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Titulo: RUFFINI (Factorización) Año escolar: 5to.. año de bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela Correo electrónico: [email protected]
El autor de este trabajo solicita su valiosa colaboración en el sentido de enviar cualquier sugerencia y/o recomendación a la siguiente dirección :
Igualmente puede enviar cualquier ejercicio o problema que considere pueda ser incluido en el mismo. Si en sus horas de estudio o práctica se encuentra con un problema que no pueda resolver, envíelo a la anterior dirección y se le enviará resuelto a la suya.
FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO
APLICANDO LA REGLA DE RUFFINI :
CONSIDERACIONES :
1) Para factorizar por el método de RUFFINI, es necesario que el polinomio posea un término independiente.
2) El polinomio se debe ordenar en forma decreciente, es decir desde la potencia más alta hasta el término independiente.
3) Se debe vigilar que el polinomio esté completo, en aquellos polinomios donde falta un término debemos colocar el mismo acompañado del coeficiente cero.
4) Las posibles raíces del polinomio son todos aquellos números positivos y negativos que dividan, en forma exacta, al término independiente.
5) Cuando se determine el valor de una raíz, para los efectos de colocarlo como factor siempre se le debe cambiar el signo, esto ocurre porque al igualarlo a cero el número cambia de signo.
6) El polinomio se puede factorizar total o parcialmente. Está factorizado en forma total cuando el número de factores coincide con el grado del polinomio, en caso contrario se dice que está factorizado parcialmente.
Para aplicar la REGLA DE RUFFINI debo tener presente que las raices enteras que puede tener el polinomio serán algunos de los divisores del término independiente. (en este caso en particular de 12) o sea que se prueba con 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y -12.
Primero se copian los coeficientes del polinomio en una tabla similar a la siguiente:
X^4 – 4X^3 – X^2 + 16X – 12
1 – 4 – 1 16 – 12
Se copia el primer coeficiente debajo de él mismo :
X^4 – 4X^3 – X^2 + 16X – 12
1 – 4 – 1 16 – 12
X^4 – 4X^3 – X^2 + 16X – 12
Se multiplica la raíz por el resultado de la suma algebraica realizada y este producto se copia debajo del quinto coeficiente :
X^4 – 4X^3 – X^2 + 16X – 12
Luego se efectúa la suma algebraica de las dos cantidades ubicadas en la columna donde se colocó el producto:
X^4 – 4X^3 – X^2 + 16X – 12
Como el resultado final es cero ( 0 ), esto nos indica que el 1 si es una raiz del polinomio y nos sirve para factorizar.
Si el resultado hubiese sido distinto de cero, habría que seguir probando los demás divisores de 12.
Hasta ahora tenemos un producto como se observa al utilizar los nuevos coeficientes obtenidos:
X^4 – 4X^3 – X^2 + 16X – 12
( X – 1 ). ( X 3 – 3X^2 – 4X + 12 )
Note que la raiz calculada es 1 , pero por lo indicado en la consideración 5 se debe colocar – 1
Lo que hemos hecho hasta ahora es conseguir la primera raiz entera del polinomio que queremos factorizar, tenemos entonces que:
X^4 – 4X^3 – X^2 + 16X – 12 = ( X – 1) ( X^3 – 3X^2 – 4X + 12 )
De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado debemos intentar seguir factorizándolo.
Para buscar la segunda raíz se recomienda utilizar el método de Ruffini para el segundo factor de tercer grado ( X^3 - 3X^2 - 4X + 12 ) probando con los divisores del término independiente (12 en este caso también)
Procedemos entonces de manera similar a lo explicado al inicio de este ejercicio pero ahora con el polinomio de grado tres :
De nuevo pruebo con 1 :
X 3 – 3X^2 – 4X + 12
Como el resultado final es distinto de cero (6 en este caso), sigo probando los demás divisores de 12.
Probando ahora con – 1 :
X 3 – 3X^2 – 4X + 12
Como el resultado final es distinto de cero (12 en este caso), sigo probando los demás divisores de 12.
Probando ahora con 2 :
X 3 – 3X^2 – 4X + 1 2
Como el resultado final es cero, hemos conseguido la segunda raiz:
X 3 – 3X^2 – 4X + 12
( X – 2 ). ( X^2 – X – 6 )
De donde X^3 – 3X^2 – 4X + 12 = ( X – 2 ) ( X^2 – X – 6 )
El polinomio inicial va quedando factorizado de la siguiente manera :
X^4 – 4X^3 – X^2 + 16X – 12 = ( X – 1) ( X – 2) ( X^2 – X – 6 )
Solo nos queda factorizar el tercer factor que es un polinomio de segundo grado ( X^2 – X – 6 )
Para algunos alumnos resulta mas fácil factorizar buscando dos números que sumados den – 1 y multiplicados den – 6 (es decir 2 y – 3).
Como la finalidad de este trabajo es mostrar la utilización de la Regla de Ruffini, vamos a continuar con su aplicación.
Probando con – 2 :
X 2 – X – 6
( X + 2 ). ( X – 3 )
La nueva raiz es – 2 y el último factor es ( X – 3 ) :
De nuevo pruebo con 1
Hemos encontrado la segunda raíz ( en este caso también es 1) y el polinomio inicial va quedando factorizado así :
X^4 + 3X^3 – 15X^2 + 17X – 6 = ( X – 1) ( X – 1) ( X^2 + 5X – 6 )
Solo nos queda factorizar el tercer factor que es un polinomio de segundo grado ( X^2 + 5X – 6 )
Probando de nuevo con 1 :
La nueva raiz es 1 y el último factor es ( X + 6 ) :
Calculadas como han sido todas las raices podemos decir que:
X^4 + 3X^3 – 15X^2 + 17X – 6 = ( X – 1) ( X – 1) (X – 1) ( X + 6)
Note que las tres primeras raices son iguales y podemos decir que:
X^4 + 3X^3 – 15X^2 + 17X – 6 = ( X – 1)^3 ( X + 6)
Para aplicar la REGLA DE RUFFINI en aquellos polinomios donde falta un término debemos colocar el mismo acompañado del coeficiente cero.
En este caso en particular notamos que el polinomio no tiene el termino de grado tres, se conformará de la siguiente manera :
X^4 + 0X^3 – 11X^2 – 18X – 8
Probando con 1 :
Como el resultado es distinto de cero quiere decir que 1 no es raiz.
Probando con - 1 :
Como el resultado es igual a cero quiere decir que – 1 si es una raiz.
El polinomio va quedando factorizado así :
X^4 – 11X^2 – 18X – 8 = ( X + 1) ( X^3 – X^2 – 10X – 8 )
Probando de nuevo con – 1 pero ahora con el segundo factor de tercer grado ( X^3 – X^2 – 10X – 8 )
La segunda raíz también es – 1 , el polinomio va quedando factorizado así :
X^4 – 11X^2 – 18X – 8 = ( X + 1) ( X + 1) ( X^2 – 2X – 8 )
Solo nos falta factorizar el polinomio ( X^2 – 2X – 8 )
Para factorizar el polinomio ( X^2 – 2X – 8 ) buscamos dos números que sumados den – 2 y multiplicados den – 8 ( en este caso 2 y – 4 )
Como ( X^2 – 2X – 8 ) = ( X + 2) ( X – 4 )
El polinomio inicial quedará factorizado así :
X^4 – 11X^2 – 18X – 8 = ( X + 1) ( X + 1) ( X + 2) ( X – 4 )
O también puede ser indicado así :
X^4 – 11X^2 – 18X – 8 = ( X + 1)^2 ( X + 2) ( X – 4 )
FACTORIZAR : 2X^3 + 3 X^2 – 3 X – 2
2X^3 + 3 X^2 – 3X – 2
2X^3 + 3 X^2 – 3X – 2 = ( X – 1 ) ( X + 2 ) ( 2 X + 1 )
FACTORIZAR : 2X^3 – 12 X^2 + 64
2 X^3 – 12X^2 + 0X + 64
2X^3 – 12X^2 + 64 = 2 ( X + 2 ) ( X – 4 ) ( X – 4 )
