¡Descarga Apunts Còniques maple upc eebe y más Esquemas y mapas conceptuales en PDF de Cálculo solo en Docsity!
EXERCICIS DEL QÜESTIONARI DE CÒNIQUES
Exercici 1 - Completació de quadrats restart; ?Student[Precalculus][CompleteSquare] Student[Precalculus]:-CompleteSquare(x^2-4x+y^2-6y+15,[x,y]); y L 3 2 C x L 2 2 C 2 És interessant també saber fer l'exercici a mà. Per això usem la tècnica de completació de quadrats intentant obtenir els terms marcats en vermell i verd: x 2 L 4 x C y 2 L 6 y C 15 x L 2 2 = x 2 L 4 x C 4 → x 2 L 4 x = x L 2 2 L 4 y L 3 2 = y 2 L 6 y C 9 → y 2 L 6 y = y L 3 2 L 9 Un cop tenim aquests dos termes, arreglem la constant: 15 L 4 L 9 = 2 Per tant tenim: x 2 L 4 x C y 2 L 6 y C 15 = x L 2 2 C y L 3 2 C 2 Exercici 2 - Completació de quadrats restart; Student[Precalculus]:-CompleteSquare(5x^2-20x+2y^2-24y+95, [x,y]); 2 y L 6 2 C 5 x L 2 2 C 3 Si ho fem a mà, aquest exercici es fa igual que l'exercici anterior, però primer cal treure factor comú
de les constants que multipliquen els termes quadràtics: 5 x 2 L 20 x C 2 y 2 L 24 y C 95 = 5 x 2 L 4 x C 2 y 2 L 12 y C 95 = 5 x L 2 2 L 5 $ 4 C 2 y L 6 2 L 2 $ 36 C 95 = 5 x L 2 2 C 2 y L 6 2 C 95 L 20 L 72 = 5 x L 2 2 C 2 y L 6 2 C 3 Exercici 3 - Circumferència restart; ?Student[Precalculus][ConicsTutor] Student[Precalculus][ConicsTutor](x^2-16x+y^2-14y+112=0, output=plot);
Aquest exercici també s'hagués pogut fer a mà considerant la definició d'una circumferència i trobant l'equació reduïda mitjançant la tècnica de completació de quadrats: Student[Precalculus]:-CompleteSquare(x^2-16x+y^2-14y+112=0, [x,y]); y L 7 2 C x L 8 2 L 1 = 0 x0:=7; y0:=8; r:=1; x0 d 7 y0 d 8 r d 1 Exercici 4 - Paràbola
restart; with(geometry): eq1:=y=1/36x^2+1/2x+37/4; eq1 d y =
x 2 C
x C
conic(c1,eq1,[x,y]): form(c1); parabola2d detail(c1); name of the object c form of the object parabola2d vertex L9, 7 focus L9, 16 directrix y C 2 = 0 equation of the parabola y L
x 2 L
x L
Student[Precalculus]ConicsTutor; class: parabola eccentricity: 1
y0 d 7 Eix:=x=x0; Eix d x = L 9 TALLS: els talls són els punts on la paràbola talla l'eix OX, és a dir, els punts de la paràbola que tenen y = 0. Els podem trobar utilitzant la comanda solve després d'imposar que y = 0 en l'equació que ens han donat. solve(0=1/36x^2+1/2x+37/4); L 9 L 6 I 7 , L 9 C 6 I 7 Exercici 5 - El·lipse restart; with(geometry): eq1:=1/36x^2-1/2x+1/9y^2-10/9y-143/36=0; eq1 d
x 2 L
x C
y 2 L
y L
conic(c1,eq1,[x,y]): form(c1); ellipse2d detail(c1); name of the object c form of the object ellipse2d center 9, 5 foci 9 L 9 3 , 5 , 9 C 9 3 , 5 length of the major axis 36 length of the minor axis 18 equation of the ellipse
x 2 L
x C
y 2 L
y L
Student[Precalculus]ConicsTutor; class: ellipse eccentricity:. semimajor axis (a): 18 semiminor axis (b): 9 latus rectum: 9 vertices: [(-9,5), (27,5)] foci: [(-6.59,5.), (24.6,5.)] center (h,k): (9,5) directrix: x = 29.
v4:=[x0,y0-b]; v1 d L27, 7 v2 d L9, 16 v3 d 9, 7 v4 d L9, L 2 Exercici 6 - Hipèrbola restart; with(geometry): eq1:=1/81x^2+2/81x-1/4y^2+7/2y-5261/324=0; eq1 d
x 2 C
x L
y 2 C
y L
conic(c1,eq1,[x,y]):
>> form(c1); hyperbola2d detail(c1); name of the object c form of the object hyperbola2d center L1, 7 foci L 1 L 2 85 , 7 , L 1 C 2 85 , 7 vertices L19, 7 , 17, 7 the asymptotes y C 2 x 9
L
= 0, y L 2 x 9
L
equation of the hyperbola
x 2 C
x L
y 2 C
y L
Student[Precalculus]ConicsTutor; class: hyperbola eccentricity: 1. semimajor axis (a): 18 semiminor axis (b): 4 latus rectum: 16/ vertices: [(-19,7), (17,7)] foci: [(-19.4,7.), (17.4,7.)] center (h,k): (-1,7) directrix: x = 16.
isolate(%,y); y L 2 x 9
L
y = 2 x 9
C
Recordeu que donada una hipèrbola de la forma les assímptotes es calculen segons. És a dir, el terme independent enlloc de 1 passa a ser 0 i treiem els quadrats. Finalment el signe - passa a ser G. Student[Precalculus]:-CompleteSquare(eq1,[x,y]); L y L 7 2 4
C
x C 1 2 81
L 4 = 0
L
y L 7 2 4
C
x C 1 2 81
= 4 → L
y L 7 2 4 $ 4
C
x C 1 2 4 $ 81
= 1→ L
y L 7 2 $ 2
G
x C 1 2 $ 9
isolate(-(y - 7)/(22) + (&+- ((x + 1)/(29))) = 0,y); y = 7 G 4 x 18
C
Exercici 7 - Equacions a partir de dades Aquest exercici, tot i que es pot fer amb Maple, és molt més senzill fer-lo a mà tenint en compte les definicions de les còniques, i només utilitzar Maple per simplificar les expressions.
Paràbola de vèrtex (-8,-8) i focus (-8,-3) Com determinar la paràbola que té com a vèrtex x 0 , y 0 i focus x 1 , y 1 A mà Si l'eix de la paràbola es vertical tal i com teniu als apunts es pot fer a mà: vèrtex x 0 , y 0 focus x 1 , y 1 = x 0 , y 0 C c si l'eix és vertical, llavors x 1 = x 0 i c = y 1 L y 0 un cop calculat c, utilitzem l'equació x L x 2 = 4 c y L y restart; vert := [-8,-8]; x0 := vert[1]; y0 := vert[2]; vert d L8, L 8 x0 d L 8 y0 d L 8 foc := [-8,-3]; c := foc[2] - y0; foc d L8, L 3 c d 5 eq:=(x-x0)^2=4c(y-y0); eq d x C 8 2 = 20 y C 160 expand( (x-x0)^2-4c(y-y0) ); x 2 C 16 x L 20 y L 96
eq d x C 8 2 64
C
y C 8 2 9
eq1:=expand( lhs(eq)-rhs(eq)=0 ); eq1 d
x 2 C
x C
C
y 2 C
y = 0 eq1/coeff(lhs(eq1),x,2); x 2 C 16 x C
C
y 2 C
y = 0 També es podria fer directament amb la comanda ellipse però en aquest cas seria més complicat perquè les opcions que tenim són: ellipse(p, [A,B,C,E,F], n) ellipse(p, ['directrix'=dir, 'focus'=fou, 'eccentricity'=ecc], n) ellipse(p, ['foci'=foi, 'MajorAxis'=lma], n) ellipse(p, ['foci'=foi, 'MinorAxis'=lmi], n) ellipse(p, ['foci'=foi, 'distance'=dis], n) ellipse(p, ['MajorAxis'=ep1, 'MinorAxis'=ep2], n) ellipse(p, eqn, n ) Per tant, per exemple, hauríem de donar els focus i a o b. Per exemple: restart; with(geometry): cent := [-8,-8]; x0 := cent[1]; y0 := cent[2]; a:=8; b:=3; c:=sqrt(a^2-b^2): cent d L8, L 8 x0 d L 8 y0 d L 8 a d 8 b d 3 point(F1,x0+c,y0): point(F2,x0-c,y0): coordinates(F1); coordinates(F2); L 8 C 55 , L 8 L 8 L 55 , L 8 ellipse(p, ['foci'=[F1,F2], 'MajorAxis'=2*a], [x,y]);
p eq1:=Equation(p); eq1 d 144 x 2 C 1024 y 2 C 2304 x C 16384 y C 65536 = 0 eq1/coeff(lhs(eq1),x,2); x 2 C 16 x C
C
y 2 C
y = 0 Circumferència de centre (1,3) i radi r= De nou, aquest exercici és més senzill fer-lo a mà restart; cent := [1,3]; x0 := cent[1]; y0 := cent[2]; cent d 1, 3 x0 d 1 y0 d 3 r:=9; r d 9 eq:=(x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2; eq d x L 1 2 C y L 3 2 = 81 eq1:=expand( lhs(eq)-rhs(eq)=0 ); eq1 d x 2 C y 2 L 2 x L 6 y L 71 = 0 eq1/coeff(lhs(eq1),x,2); x 2 C y 2 L 2 x L 6 y L 71 = 0 També es podria fer directament amb la comanda ellipse prenent a = b = r però de nou seria bastant més complicat. Hipèrbola de centre (-4,-7) i semieixos a=5 i b= De nou, aquest exercici és més senzill fer-lo a mà restart; cent := [-4,-7]; x0 := cent[1]; y0 := cent[2]; cent d L4, L 7 x0 d L 4 y0 d L 7
Aquest exercici es fa com l'exercici anterior però ara les dades les hem de treure de la gràfica. De nou, és millor fer aquest exercici a mà, utilitzant les definicions de les còniques. Paràbola de vèrtex x 0 , y 0 = (-10,-2) i recta directriu y = y 0 L c =L 4 → c = y 0 C 4 = 2. restart; x0:=-10; y0:=-2; c:=2; x0 d L 10 y0 d L 2 c d 2 eq:=(x-x0)^2=4c(y-y0); eq d x C 10 2 = 8 y C 16 expand( (x-x0)^2-4c(y-y0) ); x 2 C 20 x L 8 y C 84 El·lipse de centre x 0 , y 0 = (-10,-2) i a = 10, b = 2 restart; x0 := -10; y0 := -2; a:=10; b:=2; x0 d L 10 y0 d L 2 a d 10
