Probabilidades con regla de Barrow y densidad en distribuciones continuas, Apuntes de Administración de Empresas

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INTRODUCCI”N A LA ESTADÕSTICA

TEMA 5: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

CONTINUAS

Curso 2013-

1. V.a. continuas: fn. de densidad y fn. de distribuciÛn

El objetivo de este tema es estudiar v.a. que tengan como posibles

resultados conjuntos inÖnitos no numerables, que generalmente son

intervalos de R (o todo R ).

El primer apartado del tema lo dividiremos en tres subapartados:

(^1) IntroducciÛn (^2) FunciÛn de densidad de una v.a. continua (^3) FunciÛn de distribuciÛn de una v.a. continua

1.1. IntroducciÛn

Para deÖnir la funciÛn de densidad es necesario utilizar integrales

deÖnidas. Los conceptos b·sicos sobre integrales que se requerir·n en

este curso, ya estudiados en Matem·ticas, son los siguientes:

Si f (x ) es una funciÛn no negativa de R en R , y A es un subconjunto de R , se llama integral deÖnida de f (x ) en A al ·rea de la regiÛn comprendida entre la funciÛn f (x ) y el eje horizontal en el conjunto A; este valor se representa como

R

A f^ (x^ )dx,^ o bien, si^ A^ es el intervalo (a, b), como

R (^) b R a^ f^ (x^ )dx. Por ejemplo, en el gr·Öco siguiente, 1 0 f^ (x^ )dx^ es el ·rea rayada, que en este caso es^

1

-1 0 1 2

1

2

x

f(x)

1.1. IntroducciÛn

Conceptos b·sicos sobre integrales (continuaciÛn):

Si f (x ) es una funciÛn que puede tomar valores positivos y negativos en A, se llama integral deÖnida de la funciÛn f (x ) en A a la diferencia entre el ·rea de la regiÛn comprendida entre f (x ) y el eje horizontal que queda por encima de este eje, y el ·rea de la regiÛn comprendida entre f (x ) y el eje horizontal que queda por debajo de este eje; este valor se representa como

R

A f^ (x^ )dx,^ o bien, si^ A^ es el intervalo (a, b), como

R (^) b R a^ f^ (x^ )dx.^ Por ejemplo, en el gr·Öco siguiente, 2 1 f^ (x^ )dx^ es la diferencia entre el ·rea con rayas verticales y el arÈa con rayas horizontales, es decir

R 2

1 f^ (x^ )dx^ =^2 ^0.^5 =^1.^5.

-1 1 2

1

2

x

f(x)

Dada una v.a. continua X , se dice que una funciÛn no negativa f (x )

es la funciÛn de densidad de X si para cualquier subconjunto A de

la recta real se tiene que:

P(X 2 A) =

Z

A

f (x )dx,

es decir, si para cualquier subconjunto A de la recta real la

probabilidad de que X quede dentro de A es al ·rea de la regiÛn

comprendida entre la funciÛn f (x ) y el eje horizontal en el conjunto A.

Por ejemplo, si la funciÛn de densidad de X es la funciÛn del gr·Öco, la probabilidad de que X estÈ entre 1 y 2 es el ·rea rayada:

1 2

x

f(x)

De la deÖniciÛn de funciÛn de densidad se deduce que:

El conjunto de posibles resultados de X es el conjunto de puntos donde la funciÛn de densidad f (x ) es positiva. La funciÛn de densidad es, por deÖniciÛn, no negativa, y adem·s: Z (^) +∞

∞

f (x )dx = P(X 2 (∞, +∞)) = 1

donde la ˙ltima igualdad es consecuencia del segundo postulado de la probabilidad. Por tanto, lo que se hace al construir un modelo para una v.a. continua es repartir un ·rea total igual a 1 (toda la probabilidad) entre las diferentes regiones de R. La funciÛn de densidad indica tambiÈn dÛnde es m·s probable que estÈ el resultado de X : en las zonas donde mayor sea f (x ), pues ahÌ es donde se concentra m·s densidad de probabilidad. Por esta razÛn es conveniente representar la funciÛn de densidad f (x ), pues asÌ podr· visualizarse no sÛlo cu·les son los posibles resultados de X (los n˙meros x en que f (x ) sea positiva), sino tambiÈn dÛnde es m·s probable que estÈ el resultado de X (en las zonas donde mayor sea f (x )).

EJEMPLO 1 (Cont.): El gr·Öco de esta funciÛn de densidad f (x )

es el siguiente:

0 1 2 3 4 5 6

x

f(x)

EJEMPLO 1 (Cont.): La primera caracterÌstica que es conveniente

observar en una funciÛn de densidad f (x ) es en quÈ puntos es

positiva, ya que esos puntos constituyen el conjunto de posibles

resultados de la v.a. X.

En este ejemplo, de la deÖniciÛn dada se deduce que:

f (x ) > 0 si y sÛlo si x 2 ( 1 , 5 )

Por tanto, los posibles resultados de X son los n˙meros que est·n en el intervalo ( 1 , 5 ), es decir, el peso de todos los niÒos que nacen en este hospital es superior a 1 kg e inferior a 5 kg.

EJEMPLO 1 (Cont.): La funciÛn de densidad f (x ) permite calcular

todas las probabilidades relativas a la v.a. X , pues Èstas son ·reas

que quedan entre f (x ) y el eje horizontal.

Por ejemplo, la probabilidad de que un niÒo nacido en este hospital pese entre 1.5 kg y 2 kg es el ·rea de la zona rayada en el gr·Öco siguiente:

0 1 2 3 4 5 6

x

f(x)

EJEMPLO 1 (Cont.):

Esta probabilidad (es decir, el ·rea de la zona rayada) podemos calcularla exactamente con la integral deÖnida:

P(X 2 ( 1. 5 , 2 )) =

Z (^2)

1. 5

f (x )dx

Z (^2)

1. 5

( 18 x 3 x^2 15 )dx =

h 9 x^2 x^3 15 x

ix = 2 x = 1. 5

 [ 2 ( 5. 625 )] = 0. 1133

EJEMPLO 1 (Cont.): El gr·Öco de f (x ) obtenido indica tambiÈn

en quÈ zonas se concentra m·s probabilidad.

Por ejemplo, la funciÛn de densidad f (x ) es m·xima en el punto 3, y toma valores cercanos a 0 en los puntos prÛximos a 1 y a 5; por tanto, tener un niÒo cuyo peso estÈ entre 2.8 y 3.2 kg (·rea rayada en el gr·Öco de la izquierda) es mucho m·s probable que tener un niÒo cuyo peso estÈ entre 1 y 1.4 kg (·rea rayada en el gr·Öco de la derecha).

0 1 2 3 4 5 6

x

f(x)

0 1 2 3 4 5 6

x

f(x)

La funciÛn de densidad caracteriza una v.a. continua, en el sentido de

que cualquier probabilidad se puede calcular a partir de ella, como se

ha visto en los ejemplos. Otras propiedades importantes de las v.a.

continuas son las siguientes:

La probabilidad de cualquier punto x es exactamente 0 , incluso aunque consideremos un punto x que sea posible resultado de X. Matem·ticamente esto es consecuencia de que, en este caso, la probabilidad se corresponde con el ·rea de un segmento, que lÛgicamente es 0 (y en este razonamiento da igual que f (x ) sea 0 o que f (x ) sea positivo). Esto puede parecer contradictorio a primera vista, pero en realidad no lo es, y lo que indica es que la probabilidad de que acertemos a priori cu·l va a ser el resultado del experimento, con todos sus inÖnitos decimales, es nula.

Propiedades de las v.a. continuas (continuaciÛn):

La funciÛn de densidad f (x ) desempeÒa con v.a. continuas un papel similar al que tiene la funciÛn de probabilidad f (x ) con v.a. discretas, pues en ambos casos f (x ) permite calcular cualquier probabilidad (en el caso discreto, sumando; en el caso continuo, integrando). Ambas tienen propiedades parecidas, pero no idÈnticas: Fn. de probabilidad (v.a. discretas) Fn. de densidad (v.a. continuas)

∑x 2S f^ (x^ ) =^1

R +∞

∞ f^ (x^ )dx^ =^1 f (x )  0 f (x )  0 f (x )  1 f (x ) puede ser mayor que 1 ObsÈrvese que: (^1) La fn. de densidad puede tomar valores mayores que 1 porque f (x ) no es una probabilidad; la probabilidad es el ·rea que queda bajo f (x ). (^2) Si conocemos la fn. de densidad excepto por un valor k, este valor podremos determinarlo teniendo en cuenta que

R (^) +∞ ∞ f^ (x^ )dx^ =^ 1 (esta igualdad nos llevar· a una ecuaciÛn de la que podremos despejar k).

Con frecuencia se utiliza una v.a. continua para modelizar situaciones

en las que X representa alguna caracterÌstica de un invididuo

seleccionado al azar en una poblaciÛn inÖnita (en la pr·ctica, las

poblaciones nunca son inÖnitas, pero si la poblaciÛn que se analiza es

suÖcientemente grande matem·ticamente puede considerarse como

inÖnita sin que eso repercurta en los resultados). En este tipo de

casos, cuando se calcula ìla probabilidad de que la caracterÌstica

analizada del individuo seleccionado estÈ en el conjunto Aî,

siendo A un subconjunto cualquiera de R , el resultado puede

interpretarse tambiÈn como ìla proporciÛn de individuos en la

poblaciÛn para los que la caracterÌstica analizada est· dentro

del conjunto Aî. El ejemplo siguiente muestra esta situaciÛn.