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Biomatemática
A/Ecuaciones Diferenciales:
A.1/ Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
- En el campo de las matemáticas aplicadas a la biología, el tiempo t es la variable independiente, pudiendo ser horas, segundos, o incluso generaciones. y(t) es la función de efectivos, es decir, el número de individuos de una población en el tiempo. En algunos casos particulares puede valorar, por ejemplo, la longitud de un organismo en función del tiempo.
- El instante inicial es t=0; se indica con el subíndice; t 0. Del mismo modo, y(t=0) se indica del siguiente modo; y 0.
- y’(t) es la función que da el crecimiento de y(t). La tasa de crecimiento instantáneo se escribe k(t); se trata de la tasa de crecimiento per cápita:
𝑦′^ (𝑡)
- La Ecuación Diferencial Ordinaria relaciona y(t) con la variable independiente t y con sus derivadas. La solución de una ecuación es la función y(t) en función de la variable independiente t, sin que aparezcan las derivadas. Para ello se debe tener en cuenta que:
𝑦′^ 𝑡 =
- Generalmente las ecuaciones diferenciales ordinarias son de Variables Separables, de forma que ordenando los términos e integrando podemos obtener la Solución General:
𝑓 𝑦. 𝑦′^ 𝑡 = 𝑔 𝑡 ⇒ 𝑓 𝑦. 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑡. 𝑑𝑡
- La Solución General es el conjunto de curvas paralelas posibles (comparten el Modelo de Crecimiento): tiene infinitas soluciones. La Solución Particular depende de un punto concreto por el que sabemos que pasa la curva; es una solución inequívoca y única que depende de las Condiciones Iniciales (y 0 ).
- El Orden de una ecuación diferencial ordinaria es el de la derivada de más alto orden que aparece en la ecuación (derivada primera; primer orden: derivada segunda; segundo orden…).
- El Grado de una ecuación diferencial ordinaria es la potencia a la que está elevada la derivada más alta, siempre y cuando la ecuación diferencial esté dada en forma polinomial.
A.2/ Ecuaciones Diferenciales Lineales
- Una Ecuación Diferencial Lineal de Orden n es una ecuación diferencial que puede escribirse de la siguiente forma:
𝑎𝑛 𝑡. 𝑦𝑛′ 𝑡 + 𝑎𝑛− 1 𝑡. 𝑦𝑛−^1 ′ 𝑡 + ⋯ + 𝑎 2 𝑡. 𝑦′′^ 𝑡 + 𝑎 1 𝑡. 𝑦′^ 𝑡 + 𝑎 0 𝑡. 𝑦(𝑡) = 𝑔(𝑡)
- En nuestro caso nos ocupamos en particular de las Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden, que pueden escribirse de la forma:
𝑎 1 𝑡. 𝑦′^ 𝑡 + 𝑎 0 𝑡. 𝑦(𝑡) = 𝑔(𝑡)
- Cuando tenemos 𝑔 𝑡 = 0 se dice que la ecuación diferencial es Homogénea. La solución de una Ecuación Diferencial Lineal Homogénea de Primer Orden se halla fácilmente por separación de variables (ver A.1/ Ec. Dif. Ordinarias).
- Para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden Completas debemos seguir el siguiente procedimiento:
- Recurrimos a su Ecuación Diferencial Lineal Homogénea Asociada, de forma que hayamos su Solución General.
𝑎 1 𝑡. 𝑦′^ 𝑡 + 𝑎 0 𝑡. 𝑦 𝑡 = 𝑔 𝑡 ⇒ 𝑎 1 𝑡. 𝑦′^ 𝑡 + 𝑎 0 𝑡. 𝑦(𝑡) = 0 𝑆𝑂𝐿𝑈𝐶𝐼Ó𝑁 𝐺𝐸𝑁𝐸𝑅𝐴𝐿 𝐻𝑂𝑀𝑂𝐺É𝑁𝐸𝐴: 𝑦 𝑡 = 𝑐. 𝑓(𝑡)
- Resolvemos la Ecuación Diferencial Lineal Completa, por el método de Variación de Parámetros, que consiste en sustituir la constante 𝑐 por una función de t desconocida: 𝑐(𝑡). Deduciendo esta función de t podemos escribir la Solución General Completa.
𝑦 𝑡 = 𝑐 𝑡. 𝑓(𝑡) será solución de la completa si se verifica. ⇒ 𝑦′^ 𝑡 = 𝑐′^ 𝑡. 𝑓 𝑡 + 𝑐 𝑡. 𝑓′^ 𝑡
A continuación reemplazamos 𝑦(𝑡) e 𝑦′^ (𝑡) en la Ecuación Diferencial Completa:
𝑔 𝑡 = 𝑎 1 𝑡. 𝑐′^ 𝑡. 𝑓 𝑡 + 𝑐 𝑡. 𝑓′^ 𝑡 + 𝑎 0 𝑡. 𝑐 𝑡. 𝑓(𝑡) ⇒ 𝑐 𝑡 = 𝑔 𝑡. 𝑓(𝑡)−^1. 𝑑𝑡 𝑆𝑂𝐿𝑈𝐶𝐼Ó𝑁 𝐺𝐸𝑁𝐸𝑅𝐴𝐿 𝐶𝑂𝑀𝑃𝐿𝐸𝑇𝐴: 𝑦 𝑡 = 𝑐 𝑡. 𝑓(𝑡)
- Finalmente, si conviene, podemos hallar la Solución Particular Completa basándonos en unas condiciones iniciales conocidas.
A.anexo/ Formulario de Integrales y Derivadas Integración y derivación son fundamentales para resolver cualquier ecuación diferencial. Como apéndice de la parte A, a continuación se encuentra la lista de Integrales y Derivadas básicas. Es muy importante, en el sentido de la integración, añadir en el término integrado (sea f(t)): 𝑓(𝑡). 𝑑𝑡, y en el resultado (sea g(t)): 𝑔(𝑡) + 𝑐𝑡𝑒. 𝑡 = Variable independiente. 𝑘, 𝑛 ≠ 1 , 𝑎 = Constante. 𝑢, 𝑣 = Funciones de la variable independiente t. Integración 𝑓(𝑡) 𝑓 𝑡. 𝑑𝑡 𝑓′^ (𝑡) 𝑓(𝑡) Derivación FUNCIONES SIMPLES
0 𝑘 𝑘. 𝑡
𝑘 𝑘. 𝑡 𝑘.
𝑡^2
𝑛. 𝑡𝑛−^1 𝑡𝑛^ 𝑡𝑛+^1
𝑡^2
ln 𝑡
ln 𝑡 𝑡. ln(𝑡 − 1 )
cos 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 − cos 𝑡
−𝑐𝑜𝑠 𝑡 −𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡
1 𝑐𝑜𝑠^2 𝑡
𝑡𝑔 𝑡 − ln(cos 𝑡)
𝑠𝑒𝑛^2 𝑡
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑡 ln(𝑠𝑒𝑛 𝑡)
𝑎𝑡^. ln 𝑎 𝑎𝑡^ 𝑎𝑡 ln 𝑎
𝑒𝑡^ 𝑒𝑡^ 𝑒𝑡
ALGUNAS FUNCIONES COMPUESTAS
𝑢𝑛^. 𝑢′ 𝑢𝑛+^1 𝑛 + 1
𝑛. 𝑢𝑛−^1. 𝑢′ 𝑢𝑛
𝑢′^. 𝑎𝑢^ 𝑎𝑢 ln 𝑎
𝑎𝑢^. ln 𝑎. 𝑢′ 𝑎𝑢
𝑢′^. 𝑒𝑢^ 𝑒𝑢
𝑢. 𝑣′ (^) 𝑢. 𝑣 − 𝑣. 𝑢′
OPERACIONES CON DERIVADAS:
𝑓 𝑡. 𝑔 𝑡 ′^ = 𝑓′^ 𝑡. 𝑔 𝑡 + 𝑓 𝑡. 𝑔′^ (𝑡)
𝑓 𝑔^ 𝑡𝑡
′ = 𝑓
′ (^) 𝑡 .𝑔 𝑡 −𝑓 𝑡 .𝑔′ (^) (𝑡) 𝑔(𝑡)^2 𝑓 𝑡 ± 𝑔 𝑡 ′^ = 𝑓′^ (𝑡) ± 𝑔′^ (𝑡)
𝑓 𝑡 𝑔^ 𝑡^ ′^ = 𝑔 𝑡. 𝑓 𝑡 𝑔^ 𝑡^ −^1. 𝑓′^ 𝑡 + 𝑔′^ 𝑡. 𝑓 𝑡 𝑔^ 𝑡^. ln 𝑓(𝑡)
𝑔 𝑓 𝑡
′ = 𝑓′^ 𝑡. 𝑔′ 𝑓 𝑡 (𝑅𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑛𝑎)
(ln 𝑓(𝑡))′ = 𝑓
′ (^) (𝑡) 𝑓(𝑡)
OPERACIONES CON INTEGRALES:
B.2/ Modelo Logístico o de Verhulst (1838)
- El Modelo de Verhulst se ajusta mejor a la realidad que el modelo de Malthus, sobre el que se basa. Añade un término de freno en función de y(t) al crecimiento, de tal manera que existe un tope poblacional. Se ajusta, por ejemplo, al crecimiento de paramecios contenidos en un medio óptimo, en tubo de ensayos. Ecuación diferencial 𝑦′^ 𝑡 𝑦 𝑡
Solución Particular
𝑦 𝑡 =
Tasa de Crecimiento Instantáneo
𝑘 𝑡 = 𝑟 −
𝐾 ∙^ 𝑦(𝑡)
Tope Poblacional
𝑡^ lim→+∞ 𝑦^ 𝑡^ =^ 𝐾
Punto de Inflexión
(𝑡 =
𝑟 ∙^ ln^
𝑦 0 ;^ 𝑦^ =^
Ejemplo; Para y 0 =100, r=0,2 y K=900; Punto de Inflexión (10,4 : 450):
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Y(t)
Y(t)
B.3/ Modelo de Gompertz (1825)
- El Modelo de Gompertz es una segunda (aunque anterior) corrección del Modelo de Malthus. Según este modelo, el crecimiento decrece exponencialmente. Se adapta al crecimiento de tumores, al crecimiento vegetal y a modelos de crecimiento de ecología pesquera. Ecuación diferencial 𝑦′^ 𝑡 𝑦 𝑡
Solución Particular
𝑦 𝑡 = 𝑦 0. 𝑒
𝑟 𝑎.(^1 −𝑒−𝑎^ .𝑡)
Tasa de Crecimiento Instantáneo 𝑘 𝑡 = 𝑟. 𝑒−𝑎.𝑡
Tope Poblacional
𝑡^ lim→+∞ 𝑦^ 𝑡^ =^ 𝑦^0.^ 𝑒
𝑟 𝑎
Punto de Inflexión
(𝑡 = −
𝑎.^ ln^
𝑟 ;^ 𝑦^ =^ 𝑦^0.^ 𝑒
𝑟−𝑎 𝑎 (^) )
Ejemplo; Para y 0 =10, r=0,2 y a=0,02; Punto de Inflexión (115,13;81030):
0
50000
100000
150000
200000
250000
0 100 200 300 400
Y(t)
Y(t)
