Análisis de Variancia Univariante (ANOVA) de Dos Factores: Diseño de Experimentos, Apuntes de Estadística

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• Estadística Multivariante Aguilar, M.; Castro, M.; Cruces, E. y Díaz, B.Curso 2016-

Análisis^ de^ la^ Varianza^ (ANOVA) 2.1.- Introducción.2.2.- ANOVA de un factor completamente aleatorizado.2.3.- ANOVA no paramétrico.2.4.- ANOVA multifactorial.2.5.- Resolución de casos prácticos con ordenador. Curso 2017-2018^ Aguilar, M.; Castro, C.; Cruces, E. y Díaz, B.

^ El Análisis de la Varianza (ANOVA) es una técnica multivariantedesarrollada por Fisher entre 1920 y 1930. Inicialmente se aplicóa investigaciones agrarias. ^ En el ANOVA la variable dependiente cuantitativa (se asume quees continua) viene explicada por una o más variables categóricas(cualitativas^ o^ cuantitativas

pero^ agrupadas^ en^ clases

o categorías).  La variable dependiente^ Y^ es la

respuesta^ ante las distintas categorías (denominadas^ tratamientos o niveles)

de la variable explicativa o^ factor X.  ANOVA unifactorial^ (un único factor: por ejemplo, estudiamos lainfluencia del abono sobre la cosecha) y

multifactorial^ (tenemos en cuenta varios factores: abono, riego,…).

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^ Planteamos,^ por^ ejemplo,^

el^ siguiente^ problema:^ ¿es^ igual

la cosecha de trigo observada en diversos grupos de parcelas si selas somete a distintos niveles de abono (A, B y C)?^ ^ Variable dependiente o respuesta: cosecha de trigo^ ^ Variable independiente o factor: abono^ ^ Tratamientos: distintos niveles de abono^ ^ Unidades experimentales: parcelas  Si la respuesta es afirmativa -y el experimento estadístico se hadiseñado correctamente-, podría concluirse que el nivel de abonono afecta a la cosecha obtenida.  Por el contrario, si hay diferencias significativas en la cosechamedia obtenida para cada nivel de abono podemos deducir quehay, al menos, un nivel de abono que determina que el volumencosechado sea distinto que los demás.

Introducción Curso 2017-2018^ Aguilar, M.; Castro, C.; Cruces, E. y Díaz, B.

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^ El^ ANOVA^ supone^ una^

generalización^ del^ contraste

de diferencia^ de^ medias^ en^

dos^ poblaciones^ normales^

a^ k poblaciones.Su singularidad respecto a dicho contraste es que consideraque^ los^ resultados^ pueden^

verse^ expuestos^ al^ efecto^

de factores^ no^ controlables^ por

el^ experimento^ (diferentes calidades del suelo, horas de sol, pendientes…), e intentaaislar y evaluar la incidencia de estos errores atribuibles alpropio experimento.  También^ puede^ enfocarse^

como^ un^ caso^ especial^ de regresión : análisis de la influencia de una serie de variablesexplicativas^ (factores)^ sobre

una^ variable^ dependiente (variable respuesta).

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2.2.^ ANOVA^ de^ un^ factor

^ En el diseño más simple del ANOVA se considera un solofactor y se supone que las

n^ unidades experimentales sonhomogéneas y se asignan de forma completamente aleatoriaa cada uno de los k tratamientos. Este modelo se denomina Modelo de un factor completamente aleatorizado. ^ Si las unidades experimentales no fueran homogéneas, seestablecería^ un^ Modelo^

de^ un^ factor^ con^ diseño

por bloques^ (no lo estudiaremos en esta asignatura).

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^ La hipótesis nula establece que las medias poblacionales soniguales (y, por tanto, igual a la media global), frente a laalternativa de que al menos una es diferente:^ ^ Si se acepta H^ (igualdad de medias) la respuesta no se ve^0 afectada por los distintos niveles de factor. Las diferenciasen las respuestas medias observadas se deben al errorexperimental.^ ^ Si se rechaza H^ , se pueden distinguir los efectos que^0 producen los distintos tratamientos

.^13

ࡴ^ : ࣆൌ ࣆൌ ⋯ ൌ ࣆ^ ൌ ⋯ ࣆ૙^ ૚^ ૛^

ANOVA^ de^ un^ factor ࡴ^ ࢙ ࣆ ࢙ࢇ࢒ ࢙ࢇࢊ࢕ ࢚ ࢕࢔ :^ ࢙ࢋ࢒ࢇ࢛ࢍ࢏ ࢔࢕૚^ Curso 2017-2018^ Aguilar, M.; Castro, C.; Cruces, E. y Díaz, B.

^ Diseño del experimento:^ ^ La población total está clasificada en

k^ grupos en función de los niveles o tratamientos del factor que estudiamos.  Por hipótesis, se supondrá normalidad e igualdad devarianzas en cada una de estas poblaciones.  De^ cada^ uno^ de^ estos^ tratamientos,

se^ seleccionan

muestras de tamaño^ n, n, …. n^12

respectivamente.k, ^ Podemos diseñar la siguiente tabla de datos, donde

yij

denota la respuesta de la unidad experimental

i^ ante el

tratamiento^ j, recogiéndose además, los totales (

T) y las.j^

ഥmedias muestrales (ࢅ)..j^ ANOVA^ de^ un^ factor Curso 2017-2018^ Aguilar, M.; Castro, C.; Cruces, E. y Díaz, B.

^ El^ objetivo^ es analizar si los

k^ niveles del factor^ X^ influyen de igual manera en la variable respuesta

Y.

^ Para ello el modelo se basa en

la descomposición de la variabilidad de la respuesta

en dos partes:

-^ La originada por el factor objeto de estudio.•^ La producida por el error experimental. ANOVA^ de^ un^ factor Curso 2017-2018^ Aguilar, M.; Castro, C.; Cruces, E. y Díaz, B.

^ y:Respuesta de una unidad experimentalij^

i^ ante el tratamiento^ j.

Es la suma de la respuesta media del grupo sometido altratamiento^ j^ (μ)^ y el error experimental o efecto aleatorioj asociado^ ():ij  : Efecto diferencial del j-ésimo tratamiento en relación al efectoj medio global μ:^ ൌ μ‐ μμൌ μ ൅j^ j^ j^^ Modelo final:

yൌ μ൅^ ^ ൌ y– μij^ j^ ijij^ ij^ j^ j yൌ μ ൅^ ൅^ ij^ j^ ij

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^ ሺy‐^ ሻ:^ Diferencia respecto a la media global ij^

de cualquier

observación. La descomposición sería:^ ^ ሺ‐^ ሻ:^ Diferencia^ debida j^

al^ tratamiento.^ Es^ la diferencia^ entre^ la^ media

del^ grupo^ de^ unidades experimentales^ sometidas^ al^ tratamiento^ j^ y^ la^ media

global del experimento.  ሺy‐^ ሻ:^ Diferencia aleatoria. ij^ j^

Es la diferencia entre la respuesta^ de^ la^ unidad^

experimental^ i^ sometida^ al tratamiento^ j^ y la media del grupo sometido al tratamiento j. Por tanto, no viene explicada por el factor y recoge elerror experimental.

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^ Como no conocemos los parámetros poblacionales, habrá queestimarlos mediante las correspondientes medias muestrales yla descomposición anterior queda:ഥ^ ࢟^ ࢅ െ:^ Refleja^ la^ ࢏^

desviación^ de^ cada^ observaciónrespecto a la media muestral global.ഥ ഥ  ࢅࢅ െ: Refleja la desviación de la media muestral del. tratamiento j respecto a la media muestral global.ഥ ࢟ ࢅ െ: Refleja la desviación^ no^ explicada^ ࢏.

por^ el tratamiento^ j^ (se denomina desviación residual).

ANOVA^ de^ un^ factor ഥ^ ഥ^ ഥ࢟ࢅ െൌ^ ࢅࢅെ࢏^.^

ഥ^ ࢟ ൅ ࢅ െ࢏.

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