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Tema 7
Sucesiones y series de n´umeros reales
1. Sucesiones
1.1. Definici´on y Notaci´on
Todos tenemos una id´ea intuitiva de lo que es una sucesi´on de n´umeros. Podemos concretarla del siguiente modo:
Definici´on 1 Una sucesi´on es una lista finita o infinita de n´umeros, llamados t´erminos, que son dis- puestos en un orden definido.
Cuando la sucesi´on es finita se suelen listar todos sus t´erminos separados por alg´un s´ımbolo. Cuando la sucesi´on es infinita, es habitual escribir s´olo los primeros t´erminos y a˜nadir puntos suspensivos. Tambi´en se puede, a veces, indicar alguna propiedad que caracterize a la sucesi´on.
En estos apuntes vamos a usar llaves para representar las sucesiones y comas para separar los distintos t´erminos de una misma sucesi´on. Es decir, vamos a usar la notaci´on
{a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,.. .}.
Ejemplo 1 Consideramos la sucesi´on
S = { 4 , 6 , 8 , 10 , 12 ,.. .}
en la que el t´ermino inicial es a 0 = 4, el t´ermino siguiente es a 1 = 6, etc. Es claro que S bien podr´ıa ser la sucesi´on ordenada de los n´umeros pares mayores que 3.
En ocasiones, dada una sucesi´on S = {a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,.. .}, podemos encontrar una funci´on definida en el conjunto de los n´umeros naturales f : N −→ R tal que f (n) = an para todo n.
En tales casos la expresi´on f (n) recibe el nombre t´ermino general de la sucesi´on y se usa la notaci´on { f (n)
n≥ 0
Ejemplo 2 La sucesi´on del ejemplo 1 se corresponde con la funci´on:
f : N −→ R n 7 −→ f (n) = 2n + 4
por lo que podemos escribir
{ 4 , 6 , 8 , 10 , 12 ,.. .} =
2 n + 4
n≥ 0
En teor´ıa, siempre existe una funci´on definida en un subconjunto de N cuyas im´agenes son los t´erminos de la sucesi´on, de hecho esa es la definici´on que usan en muchos libros. Pero en la pr´actica son muy pocos los casos en los que es posible determinar el t´ermino general.
Ejemplo 3 Dada la sucesi´on
S = { 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 ,.. .}
s´ı que podemos determinar una funci´on f tal que f (n) = an para n ≥ 0. Es decir, una funci´on que cumpla:
f (0) = 1 f (1) = 2 f (2) = 4 f (3) = 8 f (4) = 16 f (5) = 32
En concreto la funci´on f (n) = 2n^ verifica todas esas condiciones. Por tanto, podemos escribir
{ 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 ,.. .} =
2 n^
n≥ 0
lo que nos permite calcular el t´ermino siguiente, que ser´a a 6 = 2^6 = 64, y cualquier otro t´ermino posterior.
Ejemplo 4 La funci´on
f : N −→ R n 7 −→ f (n) = cos (n)
se corresponde con la sucesi´on
S = { 1 , 0. 540302 , − 0. 416147 , − 0. 989992 , − 0. 653644 , 0. 283662 , 0. 96017 , 0. 753902 ,.. .}
Notas
Salvo que se indique lo contrario, el t´ermino inicial de cada sucesi´on ser´a representado por el sub´ındice 0. Algunos autores, en cambio, prefieren usar el sub´ındice 1 para indicar el t´ermino inicial. Aunque Espa˜na est´a entre los pa´ıses que usan la coma como separador decimal, cada vez se est´a extendiendo m´as la llamada “notaci´on internacional” que usa el punto como separador decimal, especialmente en el lenguaje t´ecnico y cient´ıfico. Algunos autores prefieren evitar la utilizaci´on de sub´ındices y denotan los t´erminos de las sucesiones con par´entesis: {a(0) , a(1) , a(2) , a(3) , a(4) ,.. .}. Es conveniente que seleccionemos la unidad radianes (RAD) en tu calculadora durante este curso ya que en ning´un caso trabajaremos con grados (GRA).
1.2. Representaci´on gr´afica de sucesiones
Los analistas econ´omicos utilizan una gran cantidad de datos num´ericos ordenados (sucesiones) referidos a distintas magnitudes: ´ındices burs´atiles, precios, ventas, ...
Es frecuente representar gr´aficamente esos datos para lograr una comprensi´on m´as r´apida (y a veces mayor) de c´omo evolucionan las distintos magnitudes analizadas. Normalmente se representan las sucesiones finitas de n´umeros en un sistema de referencia plano colocando a n en el eje de abscisas y a los t´erminos an en el eje de ordenadas. Es decir, se se˜nalan los puntos (n, an) y se unen mediante segmentos (lo que se conoce como poligonal ).
Ejemplo 5 Para representar gr´aficamente la sucesi´on finita
{ 15 , 10 , 21 , 25 , 32 , 36 , 24 , 12 , 20 }
representamos un sistema de referencia plano, elegimos una escala adecuada para cada eje, se˜nalamos los puntos
(0, 15) (1, 10) (2, 21) (3, 25) (4, 32) (5, 36) (6, 24) (7, 12) (8, 20)
y los unimos mediante segmentos. El resultado es:
o equivalentemente, si no queremos usar la notaci´on de sub´ındices:
a(n + 1) = 2 · a(n).
La expresi´on (1) no es una ecuaci´on en el sentido usual del t´ermino: es una sucesi´on de ecuaciones ya que si damos valores al ´ındice n obtenemos:
n = 0 → a 1 = 2 · a 0 n = 1 → a 2 = 2 · a 1 n = 2 → a 3 = 2 · a 2 n = 3 → a 4 = 2 · a 3 n = 4 → a 5 = 2 · a 4 ..
. →
Para definir la sucesi´on se suele indicar la ley (1) junto con el dato inicial:
an+1 = 2 · an
a 0 = 1
Ejemplo 7 Las sucesiones de Fibonacci son las que se generan mediante la ley
an+2 = an+1 + an
es decir:
n = 0 → a 2 = a 1 + a 0 n = 1 → a 3 = a 2 + a 1 n = 2 → a 4 = a 3 + a 2 n = 3 → a 5 = a 4 + a 3 ..
. →
Obviamente, para determinar una sucesi´on de Fibonacci concreta, se necesitan dos datos iniciales. La m´as conocida es la generada por:
an+2 = an+1 + an
a 0 = 1, a 1 = 1
es decir:
{ 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 31 ,.. .}.
1.4. Sucesiones aritm´eticas
Las sucesiones aritm´eticas son las sucesiones deterministas y recurrentes en las que cada t´ermino se obtiene a partir del precedente sum´andole o restandole una cantidad fija.
La ley generadora es por tanto de la forma
an+1 = an + d
donde d es una constante. Es decir:
n = 0 → a 1 = a 0 + d n = 1 → a 2 = a 1 + d n = 2 → a 3 = a 2 + d n = 3 → a 4 = a 3 + d ..
. →
El t´ermino general de la sucesi´on es de la forma { a 0 + d · n
n≥ 0
y su representaci´on gr´afica es una recta:
n
a
Ejemplo 8 La sucesi´on
S = { 2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 ,.. .}
es aritm´etica ya que cada t´ermino se obtiene sumando 3 al t´ermino precedente. Es decir, usando la ley
an+1 = an + 3.
Tambi´en podemos comprobar que el t´ermino general de la sucesi´on es
{2 + 3 · n}n≥ 0
Ejemplo 9 La sucesi´on
S = { 100 , 95 , 90 , 85 , 80 , 75 ,.. .}
es aritm´etica ya que cada t´ermino se obtiene restando 5 al t´ermino precedente. Es decir, usando la ley
an+1 = an − 5.
Tambi´en podemos comprobar que el t´ermino general de la sucesi´on es
{ 100 − 5 · n}n≥ 0
1.5. Sucesiones geom´etricas
Las sucesiones geom´etricas son las sucesiones deterministas y recurrentes en las que cada t´ermino se obtiene a partir del precedente multiplicando o dividiendo por una cantidad no nula.
1.6. Sucesiones aritmeticogeom´etricas
Las sucesiones aritmeticogeom´etricas son una mezcla de las dos anteriores. La ley que genera la sucesi´on debe ser de la forma
an+1 = r · an + d
donde r y d son constantes. Es decir:
n = 0 → a 1 = r · a 0 + d n = 1 → a 2 = r · a 1 + d n = 2 → a 3 = r · a 2 + d n = 3 → a 4 = r · a 3 + d ..
. →
Ejemplo 12 La sucesi´on
S = { 3 , 5 , 9 , 17 , 33 , 65 ,.. .}
es aritmeticogeom´etrica ya que cada t´ermino se obtiene multiplicando por 2 el t´ermino precedente y restando 1. Es decir, usando la ley
an+1 = 2 · an − 1
Cuando la raz´on r de la ley aritmeticogeom´etrica
an+1 = r · an + d
es distinta de 1 (es decir: r 6 = 1), existe una condici´on inicial cuya soluci´on asociada es constante. Esa condici´on inicial es
d 1 − r
y en determinados contextos, recibe el nombre de equilibrio.
Ejemplo 13 Podemos comprobar que la sucesi´on determinada por
an+1 = 3 · an − 14
a 0 = 7
es justamente { 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , · · · }.
Tambi´en podemos comprobar que, cuando r 6 = 1, el t´ermino general de la sucesi´on aritmeticoge- om´etrica es { (^) d 1 − r
a 0 −
d 1 − r
· rn^
n≥ 0
que podemos memorizar como la suma del equilibrio y de la soluci´on general de la parte geom´etrica.
Ejemplo 14 Dada la ley aritmeticogeom´etrica
an+1 = 0. 2 · an + 32
su equilibrio es:
d 1 − r
=^32
Por tanto la soluci´on general de cualquier sucesi´on generada por dicha ley es { 40 +
a 0 − 40
· (0.2)n^
n≥ 0
En concreto, la soluci´on general de
an+1 = 0. 2 · an + 32
a 0 = 10
es justamente { 40 − 30 · (0.2)n^
n≥ 0
1.7. Operadores sobre sucesiones
Existen varios operadores que act´uan sobre sucesiones y que son utilizados con frecuencia ya que permiten detectar diversas propiedades de la sucesi´on.
Dada una sucesi´on gen´erica S = {a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,.. .}, vamos a definir:
El operador de diferencias: ∆.
El operador raz´on de cambio: F.
El operador cambio porcentual: P.
Operador de diferencias
La variaci´on de la sucesi´on es otra sucesi´on cuyo t´ermino general es
∆an = an+1 − an
es decir:
∆S = {a 1 − a 0 , a 2 − a 1 , a 3 − a 2 , a 4 − a 3 ,.. .}
Ejemplo 15 Dada la sucesi´on S = { 1 , 2 , 4 , 6 , 8 , 5 , 4 , 2 , 2 }, su variaci´on es:
∆S = { 2 − 1 , 4 − 2 , 6 − 4 , 8 − 6 , 5 − 8 , 4 − 5 , 2 − 4 , 2 − 2 } = { 1 , 2 , 2 , 2 , − 3 , − 1 , − 2 , 0 }
Raz´on de cambio
Si los t´erminos de la sucesi´on son distintos de 0, definimos
F[an] = an+ an
nos proporciona las razones de cambio de la sucesi´on:
F[S] =
a 1 a 0
a 2 a 1
a 3 a 2
a 4 a 3
Ejemplo 16 Dada la sucesi´on S = { 1 , 2 , 4 , 6 , 8 , 5 , 4 , 2 , 2 }, las razones de cambio son
F[S] =
- Calculamos F[∆S] = { 3 , 3 , 3 , 3 ,.. .} y por tanto la raz´on es r = 3.
- Calculamos d = 8 − 3 · 2 = 8 − 6 = 2.
Luego la ley es
an+1 = 3 · an + 2.
Por lo que el t´ermino siguiente (tras 728 ) debe ser: 3 · 728 + 2 = 2186.
Ejemplo 19 Queremos determinar la ley que se ha usado para generar la siguiente sucesi´on aritmetico- geom´etrica y calcular el t´ermino siguiente:
S = { 2 , 4 , − 2 , 16 , − 38 ,.. .}
y para ello usamos el algoritmo:
1. ∆S = { 2 , − 6 , 18 , − 54 ,.. .}.
- F[∆S] = {− 3 , − 3 , − 3 ,.. .} y por tanto la raz´on es r = − 3.
- Volvemos a la sucesi´on original y usamos los dos primeros t´erminos para calcular
d = 4 − (−3) · 2 = 4 + 6 = 10.
Luego la ley es
an+1 = − 3 · an + 10
y tras − 38 , el t´ermino siguiente que debe aparecer es: (−3) · (−38) + 10 = 124.
Ejemplo 20 Queremos determinar la ley que se ha usado para generar la siguiente sucesi´on aritmetico- geom´etrica y calcular m´as t´erminos:
S = { 20 , 12 , 8 , 6 , 5 ,.. .}
y para ello usamos el algoritmo:
- Calculamos las diferencias: ∆S = {− 8 , − 4 , − 2 , − 1 ,.. .}.
- Calculamos las razones de cambio de las diferencias: F[∆S] =
2 ,^
1 2 ,^
1 2 ,...
y por tanto r = 12.
- Volvemos a la sucesi´on original y calculamos d = 12 − (1/2) · 20 = 12 − 10 = 2.
Luego la ley es
an+1 =
· an + 2.
Ahora podemos calcular los trece primeros t´erminos de la sucesi´on:
S = { 20 , 12 , 8 , 6 , 5 , 4. 5 , 4. 25 , 4. 125 , 4. 0625 , 4. 03125 , 4. 01563 , , 4. 00781 , 4. 00391 ,.. .}
1.9. Sucesiones convergentes
Definici´on 5 Diremos que una sucesi´on infinita S = {a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,.. .} converge hacia un n´umero L si para valores muy grandes de n la diferencia entre L y el t´ermino an es pr´acticamente igual a cero.
Cuando una sucesi´on S = {an} converge hacia un n´umero L se suele escribir {an} −→ L ´o (^) nl´→∞ım an = L.
Ejemplo 21 Podemos ilustrar gr´aficamente el concepto de convergencia con la sucesi´on aritmeticoge- om´etrica generada por
an+1 = 12 · an + 1
a 0 = 7
n
a
L = 2
Si tenemos en cuenta que cuando |r| < 1 se cumple que
nl´→∞ım rn^ = 0
y si usamos la f´ormula (2), que indica c´omo es el t´ermino general de una sucesi´on aritmeticogeom´etrica, no es dif´ıcil demostrar el siguiente resultado:
Teorema 2 Dada la ley aritmeticogeom´etrica
an+1 = r · an + d
si se cumple
|r| < 1 (3)
entonces para toda condici´on inicial a 0 , la sucesi´on correspondiente es convergente y el l´ımite es
n^ l´→∞ım an^ =^
d 1 − r
Cuando no se cumple la condici´on |r| < 1, la convergencia de la sucesi´on o el l´ımite de ´esta dependen de la condici´on inicial a 0.
Ejemplo 22 Consideramos la sucesi´on generada por { an+1 = 13 · an + 8 a 0 = 100
en la que la raz´on es r = 13. Puesto que se verifica la condici´on (3) podemos asegurar que la sucesi´on es convergente y que
n^ l´→∞ım an^ =^
Podemos realizar una comprobaci´on emp´ırica, calculando algunos t´erminos:
{ 100 , 41. 333333 , 21. 777777 , 15. 259259 , 13. 086419 , 12. 362139 , 12. 120713 , 12. 040237 , 12. 013412 ,
- 004470 , 12. 001490 , 12. 000496 , 12. 000165 , 12. 000055 , 12. 000018 , 12. 000006 , 12. 000002 ,.. .}
Ejemplo 24 Vamos a calcular los primeros t´erminos de la llamada serie arm´onica
∑
n≥ 0
n + 1
Los t´erminos de la sucesi´on original son { 1 n + 1
n≥ 0
la serie asociada tiene los t´erminos:
S 0 = 1
S 1 = 1 +
S 2 =
S 3 =^11
+^1
=^25
S 4 =
S 5 =
S 6 =
Ejemplo 25 Vamos a calcular los primeros t´erminos de la serie geom´etrica
∑
n≥ 0
2 n
Los t´erminos de la sucesi´on original son { 1 2 n
n≥ 0
2 ,^
4 ,^
8 ,^
16 ,^
la serie asociada tiene los t´erminos:
S 0 = 1
S 1 = 1 +
2 ≈^1.^5
S 2 =
S 3 =^7
+^1
=^15
S 4 =
S 5 =^31
+^1
=^63
S 6 =
2.2. Simplificaci´on de sumas parciales
Algunas sumas parciales se pueden simplificar considerablemente utilizando identidades algebraicas y la linealidad de la sumatoria. Esto ocurre, por ejemplo, con las series geom´etricas y las series aritm´eticas.
2.2.1. Sumas parciales de series geom´etricas
Dada una sucesi´on geom´etrica:
{ rn^ · a 0 }n≥ 0 =
a 0 , r · a 0 , r^2 · a 0 , r^3 · a 0 , r^4 · a 0 ,...
la serie obtenida a partir de ella, recibe el nombre de serie geom´etrica. Las sumas parciales
Sn =
∑^ n
j=
rj^ · a 0 = a 0 + r · a 0 + r^2 · a 0 + · · · + rn−^1 · a 0 + rn^ · a 0
se pueden calcular mediante el siguiente truco:
Multiplicamos por r por Sn:
r · Sn = r · a 0 + r^2 · a 0 + r^3 · a 0 + · · · + rn^ · a 0 + rn+1^ · a 0
Restamos las dos expresiones (Sn menos r · Sn):
Sn − r · Sn = a 0 − rn+1^ · a 0
Sacamos factores comunes (Sn por la izquierda y a 0 por la derecha):
(1 − r) · Sn = (1 − rn+1) · a 0
Y despejamos:
Sn =
1 − rn+ 1 − r
· a 0 (4)
En algunos casos es preferible usar una versi´on m´as descriptiva de la f´ormula anterior para calcular sumas parciales de series geom´etricas:
Suma parcial =
t´ermino inicial − raz´on × t´ermino final 1 − raz´on (5)
Antes de aplicar las f´ormulas anteriores es necesario identificar los elementos que intervienen:
Para la f´ormula (4): raz´on de la serie (r), t´ermino inicial (a 0 ), ´ındice de la suma parcial (n). Para la f´ormula (5): raz´on de la serie (r), t´ermino inicial, t´ermino final.
Ejemplo 26 La suma parcial S 20 de la serie geom´etrica obtenida a partir de la sucesi´on
{ 64 , 96 , 144 , 216 , 324 , 486 ,.. .}
cuya raz´on es
r =
64 = 1.^5
324 =^ · · ·
y cuyo t´ermino inicial es a 0 = 64, puede ser calculada mediante la f´ormula (4):
S 20 =
1 − (1.5)^21
Ejemplo 30 Vamos a calcular la suma de los n´umeros naturales m´ultiplos de 3 y menores que 500:
{ 3 , 6 , 9 ,... , 498 }
que forman una sucesi´on aritm´etica que se puede representar:
{ 3 · j }j≥ 1.
Usando la f´ormula (7) obtenemos:
∑^166
j=
3 · j = 3 + 6 + 9 + · · · + 498 = 166 ·
2.2.3. Sumas parciales de series telesc´opicas
Dada una sucesi´on
S = { a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,... }
si aplicamos el operador de diferencias obtenemos
∆S = { a 1 − a 0 , a 2 − a 1 , a 3 − a 2 , a 4 − a 3 ,... }
La serie asociada a la sucesi´on ∆S recibe el nombre de serie telesc´opica. Es muy f´acil calcular las sumas parciales de una serie telesc´opica ya que, al sumar, se cancelan todos los t´erminos salvo el primero y el ´ultimo:
Sn =
∑^ n
j=
aj+1 − aj
= a 1 − a 0 + a 2 − a 1 + a 3 − a 2 + a 4 − a 3 + · · · an+1 − an = an+1 − a 0
Ejemplo 31 Consideramos la serie cuyo t´ermino general es { 1 n^2 + 3n + 2
n≥ 0
Aunque no lo parezca a priori, se trata de una serie telesc´opica. El motivo es que podemos escribir
1 n^2 + 3n + 2
n + 1
n + 2
y por tanto, cuando sumamos t´erminos consecutivos, se cancelan los t´erminos intermedios. Por ejemplo:
S 10 =
∑^10
j=
j^2 + 3j + 2 =
∑^10
j=
j + 1 −^
j + 2
2 −^
3 −^
11 −^
Y en general se obtiene para cada n ≥ 1 :
Sn = 1 − 1 n + 2
2.3. Suma (infinita) de una serie
Cuando el l´ımite de las sumas parciales existe se dice que la serie es sumable o convergente. El l´ımite se representa
∑^ ∞
n=
an = (^) nl´→∞ım Sn
y se conoce como suma (infinita) de la serie.
Cuando no existe el l´ımite de la serie (o es infinito) se dice que la serie es divergente.
Ejemplo 32 Consideramos la serie cuyo t´ermino general es
an =
n^2 + 3n + 2
Hemos visto en el ejemplo 31 que se cumple
Sn = 1 −
n + 2
(para cada n ≥ 1).
Puesto que
n^ l´→∞ım
n + 2
podemos concluir que {Sn} −→ 1 , y por tanto escribiremos
∑^ ∞
n=
n^2 + 3n + 2
Puesto que las sumas parciales son sumas finitas pero cada vez con m´as sumandos, podemos entender la suma de la serie como una suma infinita. Es l´ogico pensar entonces que, para que la serie sea convergente, es necesario que los sumandos que se a˜naden sean cada vez m´as peque˜nos (despreciables) ya que de lo contrario la suma tendr´ıa un valor infinito.
Teorema 3 Para que una serie sea convergente es necesario que el t´ermino general an tienda hacia 0.
Esta condici´on es necesaria, pero no es suficiente. Por ejemplo, la serie arm´onica cumple esta condici´on y sin embargo Nicol´as Oresme demostr´o en la Edad Media que es divergente. Para ello us´o un m´etodo de comparaci´on que podemos enunciar del siguiente modo:
Teorema 4 (Criterio de comparaci´on) Dadas dos series con t´erminos positivos ∑
n≥ 0
an y
n≥ 0
bn
tales que
an ≤ bn para todo n ≥ 0.
(I). Si
n≥ 0
bn es convergente, entonces
n≥ 0
an tambi´en es convergente.
(II). Si
n≥ 0
an es divergente, entonces
n≥ 0
bn tambi´en es divergente.
Como consecuencia de este criterio general de comparaci´on se pueden enunciar y demostrar una gran cantidad de criterios de convergencia: criterio de d’Alembert, criterio de Cauchy, criterio de Raabe, ...
Se trata de criterios muy utilizados en el C´alculo Matem´atico, pero que escapan de los objetivos del presente curso.
2.4. Suma (infinita) de una serie geom´etrica
El teorema 3 indica que para que una serie geom´etrica ∑
n≥ 0
rn^ a 0
sea convergente es necesario que el t´ermino general {rn^ a 0 } converja hacia 0. Por el teorema 2 sabemos que ello ocurre cuando el valor absoluto de la raz´on es menor que 1. El siguiente teorema indica que en este caso esa condici´on tambi´en es suficiente para que la serie sea convergente.
Ejemplo 37 Queremos calcular el valor de la suma infinita
1 +
24 +^ · · ·
y observamos que los sumandos son los t´erminos de la sucesi´on geom´etrica
( 12 )n^
n≥ 0. En este caso la raz´on r = 12 cumple la condici´on (8), por lo que podemos asegurar que la serie es convergente y que el valor de la suma infinita es
1 +
24 +^ · · ·^ =^
Ejemplo 38 Queremos calcular el valor de la suma infinita
2 + 3 +^9 2
+^27
+^81
+^243
Para saber si los sumandos son los t´erminos de la sucesi´on geom´etrica, calculamos los cocientes
3 2 =
9 2 3 =
27 4 9 2
81 8 27 4
243 16 81 8
2 = 1.^5
En este caso la raz´on r = 32 no cumple cumple la condici´on (8), por lo que la serie es divergente. Puesto que se trata de una serie de t´erminos positivos, podemos escribir
2 + 3 +
