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Matem´aticas Curso 2016-2017.
Primero de Biolog´ıa.
Comentarios sobre los determinantes.
En otro de los documentos del curso se coment´o la definici´on de determinante de una matriz cuadrada. En esa ocasi´on, se defini´o esta operaci´on mediante un desarrollo a partir de la primera fila, que en cada paso reduc´ıa el problema de calcular un determinante de orden N al de calcular N determinantes de orden N − 1. Por supuesto, cuando N es grande esto supone hacer una cantidad enorme de operaciones. El proceso se puede simplificar si combinamos las ideas que vimos al estudiar el m´etodo de Gauss, con las propiedades de los determinantes respecto a lo que llam´abamos operaciones admisibles. Propiedades b´asicas
- Es equivalente hacer un desarrollo por filas o por columnas.
- Si cambiamos de orden dos filas (o columnas) CONSECUTIVAS, el resultado del determinante cambia de signo.
- Si multiplicamos una fila (o columna) por un n´umero K, el valor del determinante se multiplica por K.
- Si sumamos dos filas (o dos columnas), el valor del determinante no cambia.
Combinando estas propiedades junto con el m´etodo de Gauss, podemos reducir el c´alculo del determinante al de un caso equivalente especialmente sencillo. Por ejemplo, en di- mensi´on 3 ser´ıa:
de manera que desarrollando por la primera columna el problema se reduce al c´alculo de un determinante de orden 2, y adem´as con un cero. Puede comprobarse f´acilmente que el valor del determinante para una matriz de esa forma resulta ser simplemente el producto de los t´erminos de la diagonal. Ejemplo. Consideramos el determinante:
D = det
y hacemos las siguientes operaciones: Paso 1. Multiplicar la tercera fila por −1 (por tanto, el valor del determinante cambia de signo)
det
= −D
Paso 2. Sumar la primera fila a la tercera. El determinante no cambia con respecto al paso anterior.
det
=^ −D
Paso 3. Multiplicamos la fila 1 por −3. El valor del determinante en el paso anterior queda multiplicado por −3.
det
= 3D
Paso 4. Sumamos la fila primera a la segunda. No cambiamos el valor con respecto al paso anterior.
det
= 3D
Paso 5. Multiplicamos la fila 3 por −7. Tenemos que multiplicar el valor del determinate por − 7
det
=^ −^21 D
Paso 6. Sumamos la fila segunda a la tercera. No cambiamos nada.
det
= − 21 D
Conclusi´on: (−3) × (−7) × (−16) = − 21 D
de manera que, despejando: D = 16.
Comentarios sobre las potencias de matrices. Como ya vimos anteriormente, el calcular potencias altas de una matriz cuadrada es un problema que exige gran cantidad de c´alculos, salvo en dos casos particularmente simples: el de las matrices diagonales y el de las matrices nilpotentes. Hay un teorema fundamental en la teor´ıa de matrices, que dice que en muchas ocasiones (en particular, en todos los casos que nos van a aparecer con las matrices de Leslie), se tiene el siguiente resultado:
Si necesitamos que los autovectores est´en normalizados, tomaremos los valores de u, v que hagan que las sumas de las coordenadas valgan 1; en este caso no necesitamos la normalizaci´on, por lo que elegimos valores que nos den una expresi´on m´as sencilla, u = v = 1. Con esta elecci´on la matriz P formada por los autovectores ser´a:
P =
( 1 1 1+ √ 5 2
1 − √ 5 2
) ,
y la matriz diagonal D formada por los autovalores (en el orden correspondiente ser´a:
D =
( (^) 1+√ 5 2 0 0 1 −
√ 5 2
)
Si calculamos la matriz inversa P −^1 obtenemos:
P −^1 =
( √ 5 − 1 √^2 5+ 2 −^1
)
de modo que
( 0 1 1 1
)
( 1 1 1+ √ 5 2
1 − √ 5 2
) ·
( (^) 1+√ 5 2 0 0 1 −
√ 5 2
) ·
( √ 5 − 1 √^2 5+ 2 −^1
)
y, por lo tanto,
( 0 1 1 1
)K
( 1 1 1+ √ 5 2
1 − √ 5 2
) ·
( 1+ √ 5 2
)K 0 0
( (^1) −√ 5 2
)K
·
( √ 5 − 1 √ 2 1 5+ 2 −^1
)
En particular, podemos escribir la potencia de la matriz diagonal de la forma siguiente:
( 1+√ 5 2
)K 0 0
( 1 − √ 5 2
)K
=
( 1 +
)K
( 1 − √ 5 1+√ 5
)K
y, puesto que λ+ = 1+
√ 5 2 es el autovalor dominante, resulta que^ |λ−/λ+|^ <^ 1 y por tanto
|λ−/λ+|K^ =
∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣
K → 0 para K → ∞.
De modo que, para valores de K muy grandes,
( 0 1 1 1
)K ≈
( 1 +
)K ·
( 1 1 1+ √ 5 2
1 − √ 5 2
) ·
( 1 0 0 0
) ·
( √ 5 − 1 √^2 5+ 2 −^1
)
Por tanto, para valores de K muy grandes (es decir, cuando estudiamos el comportamiento del sistema a largo plazo), resulta que el autovalor no dominante desaparece de la matriz, y podemos tomar como una buena aproximaci´on:
( JK AK
)
( 0 1 1 1
)K ( J 0 A 0
) ≈
( 1 +
)K ·
( 1 1 1+ √ 5 2
1 − √ 5 2
) ·
( 1 0 0 0
) ·
( √ 5 − 1 √^2 5+ 2 −^1
) ( J 0 A 0
)
A partir de esta expresi´on, si realizamos las operaciones matriciales del lado derecho (bastante sencillas, pues una de las matrices tiene tres ceros), es inmediato comprobar
que AK /JK ≈ 1+
√ 5 2 cuando^ K^ es grande, como observamos en nuestro an´alisis inicial del modelo de Fibonacci.
