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Tema 0.- Fundamentos matemáticos:
Operadores diferenciales. Relaciones
diferenciales en los distintos sistemas de
coordenadas. Ecuaciones diferenciales
ordinarias de segundo orden
0.1. Operadores vectoriales diferenciales:
Gradiente, Divergencia, Rotacional y Laplaciano
0.2. Relaciones diferenciales en los distintos sistemas de coordenadas: Coordenadas polares en el plano, cilíndricas y esféricas
0.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden:
Ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas
0.1. Operadores vectoriales diferenciales
3. ROTACIONAL:
(^) k y
A
x
A
j x
A
z
A
i z
A
y
A
k Ai A j Ak z
j y
i x
rot A A
3 2 1 3 2 1 1 2 3
2. DIVERGENCIA:
z
A
y
A
x
A
k Ai A j Ak z
j y
i x
k A z
j y
i x
div A A
1 2 3 1 2 3
4. LAPLACIANO:
2
2
2
2
2
2 2
x y z
k z
j y
i x
k z
j y
i x (^)
2
2
2
2
2
2 2
x y z
FÓRMULAS QUE CONTIENEN EL OPERADOR
Si suponemos que existen las derivadas de A,^ B,U,V,
entonces:
- A 0 "La divergenciadelrotacionaldeAescero"
10. U 0 " ElrotacionaldelgradientedeU escero"
3. A B A B ó rot A B rot A rotB
2. (A B) A B ó div A B divA divB
1. (U V ) U V ó grad U V gradU gradV
RELACIONES DIFERENCIALES EN LOS DISTINTOS SISTEMAS DE COORDENADAS
Las ecuaciones de transformación:
establecen una correspondencia biunívoca entre puntos de dos sistemas coordenados:
En notación vectorial:
r xi yj zk f(u 1 ,u 2 ,u 3 )i g(u 1 ,u 2 ,u 3 )j h(u 1 ,u 2 ,u 3 )k
^
z h(u ,u ,u )
y g(u ,u ,u )
x f(u ,u ,u )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x, y,z y u ,u ,u
El punto P se puede expresar en coordenadas rectangulares
o en las coordenadas
x,y,z
u 1 ,u 2 ,u 3
u 1 ,u 2 ,u 3 coordenadas curvilíneas
1. COORDENADAS CILÍNDRICAS:
z z
y r sen
x r cos
r :distancia al eje z
^ :ángulo acimutal del plano
z :distancia al plano xy
Elemento de longitud de arco:
2 2 2 2 2 2 2 2
ds drdr dxi dyjdzk dxi dyjdzk dx dy dz dr r d dz
^
Elemento de volumen:
dVrdrd dz
3. COORDENADAS ESFÉRICAS:
z r cos
y r sen sen
x rsen cos
r^ :distancia desde el origen
^ :ángulo entre el eje z y el radiovector
:ángulo acimutal
Elemento de longitud de arco:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
ds drdr dxi dyjdzk dxi dyjdzk dx dy dz dr r d r send
Elemento de volumen:
dV r sen drdd
2
0.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden:
Ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas
y ay by 0
rx rx rx
Si y e y re y r e
2
r ar b 0
2
^ Ecuación característica
► Si r 1 ≠ r 2
1 2
r x
2
rx
1
y c e c e ; r r
1 2
► Si r 1 = r 2 ≡ r
y c e c xe ; r r r
1 2
rx
2
rx
1
►^ Si^ r 1 y^ r 2 son imaginarias
y ce c e r i r i
r x rx 1 1 2 2 ; 1 , 2
ó también, teniendo en cuenta las fórmulas de Euler:
e e e e (cos x isen x)
e e e e (cos x isen x )
rx x i x x
rx x i x x
2
1
luego,
y e ( Acos x bsen x), A c 1 c 2 ; B i(c 1 c 2 )
x
Multiplicando y dividiendo por μ:
2 2
A B
y definiendo δ:
B ; cos
A sen
e sen( x )
y e (sen cos x cos sen x)
x
x
- Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes
y ay by 0 ,
y ay by f (x)
Sea y = u la integral general de la homogénea:
[1]
e y = v una solución cualquiera de [1]. Entonces y = u + v será una solución de [1], ya que:
y ay by( uaubu)(vavbv) 0 f (x)
Como u contiene las constantes c 1 y c 2 , la combinación u + v será solución de [1]
u : integral general a la ecuación homogénea
v : integral particular de la ecuación
