¡Descarga Apuntes parametrizacion y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
6 Capítulo 5. Integrales de superficie
5.2 Parametrización de algunas superficies
De las ecuaciones implícitas de las superficies usuales vamos a deducir sus posibles parametrizaciones.
Elipsoide
x^2 a^2
y^2 b^2
z^2 c^2
= 1 (con a, b, c > 0 )
4 2 0
(^246)
-4-2 0
0 -
x^2 4 +^
y^2 16 +^
z^2 9 = 1 Unas ecuaciones paramétricas del elipsoide son ⎧ ⎨ ⎩
x = a cos u cos v y = b cos u sin v z = c sin u −π 2 ≤ u ≤ π 2 0 ≤ v < 2 π Si a = b = c, es una superficie esférica.
Paraboloide elíptico
x^2 a^2
y^2 b^2 = z (con a, b > 0 )
5 4 3 2 1 0
(^024) -4 -2 4 2 0
-2 -
x^2 4 +^
y^2 9 =^ z
5.2 Parametrización de algunas superficies 7
Una expresión parámetrica del paraboloide es
⎧ ⎨ ⎩
x = au cos v y = bu sin v z = cu^2 0 ≤ u < +∞ 0 ≤ v < 2 π
En el caso de ser a = b el paraboloide es circular.
Paraboloide hiperbólico
x^2 a^2
y^2 b^2 = z (con a, b > 0 )
4 2 0
(^24)
-2 0
0 -
x^2 4 −^
y^2 9 =^ z
Una expresión parámetrica del paraboloide es
⎧ ⎨ ⎩
x = au y = bu z = u^2 − v^2 −∞ < u < +∞ −∞ < v < +∞
Cono elíptico
x^2 a^2
y^2 b^2
= z^2 (con a, b > 0 )
5.2 Parametrización de algunas superficies 9
Hiperboloide de dos hoja
x^2 a^2
y^2 b^2
z^2 c^2
= − 1 (con a, b, c > 0 )
4 2 0
-4 (^4) 2 -2^0 (^024) - -4 -
x^2 4 +^
y^2 4 −^
z^2 4 =^ −^1 Una expresión parámetrica del paraboloide es
Hoja superior ≡
x = a sinh u cos v y = b sinh u sin v z = c cosh u 0 ≤ u < +∞ 0 ≤ v < 2 π
Hoja inferior ≡
x = a sinh u cos v y = b sinh u sin v z = −c cosh u 0 ≤ u < +∞ 0 ≤ v < 2 π
