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UD 2:Temas 7 al 12: Introducción a la Teoría de laUD 2:Temas 7 al 12: Introducción a la Teoría de la Probabilidad. Variable aleatoria y modelos deProbabilidad. Variable aleatoria y modelos de distribución de probabilidad distribución de probabilidad Grado de Enfermería. Curso 1º. Grado de Enfermería. Curso 1º. Catedrático: José Almenara Barrios Catedrático: José Almenara Barrios Profesor Asociado (Algeciras): Pascasio Peña González Profesor Asociado (Algeciras): Pascasio Peña González
INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LA
PROBABILIDAD.
Girolamo Cardano (1501-1576) (^) Blaise Pascal (1623-1662)
Tema 7
INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LA
PROBABILIDAD.
Abraham De Moivre (1667-1754) Laplace (1749-1827)
INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LA
PROBABILIDAD.
Gauss(1777-1855) (^) Quetelet (1796-1874)
INTRODUCCIÓN. CONCEPTO DE
PROBABILIDAD.
Suceso Aleatorio
Todo subconjunto del espacio muestral Ω se define como suceso de un experimento. Podemos pues definir como suceso aleatorio a cualquier subconjunto de un espacio muestral generado por un experimento aleatorio suceso A = {2,4,6 } que se corresponde con el suceso aleatorio “resultado par”.
INTRODUCCIÓN. CONCEPTO DE
PROBABILIDAD.
-Al suceso aleatorio A así definido le llamaremos compuesto****. -Cuando el suceso consta de un solo elemento, llamaremos al suceso aleatorio correspondiente, suceso simple o elemental (ei). Así podríamos definir al subconjunto B, formado en el ejemplo que nos ocupa por “los elementos superiores a 5”, de forma que: B = { 6 }.
INTRODUCCIÓN. CONCEPTO DE
PROBABILIDAD.
-Se define como suceso seguro el constituido por todos los elementos del espacio muestral, es decir, el propio Ω. -Se llama suceso imposible al subconjunto de Ω que no tiene elementos, simbolizado por ∅ , de forma que no se verifica al realizar el experimento.
INTRODUCCIÓN. CONCEPTO DE
PROBABILIDAD.
Llamamos suceso complementario de A y se simboliza como Ac^ o A o nA al complemento de A respecto de Ω, que se presenta si y sólo si no se realiza A. En nuestro ejemplo, el suceso complementario de A definido por obtener “resultado par” es A definido por obtener “resultado impar”. Así:
A = {2,4,6 } y A = {1,3,5 }.
INTRODUCCIÓN. CONCEPTO DE
PROBABILIDAD.
Sucesos incompatibles o mutuamente
excluyentes , a aquéllos cuya realización
simultanea es imposible.
Así, si tenemos los sucesos:
A = {2,4,6 } y C = {1,3,5 },
son incompatibles, ya que verifican:
A ∩ C = {2,4,6 } ∩ {1,3,5 } = ∅.
DEFINICIÓN CLÁSICA O DE DEFINICIÓN CLÁSICA O DE
LAPLACE LAPLACE
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD DE UN SUCESO
N ° de casos favorables del suceso A P(A) = . N ° de casos posibles
DEFINICIÓN EMPÍRICA DEFINICIÓN EMPÍRICA
lim fr (A) = P(A) n →∞
DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DEFINICIÓN AXIOMÁTICA
[ 1 ] P(A) ≥ 0
[ 2 ] P( Ω) = 1
[ 3 ] P (A ∪ B) = P(A) + P(B).
Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes
5ª.- La unión de dos sucesos incompatibles, es la
suma de sus probabilidades
P( A ∪ B) = P(A) + P(B).
6ª.-Se puede generalizar el axioma [3] para varios
sucesos incompatibles dos a dos, de tal forma que
la probabilidad de la unión de todos es la suma de
sus probabilidades.
k P( A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ ..... ∪ Ak ) = Σ P(Ai). i=
7ª.-La probabilidad de la unión de dos sucesos
compatibles o de dos sucesos cualesquiera, viene
dada por la suma de ambas probabilidades menos
la probabilidad de la intersección de ambos
sucesos.
P( A ∪ B ) = P(A) + P (B) − P (A ∩ B).
8ª.-La suma de las probabilidades de todos los
sucesos elementales de un experimento aleatorio
es uno.
P ( e 1 ∪ ... ∪ ek ) = P ( e 1 ) + ...+ P ( ek ) = 1.
Definición En general se define la probabilidad condicionada de B supuesto A, de la manera siguiente:
PROBABILIDAD CONDICIONADA
P (A ∩ B)
P (B / A) = .
P (A)
Tema 8
TOTAL
(EN ∩ NI)
(EN ∩ IN)
EN
(IV ∩ NI)
(IV ∩ IN)
IV
IN NI TOTAL
50 295 345
230
115
¿Cuál es la probabilidad de infección¿Cuál es la probabilidad de infección
sabiendo que el paciente ha recibido la sabiendo que el paciente ha recibido la
medicación por VI? y ¿por vía EN?medicación por VI? y ¿por vía EN?
P (IN/IV) = = 0,
P (IN/EN) = = 0,
TOTAL 20 95
(EN ∩ NI)
EN
(IV ∩ NI)
IV
IN NI TOTAL
345
(IV ∩ IN)
(EN ∩ IN)
Se dice que dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de que ocurra uno no depende de que ocurra previamente el otro. Si llamamos A y B respectivamente a cada suceso, es obvio que la P(A) es igual a la P(A / B), puesto que la probabilidad de que ocurra A no depende de que haya ocurrido B
SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES
P (A ∩ B) = P (A / B ) P ( B ), entonces: P (A ∩ B) = P (A) P (B). En general (ley multiplicativa de los sucesos independientes), P (A 1 ∩ A 2 ∩... ∩ Ak) = P (A 1 ) P (A 2 )...P (Ak ).
Nos permite calcular la probabilidad de un suceso que podemos referir a una serie de sucesos incompatibles generados con anterioridad.
TEOREMA DE PROBABILIDADES TOTALES
P(A 1 ), P(A 2 ), P(A 3 ) = Sucesos incompatibles. P(B), podemos calcular la del suceso de interés P(B) = P(A 1 ∩ B) + P(A 2 ∩ B) + P(A 3 ∩ B).
P(H) = 0, P(M) = 0, P(F/H) = 0, P(F/M) = 0, P(F) = P(H ∩F) + P(M ∩F), P(F) = P(F/H) P(H) + P(F/M) P(M)
P(F) = 0,60 ×0,30 + 0,30 × 0,70 = 0,39.
Entre los enfermos de un tipo de neumonía se observa lo siguiente: el 30% son hombres (H) y el 70% son mujeres (M). El 60% de los varones fuman y entre las mujeres fuman el 30%. Escogido un enfermo al azar, calcúlese la probabilidad de que fume (F).
M (^) F H
P(H) = 0, P(M) = 0, P(F/H) = 0, P(F/M) = 0, P(F) = P(H ∩F) + P(M ∩F), P(F) = P(F/H) P(H) + P(F/M) P(M)
P(F) = 0,7 × 0,4 + 0,2 × 0,6 = 0,40.
Entre los estudiantes de una escuela universitaria de Enfermería tenemos las siguientes proporciones: el 40% son hombres y el 60% son mujeres. El 70% de los varones fuman, mientras que entre las mujeres fuman el 20%. Escogido un estudiante al azar, calcúlese la probabilidad de que fume (Mora, 1984).
M (^) F H
P(V) = 0, P(B) = 0, P(C/V) = 0, P(C/B) = 0, P(C) = P(V ∩C) + P(B ∩C), P(C) = P(C/V) P(V) + P(C/B) P(B)
P(C) = 0,001 × 0,9 + 0,7 × 0,1 = 0,0709 (7,09%)
Se ha observado que el 90% de los catarros son causados por virus y el 10% por bacterias, y que los antibióticos sólo ofrecen resultados positivos en el 1/1000 de los resfriados causados por virus y en el 70% de los causados por bacterias. Si se decide tratar todos los procesos catarrales con antibióticos, ¿qué porcentaje de curaciones se va a obtener? (Sentís y col. 1992)
C B
V
TEOREMA DE BAYES
Thomas Bayes (1702-1761)
BAYES CAPTÓ LA IMPORTANCIA DE DESARROLLAR UNA TEORÍA CUANTITATIVA Y EXACTA DEL RAZONAMIENTO INDUCTIVO
∑^ [^ ]
=
= (^) R h j h h
i j j i i P s r P r
P r s P s r P r 1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Tema 9
A A
B = (A ∩B) + ( A ∩B)
(A∩B) (^) B (A∩B)
B
P(B) = P(A ∩B) + P( A ∩B).
P(A) P(B/A)
P(A/B) = ,
Fórmula de Bayes
P(A) P(B/A)
P(A/B) = .
P(A) P(B/A) + P( A) P(B/ A)
P(B)
P(B) = P(A ∩B) + P( A ∩B).
P(B/Ak) P(Ak) P(Ak/B) = n ∑ P(B/Ai) P(Ai) i= para k = 1,2,...,n.
Fórmula de Bayes
Pr( | ) Pr( )
Pr( | )
Pr( )
Data
Data
Data
Dist. aDist. a posteriori posteriori VerosimilitudVerosimilitud Dist. a Dist. a prioripriori
Teorema de Bayes.
