¡Descarga Apuntes matematicas tema 4 y más Apuntes en PDF de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II solo en Docsity!
UNITAT 4: FUNCIONS
Curs 22/
1. CONCEPTE DE FUNCIÓ
Una funció real de variable real és una relació que associa cada nombre real x un únic nombre
real y=f(x)
La variable X s’anomena variable independent
La variable Y s’anomena variable dependent
Les distintes formes en que es solen expressar les funcions son:
- Un enunciat: per exemple “la temperatura en un període de temps”
- Una gràfica: representa de forma visual la relació que existeix entre les variables
- Una expressió analítica: expressa de manera exacta la relació que hi ha entre dues
variables.
Tipus de funcions que anem a veure al llarg de la unitat:
2. DOMINI I RECORREGUT
El domini de la funció és el conjunt dels valors per als que està definida la funció. Es representa
per Dom f o també com D(f)
El recorregut o imatge de la funció és el conjunt de valors que pren la funció. Es representa
per Im f
Domini de les principals funcions:
- Funció polinòmica: El domini és ℝ
- Funció racional: Cal excloure del domini els valors que anul·len el denominador.
- Funció de proporcionalitat inversa: El domini és ℝ − { 0 }
- Funció arrel o amb radicals:
Si l’índex és un nombre parell, el domini és l’interval que permet que el radicand siga
positiu o igual a zero
Si l’índex és un nombre imparell, el domini coincideix amb el domini del radicand
- Funció exponencial: El domini és ℝ
UNITAT 4: FUNCIONS
Curs 22/
- Funció logarítmica: El domini és ℝ
3. FUNCIONS POLINÓMIQUES
Funció polinòmica de 1r Grau Funció polinòmica de 2n Grau
3.1 Interpolació i extrapolació
La interpolació permet conèixer d’una manera aproximada, els valors intermedis que pren la
funció a partir de dades conegudes.
Es tracta d’ extrapolació quan el valor que es vol obtindré està fora d’un interval conegut.
S’usa quan volem obtindré dades sense tindre l’expressió algebraica de la funció.
FUNCIÓ LINEAL
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑛
m=pendent
n=ordenada en l’origen
- La seua gràfica és una recta
- Punt-Pendent:
𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑥
0
) + 𝑦
0
𝑚 =
𝑦
2
− 𝑦
1
𝑥
2
− 𝑥
1
Si 𝑚 = 0 la recta és constant
Si 𝑚 > 0 la recta és creixent
Si 𝑚 < 0 la recta és decreixent
FUNCIÓ QUADRÀTICA
2
- La seua gràfica és una paràbola
- El vèrtex és: V(V x,
,V y
)
𝑉
𝑥
=
−𝑏
2 𝑎
Si 𝑎 > 0 el vèrtex és mínim
Si 𝑎 < 0 el vèrtex és màxim
Quan major siga |𝑎| més tancades les
branques
INTERPOLACIÓ LINEAL
Si coneguem dos punts (X 0
,Y
0
) i (X 1
,Y
1
podem conèixer la funció en un punt
𝑥 ∈ [𝑥
0
1
] amb l’expressió:
0
1
0
1
0
0
INTERPOLACIÓ QUADRÀTICA
Podem obtindré l’expressió de la
paràbola si coneguem tres punts
A(X
1
,Y
1
); B(X
2
,Y
2
) i C(X 3
,Y
3
) i apliquem:
1
1
2
UNITAT 4: FUNCIONS
Curs 22/
4. TRANSFORMACIÓ DE FUNCIONS
Si coneguem la representació gràfica d'una funció y=f(x) , es poden obtenir les gràfiques
d'altres funcions a partir de la primera.
• TRANSLACIONS
Traslladem el gràfic k unitats cap amunt
3
3
Traslladem el gràfic k unitats cap avall
3
3
UNITAT 4: FUNCIONS
Curs 22/
Traslladem el gràfic k unitats cap a l'esquerra
3
3
Traslladem el gràfic k unitats cap a la dreta
3
3
5. FUNCIONS RACIONALS
- Les funcions racionals son aquelles que tenen com expressió
algebraica un quocient de polinomis del tipus: 𝑓(𝑥) =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
Exemple:
𝑓
( 𝑥
)
𝑥 − 2
𝑥
2
− 4 𝑥
- En particular, s'anomena una funció de proporcionalitat
inversa a la funció racional del tipus: 𝑓(𝑥) =
𝑘
𝑥
amb 𝑘 ≠ 0
Exemple:
𝑓(𝑥) =
3
7 𝑥
Característiques
La representació
gràfica és una
hipèrbola
Exemple: 𝑓(𝑥) =
2
𝑥
Té una asímptota
vertical en x=
Té una asímptota
horitzontal en y=
Si k>0 la funció està
en el 1r i 3r quadrant
Si k<0 la funció està
en el 2n i 4t
quadrant.
K=
K= - 2
UNITAT 4: FUNCIONS
Curs 22/
6. FUNCIONS AMB RADICALS
Les funcions amb radicals són funcions amb expressió algebraica del tipus : 𝑓
𝑛
Característiques
la representació són mitges paràboles amb l'eix paral·lel a
l’eix X
Exemple:
- Si n és parell, el domini es l'interval en el que 𝑔
2
- Si n és imparell, el domini de la funció coincideix amb el
domini de 𝑔
Exemple:
3
3
UNITAT 4: FUNCIONS
Curs 22/
8. FUNCIONS EXPONENCIALS
Les funcions exponencials més senzilles son del tipus:
𝑓
( 𝑥
) = 𝑎
𝑎 es un nombre real, positiu i distint de 1
Característiques:
- El domini es ℝ • El recorregut és ( 0 , +∞)
- Si 𝑎 > 1 la funció és creixent • Si 0 < 𝑎 < 1 la funció es decreixent
- Sempre passen pel punt (0,1) i (1,a)
UNITAT 4: FUNCIONS
Curs 22/
9. FUNCIONS LOGARÍTMIQUES
Les funcions logarítmiques més senzilles son del tipus:
𝑓
( 𝑥
) = log
𝑥
𝑎 es un nombre real, positiu i distint de 1
Característiques:
- El domini es ( 0 , +∞) • El recorregut és ℝ
- Si 𝑎 > 1 la funció és creixent • Si 0 < 𝑎 < 1 la funció es decreixent
- Sempre passen pel punt ( 1 , 0 ) i (a, 1 )
UNITAT 4: FUNCIONS
Curs 22/
3)En el segon interval: 1 < 𝒙 ≤ 𝟒 → (𝟏, 𝟒]
Tenim la funció 0,5X ; es tracta d'una recta que sols
dibuixarem dins de l'interval.
n=0; m>
4)En el tercer interval: 𝒙 > 𝟒 → (𝟒, +∞)
Tenim la funció logarítmica log
2
Com a>1 la funció es creixent
Passa pel (1,0) i (2,1)
Com que aquestos punts no es troben en el interval,
traurem log
2
4 𝑖 log
2
7 com a mínim per poder
representar.
5)La representació final de la funció a trossos ha de ser:
]
2
]
log
2
Practica !!
Representa gràficament la següent funció i indica el valor de la funció en els punts x=-3; x=- 2
i x=
2
UNITAT 4: FUNCIONS
Curs 22/
11. COMPOSICIONS DE FUNCIONS
Donades dos funcions 𝑓 i 𝑔 ; s'anomena funció composta de f i g a la funció
que
compleix que (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔[𝑓(𝑥)]
Exemple:
Donades les funcions 𝑓(𝑥) = √
𝑥 + 1 i 𝑔(𝑥) = −𝑥
2
- 2 calcula la següent composició de
funcions.
a) (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) Es llig <>
𝑔[𝑓(𝑥)] = 𝑔(√𝑥 + 1 )
Ara, √
𝑥 + 1 actua com l’entrada de la funció 𝑔
per eixa raó, en la funció 𝑔
substituirem la x per la nova entrada: √
2
2
A continuació hem de desenvolupar l’expressió:
Exemple:
Donades les funcions 𝑓
= log
2
(𝑥 + 1 ) i 𝑔
𝑥+ 2
calcula la següent composició de
funcions.
a) (𝑔 ∘ 𝑓)( 0 )
𝑔[𝑓(𝑥)] = 𝑔[log
2
(𝑥 + 1 )]
[
)]
log
2
( 𝑥+ 1
)
𝑔[𝑓( 0 )] = 2
log
2
( 0 + 1 )+ 2
= 2
log
2
( 1 )+ 2
= 2
0 + 2
= 2
2
= 𝟒
b) (𝑓 ∘ 𝑔)( 1 )
[
)]
= 𝑓[ 2
𝑥+ 2
]
𝑓[𝑔(𝑥)] = log
2
𝑥+ 2
𝑓[𝑔( 1 )] = log
2
1 + 2
2
3
2
𝟐
X
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥)
f
g
𝑔[𝑓
( 𝑥
) ]
