3, 4, 5, 6, 7} 4. {1, 3, 5, 7, 9, 11,... , 39}
En los ejercicios 5-8 haga una lista de los elementos del conjunto en notación de lista.
5. { x | x es un dígito del número 352,646} 6. { x | x es una letra de la palabra HIPOPÓTAMO } 7. { x | 2 x 4 y x es un entero} 8. { x | 2 x 4 y x es una fracción}
En los ejercicios 9-14 establezca si los enunciados son verdaderos o falsos.
9. a. U a , b , c W U c , a , b W b. A ; A 10. a. ; ; A b. A A 11. a. 0 ; ; b. 0 ; 12. a. U;W ; b. U a , b W ; U a , b , c W 13. {Chevrolet, Pontiac, Buick} U x x es una división de General Motors} 14. U x x es un medallista de plata en los Juegos Olímpicos de Invierno de 2010} ; 1. Sean U U1, 2, 3, 4, 5, 6, 7W, A U1, 2, 3W, B U3, 4, 5, 6W y C U2, 3, 4W. Encuentre los conjuntos siguientes: a. Ac^ b. A B c. B C d. ( A B ) C e. ( A B ) C f. Ac^ ( B C ) c 2. Sea U el conjunto de todos los miembros de la Cámara de Representantes. Sean
D U x ; U x es demócrataW R U x ; U x es republicanoW
F U x ; U x es mujerW L U x ; U x es abogado de profesiónW
Describa cada uno de los conjuntos siguientes con palabras. a. D F b. Fc^ R c. D F Lc
Las soluciones de los ejercicios de autoevaluación 7.1 pueden encontrarse en la página 405.
7.1 Ejercicios de autoevaluación
1. a. ¿Qué es un conjunto? Proporcione un ejemplo. b. ¿Cuándo son iguales dos conjuntos? Dé un ejemplo de dos conjuntos iguales. c. ¿Qué es el conjunto vacío? 2. ¿Qué puede decir acerca de dos conjuntos A y B tales que a. A B A b. A B ; c. A B B d. A B ; 3. a. Si A B , ¿qué puede decir acerca de la relación entre Ac y Bc? b. Si Ac^ ;, ¿qué puede decir acerca de A?
7.1 Preguntas de concepto
7.1 Ejercicios
En los ejercicios 15 y 16, A {1, 2, 3, 4, 5}. Determine si los enunciados son verdaderos o falsos.
15. a. 2 ; A b. A U2, 4, 6W 16. a. 0 ; A b. U1, 3, 5W ; A 17. A {1, 2, 3}. ¿Cuál de los conjuntos siguientes es igual a A? a. U2, 1, 3W b. U3, 2, 1W c. U0, 1, 2, 3W 18. A { a , e , l , t , r }. ¿Cuál de los conjuntos siguientes es igual a A? a. U x x es una letra de la palabra later } b. U x x es una letra de la palabra latter } c. U x x es una letra de la palabra relate } 19. Haga una lista de todos los subconjuntos de los conjuntos siguientes: a. U1, 2W b. U1, 2, 3W c. U1, 2, 3, 4W 20. Haga una lista de todos los subconjuntos del conjunto A {IBM, U.S. Steel, Union Carbide, Boeing}. ¿Cuáles de éstos son subconjuntos propios de A?
En los ejercicios 21-24 encuentre el conjunto más pequeño posible (es decir, el conjunto con el menor número de elementos) que contenga como subconjuntos los conjun- tos dados.
21. U1, 2W, U1, 3, 4W, U4, 6, 8, 10W 22. U1, 2, 4W, U a , b W 23. UJill, John, JackW, USusan, SharonW 24. UGM, Ford, ChryslerW, UDaimler-Benz, VolkswagenW, UTo- yota, NissanW
404 7 CONJUNTOS Y PROBABILIDAD
En los ejercicios 49 y 50, U es el conjunto de todos los estudiantes de cierta universidad. Sean
A { x 1 U V x habían tomado un curso de contabilidad}
B { x 1 U V x habían tomado un curso de economía}
C { x 1 U V x habían tomado un curso de marketing}
Escriba el conjunto que representa cada enunciado.
49. a. El conjunto de estudiantes que no han tomado un curso de economía b. El conjunto de estudiantes que han tomado cursos de contabilidad y de economía c. El conjunto de estudiantes que han tomado cursos de contabilidad y economía pero no de marketing 50. a. El conjunto de estudiantes que han tomado cursos de economía pero no cursos de contabilidad o marketing b. El conjunto de estudiantes que han tomado como mínimo uno de los tres cursos c. El conjunto de estudiantes que han tomado los tres cursos
En los ejercicios 51 y 52, remítase al diagrama siguien- te, donde U es el conjunto de todos los turistas encues- tados durante un periodo de una semana en Londres y donde
A { x 1 U V x ha tomado el tren subterráneo [metro]}
B { x 1 U V x ha tomado un taxi}
C { x 1 U V x ha tomado un autobús}
U
C
A B
7 3 6 1 4 2
5
8
Expresa las regiones indicadas en notación de conjuntos y con palabras.
51. a. Región 1 b. Regiones 1 y 4 juntas c. Regiones 4, 5, 7 y 8 juntas 52. a. Región 3 b. Regiones 4 y 6 juntas c. Regiones 5, 6 y 7 juntas
En los ejercicios 53-58, utilice diagramas de Venn para ilustrar cada enunciado.
53. A A B ; B A B 54. A B A ; A B B 55. A ( B C ) ( A B ) C 56. A ( B C ) ( A B ) C
57. A ( B C ) ( A B ) ( A C )
58. ( A B ) c^ Ac^ Bc
En los ejercicios 59 y 60, sean
U (^) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A (^) {1, 3, 5, 7, 9} B (^) {1, 2, 4, 7, 8} C (^) {2, 4, 6, 8}
Verifique cada ecuación por cálculo directo.
59. a. A ( B C ) ( A B ) C b. A ( B C ) ( A B ) C 60. a. A ( B C ) ( A B ) ( A C ) b. ( A B ) c^ Ac^ Bc
En los ejercicios 61-64, remítase a la figura siguiente y haga una lista de los puntos que pertenecen a cada conjunto.
U
C
t B^ A^ s x w
r
z
u z
y
61. a. A B b. A B 62. a. A ( B C ) b. ( B C ) c 63. a. ( B C ) c^ b. Ac 64. a. ( A B ) Cc^ b. ( A B C ) c 65. Suponga que A B y B C , donde A y B son dos conjuntos cualesquiera. ¿Qué conclusión puede formularse con respecto a los conjuntos A y C? 66. Verifique la afirmación de que dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si (1) A B y (2) B A.
En los ejercicios 67-72 determine si el enunciado es ver- dadero o falso. Si es verdadero, explique por qué lo es. Si es falso, dé un ejemplo para mostrar por qué lo es.
67. Un conjunto nunca es un subconjunto de sí mismo.
68 Un subconjunto propio de un conjunto es él mismo, un sub- conjunto del conjunto, pero no necesariamente a la inversa.
69. Si A B ;, entonces A ; y B ;. 70. Si A B ;, entonces ya sea A ; o B ;. 71. ( A Ac ) ; 72. Si A B , entonces A B A.
7.2 EL NÚMERO DE ELEMENTOS EN UN CONJUNTO FINITO 405
7.2 El número de elementos en un conjunto finito
Conteo de elementos en un conjunto
La solución a algunos problemas de matemáticas exige encontrar el número de ele-
mentos en un conjunto. Este tipo de problemas se llaman problemas de conteo y
constituyen un campo de estudio conocido como combinatoria. Nuestro estudio de
la combinatoria está restringido a los resultados que se requerirán para nuestro trabajo
sobre probabilidad más adelante.
El número de elementos en un conjunto finito se determina sencillamente al contar
los elementos del conjunto. Si A es un conjunto, entonces n ( A ) denota el número de
elementos en A. Por ejemplo, si
A U1, 2, 3,... , 20W B U a , b W C U 8 W
entonces n ( A ) 20, n ( B ) 2 y n ( C ) 1.
El conjunto vacío no contiene elementos, de manera que n (;) 0. Otro resultado
que se ve verdadero con facilidad es el siguiente: si A y B son conjuntos disjuntos,
entonces
n ( A B ) n ( A ) n ( B ) (3)
EJEMPLO 1 Si A { a , c , d } y B { b , e , f , g }, entonces n ( A ) 3 y n ( B ) 4, por
lo que n ( A ) n ( B ) 7. Además, A B { a , b , c , d , e , f , g } y n ( A B ) 7. De ahí
que la ecuación (3) sea verdadera en este caso. Observe que A B ;.
En el caso general, A y B no necesitan ser disjuntos, lo cual nos lleva a la fórmula
n ( A v B ) n ( A ) n ( B ) n ( A w B ) (^) (4)
7.1 Soluciones de los ejercicios de autoevaluación
1. a. Ac^ es el conjunto de todos los elementos que están en U pero no en A. Por tanto, Ac^ U4, 5, 6, 7W
b. A B se compone de todos los elementos de A y/o de B. Por tanto, A B U1, 2, 3, 4, 5, 6W
c. B C es el conjunto de todos los elementos tanto en B como en C. Por tanto, B C U3, 4W
d. Utilizando el resultado del inciso (b), encontramos que ( A B ) C U1, 2, 3, 4, 5, 6W U2, 3, 4W U2, 3, 4W
e. Primero calculamos A B U 3 W Luego, como ( A B ) C es el conjunto de todos los elementos en ( A B ) y/o C , concluimos que ( A B ) C U 3 W U2, 3, 4W U2, 3, 4W
f. Del inciso (a), tenemos que Ac^ {4, 5, 6, 7}. Luego, calculamos B C U3, 4, 5, 6W U2, 3, 4W U2, 3, 4, 5, 6W A partir de lo cual deducimos que
( B C ) c^ U1, 7W
Por último, utilizando estos resultados obtenemos que Ac^ ( B C ) c^ U4, 5, 6, 7W U1, 7W U 7 W
2. a. D F denota el conjunto de todos los elementos tanto en D como en F. Dado que un elemento en D es un demó- crata y un elemento en F es una representante del sexo femenino, vemos que D F es el conjunto de todos los demócratas mujeres en la Cámara de Representantes. b. Como Fc^ es el conjunto de representantes mujeres y R es el conjunto de republicanos, se deduce que Fc^ R es el conjunto de republicanos hombres en la Cámara de Representantes. c. Lc^ es el conjunto de representantes que no son abogados por ejercicio. Por consiguiente, D F Lc^ es el con- junto de representantes demócratas mujeres que no son abogadas de formación.
El conjunto de elementos que están en U pero no están en B C
7.2 EL NÚMERO DE ELEMENTOS EN UN CONJUNTO FINITO 407
Con todo lo útil que son las ecuaciones como la (5), en la práctica a menudo es más
fácil atacar un problema directamente con la ayuda de los diagramas de Venn, como
muestra el ejemplo siguiente.
EJEMPLO DE APLICACIÓN 4 Estudios de marketing Un fabricante
líder de cosméticos anuncia sus productos en tres revistas: Allure , Cosmopoli-
tan y Ladies Home Journal. Una encuesta aplicada por el fabricante a 500
clientes revela la siguiente información:
180 se enteraron de sus productos por Allure.
200 se enteraron de sus productos por Cosmopolitan.
192 se enteraron de sus productos por Ladies Home Journal.
84 se enteraron de sus productos por Allure y Cosmopolitan.
52 se enteraron de sus productos por Allure y Ladies Home Journal.
64 se enteraron de sus productos por Cosmopolitan y Ladies Home Journal.
38 se enteraron de sus productos por las tres revistas.
¿Cuántos de los clientes vieron el anuncio del fabricante en
a. por lo menos una revista?
b. exactamente una revista?
Solución Sea U el conjunto de todos los clientes encuestados y sean
A U x ; U x los clientes que se enteraron de los productos por Allure W C U x ; U x los clientes que se enteraron de los productos por Cosmopolitan W L U x ; U x los clientes que se enteraron de los productos por Ladies Home Journal W
El resultado de que 38 clientes se enteraron de los productos por las tres revistas se
traduce a n ( A C L ) 38 (figura 9a). A continuación, el resultado de que 64
se enteraron de los productos por Cosmopolitan y Ladies Home Journal se traduce
a n ( C L ) 64. Esto deja
clientes que se enteraron de los productos sólo por Cosmopolitan y Ladies Home
Jour nal (figura 9b). De modo parecido, n ( A L ) 52, de manera que
clientes se enteraron de los productos sólo por Allure y Ladies Home Journal , y
n ( A C ) 84, por tanto
se enteraron de los productos sólo por Allure y Cosmopolitan. Estos números apare-
cen en las regiones apropiadas de la figura 9b.
U
L
A C
U
L
A (^) C 38 14
46 38 26
(a) Las tres revistas (b) Dos o más revistas
Continuando, tenemos n ( L ) 192, de modo que el número de clientes que se
enteró de los productos sólo por Ladies Home Journal está dado por
FIGURA 9
408 7 CONJUNTOS Y PROBABILIDAD
(figura 10). Asimismo, n ( C ) 200, por tanto
clientes se enteraron de los productos sólo por Cosmopolitan y n ( A ) 180, de modo
que
se enteraron de los producto sólo por Allure. Finalmente,
se enteraron de los productos por otras fuentes.
Ahora podemos responder las preguntas (a) y (b).
a. Al remitirnos a la figura 10, vemos que el número de clientes que se enteró de los
productos por al menos una revista está dado por
n ( A C L ) 500 90 410
b. El número de clientes que se enteró de los productos por exactamente una revista
(figura 11) está dado por
n ( L Ac^ Cc ) n ( C Ac^ Lc ) n ( A Lc^ Cc ) 114 90 82 286
U
L
A (^) 82 90 C
114
U
L
A
90
82^ C 14 114
26
38
46 90
FIGURA 10 El diagrama de Venn completo.
FIGURA 11 Exactamente una revista.
7.2 Ejercicios de autoevaluación
7.2 Preguntas de concepto
7.2 Ejercicios
1. Sean A y B subconjuntos de un conjunto universal U y suponga que n ( U ) 100, n ( A ) 60, n ( B ) 40 y n ( A B ) 20. Calcule: a. n ( A B ) b. n ( A Bc ) c. n ( Ac^ B ) 2. En una encuesta de 1000 lectores de la revista Video Maga- zine , se encontró que 166 tenían por lo menos un reproductor HD en formato HD-DVD, 161 tenían por lo menos un repro-
ductor HD en formato Blu-ray y 22 tenían reproductores HD en ambos formatos. ¿Cuántos de los lectores encuestados tienen un reproductor HD sólo en formato HD-DVD? ¿Cuán- tos de los lectores encuestados no tienen reproductor HD en ningún formato?
Las soluciones de los ejercicios de autoevaluación 7.2 pueden encontrarse en la página 411.
1. a. Si A y B son conjuntos con A B ;, ¿qué puede decir acerca de n ( A ) n ( B )? Explique su respuesta. b. Si A y B son conjuntos que satisfacen n ( A B ) p n ( A ) n ( B ), ¿qué puede decir acerca de A B? Explique su respuesta. 2. Sean A y B subconjuntos de U , el conjunto universal y suponga que A B ;. ¿Es cierto que n ( A ) n ( B ) n ( Bc ) n ( Ac )? Explique su respuesta.
En los ejercicios 1 y 2 verifique la ecuación
n ( A B ) n ( A ) n ( B )
para los conjuntos disjuntos dados.
1. A U a , e , i , o , u W y B UJ, h , k , l , m W 2. A U x x es un número entero entre 0 y 4W B U x x es un entero negativo mayor que 4 W 3. Sea A U2, 4, 6, 8W y B U6, 7, 8, 9, 10W. Calcule: a. n ( A ) b. n ( B ) c. n ( A B ) d. n ( A B )
410 7 CONJUNTOS Y PROBABILIDAD
29. ESTUDIOS ECONÓMICOS Un estudio de las opiniones de 10 eco- nomistas destacados en cierto país mostraron que, debido a que se esperaba que los precios del petróleo cayeran en ese país durante los 12 meses siguientes, 7 redujeron su estimación del índice de precios al consumidor. 8 aumentaron su estimación del índice de crecimiento del producto interno bruto (PIB). 2 redujeron su estimación del índice de precios al consu- midor, pero no aumentaron su estimación de la tasa de crecimiento del PIB. ¿Cuántos economistas optaron por las dos cosas, tanto reducir su estimación del índice de precios al consumidor como aumentar su estimación de la tasa de crecimiento del PIB para ese periodo? 30. TASA DE DESERCIÓN DE LOS ESTUDIOS Los datos publicados por el Departamento de Educación referentes a la tasa (por- centaje) de estudiantes de noveno grado que no se gradúan mostraron que, de 50 estados, 12 estados mostraron un incremento en la tasa de deserción de los estudios durante el segundo año. 15 estados presentaron una tasa de deserción de los estudios de como mínimo 30% durante el segundo año anterior. 21 estados mostraron un incremento en la tasa de deserción de los estudios y/o al menos 30% durante el segundo año anterior. a. ¿Cuántos estados mostraron tanto una tasa de deserción de los estudios de como mínimo 30% y un incremento en la tasa de deserción durante el periodo del segundo año? b. ¿Cuántos estados mostraron una tasa de deserción de los estudios menor de 30%, pero que aumentó durante el periodo del segundo año? 31. HÁBITOS DE LECTURA DE LOS ESTUDIANTES Una encuesta apli- cada a 100 estudiantes universitarios que frecuentan la sala de lectura de una universidad reveló los resultados siguientes:
40 leen la revista Time. 30 leen la revista Newsweek. 25 leen la revista U. S. News & World Report. 15 leen las revistas Time y Newsweek. 12 leen Time y U. S. News & World Report. 10 leen Newsweek y U. S. News & World Report. 4 leen las tres revistas.
¿Cuántos de los estudiantes encuestados leen a. por lo menos una de estas revistas? b. exactamente una de estas revistas? c. exactamente dos de estas revistas? d. ninguna de estas revistas?
32. CALIFICACIONES DE LA PRUEBA SAT Los resultados de la en- cuesta del Departamento de Educación de las calificaciones de la prueba SAT en 22 estados mostraron que
10 estados tuvieron una calificación SAT media compuesta de como mínimo 1000 durante el tercer año pasado. 15 estados tuvieron un incremento de por lo menos 10 pun- tos en la calificación SAT media compuesta durante el tercer año pasado.
8 estados tuvieron tanto una calificación SAT media compuesta de mínimo 1000 y un incremento en la califi- cación SAT media compuesta de por lo menos 10 puntos durante el tercer año pasado. a. ¿Cuántos de los 22 estados tuvieron una calificación SAT media compuesta de menos de 1000 y mostraron un incremento de por lo menos 10 puntos durante el periodo de tercer año? b. ¿Cuántos de los 22 estados tuvieron calificaciones SAT compuestas de como mínimo 1000 y no mostraron un incremento de por lo menos 10 puntos durante el periodo de tercer año?
33. ESTUDIOS DEL CONSUMIDOR A los 120 consumidores del ejer- cicio 19 también se les preguntó sobre sus preferencias de compra respecto a otro producto que se vende en el mercado bajo tres etiquetas. Los resultados fueron los siguientes 12 compran sólo aquellos que se venden con la etiqueta A. 25 compran sólo aquellos que se venden con la etiqueta B. 26 compran sólo aquellos que se venden con la etiqueta C. 15 compran sólo aquellos que se venden con las etiquetas A y B. 10 compran sólo aquellos que se venden con las etiquetas A y C. 12 compran sólo aquellos que se venden con las etiquetas B y C. 8 compran el producto vendido con las tres etiquetas. ¿Cuántos de los consumidores encuestados compran el pro- ducto vendido a. por lo menos con una de las tres etiquetas? b. con las etiquetas A y B pero no con C? c. la etiqueta A? d. ninguna de estas etiquetas? 34. ENCUESTAS ESTUDIANTILES Para ayudar a planear el número de comidas (desayuno, comida y cena) que se van a preparar en la cafetería de una universidad, se realizó una encuesta y se obtuvieron los datos siguientes: 130 estudiantes desayunan. 180 estudiantes comen. 275 estudiantes cenan. 68 estudiantes desayunan y comen. 112 estudiantes desayunan y cenan. 90 estudiantes comen y cenan. 58 estudiantes comen las tres comidas. ¿Cuántos de los estudiantes comen a. por lo menos una comida en la cafetería? b. exactamente una comida en la cafetería? c. sólo cenan en la cafetería? d. exactamente dos comidas en la cafetería? 35. INVERSIONES En una encuesta aplicada a 200 empleados de una empresa con respecto a sus inversiones en el plan de retiro 401(k), se obtuvieron los datos siguientes: 141 tenían inversiones en fondos de acciones. 91 tenían inversiones en fondos de bonos. 60 tenían inversiones en fondos del mercado de dinero.
7.3 EL PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN 411
47 tenían inversiones en fondos de acciones y fondos de bonos. 36 tenían inversiones en fondos de acciones y fondos del mer- cado de dinero. 36 tenían inversiones en fondos de bonos y fondos del mercado de dinero. 5 tenían inversiones sólo en algún otro instrumento. a. ¿Cuántos de los empleados encuestados tenían inversio- nes en los tres tipos de fondos? b. ¿Cuántos de los empleados tenían inversiones sólo en fondos de acciones?
36. SUSCRIPCIONES A UN PERIÓDICO En una encuesta de 300 inver- sionistas individuales respecto a suscripciones al New York Times ( NYT ), Wall Street Journal ( WSJ ) y USA Today ( UST ), se obtuvieron los datos siguientes: 122 están suscritos al NYT. 150 están suscritos al WSJ. 62 están suscritos al UST. 38 están suscritos al NYT y WSJ. 20 están suscritos al NYT y UST.
28 están suscritos al WSJ y UST. 36 no están suscritos a ninguno de estos periódicos. a. ¿Cuántos de los inversionistas individuales encuestados están suscritos a los tres periódicos? b. ¿Cuántos están suscritos sólo a uno de estos periódicos?
En los ejercicios 37-40 determine si el enunciado es ver- dadero o falso. Si es verdadero, explique por qué lo es. Si es falso, dé un ejemplo para mostrar por qué lo es.
37. Si A B p ;, entonces n ( A B ) p n ( A ) n ( B ). 38. Si A B , entonces n ( B ) n ( A ) n ( Ac^ B ). 39. Si n ( A B ) n ( A ) n ( B ), entonces A B ;. 40. Si n ( A B ) 0, entonces A ;. 41. Derive la ecuación (5). Sugerencia: La ecuación (4) puede escribirse como n ( D E ) n ( D ) n ( E ) n ( D E ). Ahora, haga D A B y E C. Utilice de nuevo la ecuación (4) si es necesario. 42. Encuentre condiciones sobre los conjuntos A , B y C de modo que n ( A B C ) n ( A ) n ( B ) n ( C ). 1. Use la información dada para construir el diagrama de Venn siguiente:
A
U B
40 20 20
20
Usando este diagrama vemos que a. n ( A B ) 40 20 20 80 b. n ( A Bc ) 40 c. n ( Ac^ B ) 20
2. Sea U el conjunto de todos los lectores encuestados y sean
A { x ; U | x tiene por lo menos un reproductor HD en formato HD-DVD) B { x ; U | x tiene por lo menos un reproductor HD en formato Blu-ray)
Por tanto, el hecho de que 22 de los lectores tengan tanto repro- ductores HD en ambos formatos significa que n ( A B ) 22. Además, n ( A ) 166 y n ( B ) 161. Utilizando esta información obtenemos el diagrama de Venn siguiente:
A
U B
139
695
144 22
A partir del diagrama de Venn, vemos que el número de lectores que tiene un reproductor HD sólo en formato HD- DVD está dado por
n ( A Bc ) 144
El número de lectores que no tiene un reproductor HD en ningún formato está dado por
n ( Ac^ Bc ) 695
7.2 Soluciones de los ejercicios de autoevaluación
7.3 El principio de multiplicación
El principio fundamental del conteo
La solución de ciertos problemas requiere técnicas de conteo más complejas que aquellas
desarrolladas en la sección anterior. Veremos algunas de ellas en ésta y en la siguiente
sección. Comenzamos al establecer el principio fundamental de conteo llamado prin-
cipio de multiplicación.
7.3 EL PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN 413
EJEMPLO DE APLICACIÓN 2 Opciones de menú Para las cenas en
Angelo’s Spaghetti Bar usted pueden seleccionar su entrada entre 6 opciones
de pasta y 28 tipos de salsa. ¿Cuántas combinaciones hay que consten de 1
opción de pasa y 1 tipo de salsa?
Solución Hay 6 maneras de elegir una pasta seguida por 28 maneras de elegir
una salsa, por lo que según el principio de multiplicación, hay 6 (^) 28, o 168,
combinaciones de platos de pasta.
El principio de multiplicación puede ampliarse fácilmente, lo cual conduce al principio
generalizado de la multiplicación.
PORTAFOLIO
Al trabajar como detective en la división de delitos informáticos de la oficina del sherif del condado de Maricopa, encontré que las técnicas matemáticas aplicadas juegan un papel significativo en mi trabajo cuando busco evidencia contenida en los dis- cos duros de las computadoras y otras formas de medios. Para obtener evidencia, se me pide tener un conocimiento básico de ciertas habilidades de matemáticas aplicadas, de modo que pueda comunicarme de manera eficiente con el analista informático forense, quien decodifica la evidencia. Para realizar una investigación eficaz, también se me pide comprender estos datos en una amplia variedad de for- matos. Con esta información puedo trabajar con el analista para reconstruir los datos que pueden jugar un papel signi- ficativo en la determinación de los hechos que ocurrieron relacionados con un delito. Durante el curso de una investigación, tengo que estu- diar datos no sólo en texto sino también en código. Utili- zando este modo de ver, el analista puede descifrar diferen- tes tipos de archivos y posible evidencia en un espacio no asignado en todo el disco duro. Este espacio no asignado puede contener archivos borrados que pueden contener evidencia potencial. El analista también tiene que decodifi-
car archivos a mano y reconocer patrones entre los archi- vos se vuelve muy importante. A partir de aquí, podemos derivar un algoritmo para definir esos patrones. Al producir un algoritmo, se vuelve posible escribir un programa que decodifique los archivos. Por ejemplo, hubo un caso que involucraba a un sospe- choso que estaba recibiendo archivos a través de un servi- dor de correo. Este sospechoso abría entonces los archivos y eliminaba el correo electrónico. Los miembros de mi laboratorio de informática forense y yo veíamos estos archi- vos en su código original para tratar de descubrir patrones o incongruencias en el código con el fin de encontrar una solución al problema. Encontramos una pista enterrada den- tro del código. Luego derivamos un algoritmo que definía su patrón. Al introducir el algoritmo, pudimos por fin extraer los archivos a partir de los datos codificados. Aunque no tengo una formación sólida en informática, o incluso en matemáticas, mi conocimiento de las matemáticas aplicadas me ayuda a comprender los procedimientos involucrados en la obtención de pruebas. Lo mejor de todo es que soy capaz de transmitir con claridad mis necesidades a los analistas forenses de mi departamento.
Stephanie Molina
PUESTO Detective de delitos informáticos INSTITUCIÓN Oficina del sherif del condado de Maricopa
© Beaconstox/Alamy
Explore y analice Una manera de evaluar el desempeño de una línea aérea es registrar los tiempos de llegada de sus vuelos. Suponga que denotamos con E , O y L un vuelo que llega antes de la hora programada, uno que llega a tiempo y uno que llega después.
1. Utilice un diagrama de árbol para exhibir los resultados posibles cuando registre dos vuelos sucesivos de la línea aérea. ¿Cuántos resultados hay? 2. ¿Cuántos resultados hay si usted registra tres vuelos sucesivos? Justifique su respuesta.
414 7 CONJUNTOS Y PROBABILIDAD
Ahora ilustramos la aplicación del principio generalizado de la multiplicación a
varias situaciones.
EJEMPLO 3 Una moneda es lanzada 3 veces y la secuencia de caras y cruces se registra.
a. Utilice el principio generalizado de la multiplicación para determinar el número de
resultados posibles de esta actividad.
b. Muestre todas las secuencias mediante un diagrama de árbol.
Solución
a. La moneda puede caer de dos maneras. Por consiguiente, en tres lanzamientos el
número de resultados (secuencias) está dado por 2 (^) 2 2, u 8.
b. Sean H y T los resultados de “cara” y “cruz”, respectivamente. Por tanto las
secuencias requeridas pueden obtenerse como se muestra en la figura 14, dando la
secuencia HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH y TTT.
Primer lanzamiento H
T
Resultados combinados
H
T
Segundo lanzamiento
H
T
H
T
Tercer lanzamiento
H T H T H T
(H, H, H)
(H, H, T) (H, T, H)
(H, T, T) (T, H, H)
(T, H, T) (T, T, H)
(T, T, T)
EJEMPLO DE APLICACIÓN 4 Candado con combinación Un can-
dado con combinación se cierra al marcar una secuencia de números: primero
a la izquierda, luego a la derecha y después de nuevo a la izquierda. Si hay
10 dígitos en el disco, determine el número de combinaciones posibles.
Solución Hay 10 opciones para el primer número, seguidas por 10 para el
segundo y 10 para el tercero, así que por el principio generalizado de la multiplica-
ción hay 10 (^) 10 10, o 1000, combinaciones posibles.
EJEMPLO DE APLICACIÓN 5 Opciones de inversión Un inversioni-
sta ha decidido comprar acciones de tres empresas: una dedicada a activi-
dades aeroespaciales, otra dedicada al desarrollo de la energía y otra más que
se dedica a la electrónica. Después de hacer un poco de investigación, el ejecutivo
de cuenta de una firma de corretaje ha recomendado al inversionista que considere
acciones de cinco empresas aeroespaciales, tres empresas de desarrollo de energía y
Principio generalizado de la multiplicación
Suponga que una tarea T 1 puede realizarse de N 1 maneras, una tarea T 2 puede
realizarse de N 2 maneras,... , y, por último, una tarea Tm puede realizarse de Nm
maneras. Por tanto, el número de maneras de realizar las tareas T 1 , T 2 ,... , Tm en
sucesión está dado por el producto.
N 1 N 2 Nm
FIGURA 14 Diagrama de árbol que muestra los resultados posibles de tres lanzamientos de moneda consecutivos.
