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Capítulo 8
Series numéricas
8.1. Definición y primeras propiedades
Informalmente, una serie es una suma de infinitos sumandos (ver antecedentes históricos y co- mentarios en [ A POSTOL 1 , cap. 10] y en [ D URÁN , pág. 184 y sigs.]). Estas sumas se usan implícitamente, por ejemplo, al considerar desarrollos decimales ilimitados de los números reales: así, la igualdad 7 3 =^2 ,^333...^ significa 7 3 =^2 +^
10 +^
100 +^
1000 +^... ,
suma con infinitos sumandos de la forma 3 10 n^
, n ∈ N. En general, consideraremos una sucesión cual-
quiera (a (^) n ) y su suma (^) ∑∞ n= 1 an. ¿Qué sentido habrá que darle a esta suma? La respuesta se impone de
modo natural: (^) ∑∞ n= 1 a (^) n tiene que ser l´ mım→∞
m
n= 1
a (^) n. Analizando el proceso anterior, se trata de formar mediante la sucesión de sumandos (a (^) n ) una nueva sucesión de sumas (s (^) m ) dada por s (^) m = a 1 + a 2 + · · · + am , m ∈ N, y determinar el límite (si existe) de esta última sucesión. Esquemáticamente:
lugar 1 2 3 4... n... término a 1 a 2 a 3 a 4... an... suma a 1 a 1 + a 2 a 1 + a 2 + a 3 a 1 + a 2 + a 3 + a 4... a 1 + · · · + an... →?
Ahora bien: si, en definitiva, vamos a parar al estudio de la convergencia de una sucesión, ¿qué novedad vamos a encontrar respecto a lo que ya sabemos de sucesiones? El cambio radica en el punto de partida: tomando como dato la sucesión de sumandos (an), nos planteamos determinar propiedades de la sucesión de sumas (sn) basándonos en propiedades de los términos an. Pasemos a formalizar estas ideas.
8.1.1. Series: términos y sumas parciales. Series convergentes, divergentes y oscilantes
Definición 8.1.1. Una serie (^) ∑∞ n= 1 an es un par ordenado de sucesiones ((an ), (s (^) n )) relacionadas por la condición de que para cada n ∈ N es
sn = a 1 + a 2 + · · · + a (^) n.
171
172 Capítulo 8. Series numéricas
El término n-ésimo de la primera sucesión, a (^) n , recibe el nombre de término n -ésimo de la serie; el término n-ésimo de la segunda sucesión, sn , recibe el nombre de suma parcial n -ésima de la serie. Se dice que la serie (^) ∑∞ n= 1 a (^) n es convergente si la sucesión (sn ) de sus sumas parciales es conver- gente, es decir, si
∃ l´ım m s (^) m = l´ım m
m ∑ n= 1
an ∈ R.
Decimos que la serie (^) ∑∞ n= 1 an es divergente a +∞, divergente a −∞ u oscilante si la sucesión de sus sumas parciales es divergente a +∞, divergente a −∞ u oscilante, respectivamente. Si una serie ∑ ∞ n= 1 an es convergente, se llama suma de dicha serie al límite de la sucesión de sus sumas parciales; si la serie diverge a +∞ o a −∞, se dice que su suma es +∞ o −∞, respectivamente. Con un abuso de notación que no suele conducir a error, se denota la suma con el mismo símbolo que la serie. Es decir, se escribe (^) ∞
∑ n= 1
an = l´ım m
m ∑ n= 1
an ,
cuando este límite existe.
Nota. A veces es cómodo considerar series de la forma (^) ∑∞ n=m a (^) n , donde m es un número entero: las sumas parciales serán entonces s 1 = a (^) m , s 2 = a (^) m + am+ 1 ,... , s (^) n = a (^) m + · · · + am+n− 1 ,... Se utiliza también la notación am + am+ 1 + · · · + an + · · · en vez de (^) ∑∞ n=m an y, cuando no da lugar a confusión, se abrevia en ∑ an.
Ejemplo. Una serie (^) ∑∞ n= 1 a (^) n es una serie geométrica si existe un r ∈ R tal que para todo n ∈ N es a (^) n+ 1 = ran (o a (^) n+ 1 /a (^) n = r si a 1 %= 0); de otro modo, si es de la forma (^) ∑∞ n= 0 ar n^. Si s (^) n es su suma parcial n-ésima, se tendrá
sn = a + ar + · · · + ar n−^1 =
a 11 −−rr^ n si r %= 1 an si r = 1
Excluyendo el caso trivial a = 0, se sigue:
a) si |r| < 1, la serie
∞ ∑ n= 0
ar n^ es convergente y la suma es (^1) −a r ;
b) si r ≥ 1, la serie es divergente a +∞ (si a > 0) o a −∞ (si a < 0); c) si r = −1, la serie es oscilante, aunque las sumas parciales están acotadas;
d) si r < −1, la serie es oscilante y las sumas parciales tienden, en valor absoluto, a +∞.
Ejemplo. La serie (^) ∞
∑ n= 1
n
se llama serie armónica Se comprueba que, para cada n, su suma parcial n-ésima, denotada habitual- mente por Hn , cumple
Hn =
n ∑ k= 1
k ≥
n ∑ k= 1
∫ (^) k+ 1 k
dx x =
∫ (^) n+ 1 1
dx x =^ log(n^ +^1 ),
luego la serie armónica diverge a +∞ a pesar de que l´ım n
n =^ 0.
174 Capítulo 8. Series numéricas
8.1.3. Series telescópicas
Proposición 8.1.5. Sean (a (^) n ) y (b (^) n ) dos sucesiones de números reales tales que para todo n ∈ N se cumple a (^) n = b (^) n − bn+ 1.
Entonces la serie (^) ∑∞ n= 1 an (denominada serie telescópica ) es convergente si y solo si la sucesión (bn ) tiene límite real, en cuyo caso tenemos ∞ ∑ n= 1
a (^) n = b 1 − l´ım n b (^) n.
Demostración. Basta tener en cuenta que las sumas parciales de la serie (^) ∑∞ n= 1 a (^) n son
sN =
N ∑ n= 1
a (^) n = (b 1 − b 2 ) + (b 2 − b 3 ) + · · · + (b (^) N− 1 − b (^) N ) + (bN − bN+ 1 ) = b 1 − bN+ 1.
Ejemplo. Si an =
n(n + 1 ) =^
n −^
n + 1 ,^ entonces^ la^ suma^ parcial^ N-ésima^ es^ simplemente
SN =
N ∑ n= 1
n(n + 1 )
N ∑ n= 1
n
n + 1
N + 1
con lo que l´ım N SN = 1. Es decir, la serie (^) ∑∞ n= 1 an converge y su suma es 1:
∞ ∑ n= 1
n(n + 1 ) =^1.
Ejemplo. Sea ahora an = log
n
. La suma parcial de orden N es
N ∑ n= 1
an =
N ∑ n= 1
log
n
N ∑ n= 1
log(n + 1 ) − log n
= log(N + 1 ) − log 1 = log(N + 1 )
y tiende a +∞. Es decir, la serie
∞ ∑ n= 1
log
n
diverge a +∞.
Nota. Toda serie (^) ∑∞ n= 1 an se puede ver trivialmente como una serie telescópica: basta poner
b 1 = 0 , bn+ 1 = −(a 1 + a 2 + · · · + an) (n ∈ N),
lo que no añade nada interesante al estudio de la serie. Como es obvio, el resultado que hemos obtenido solo es útil cuando la sucesión (bn) es una sucesión conocida, cuyo comportamiento sabemos de antemano.
8.1.4. Condición necesaria para la convergencia de una serie. Condición general de
convergencia de Cauchy
Proposición 8.1.6 (condición necesaria para la convergencia de una serie). Si la serie (^) ∑∞ n= 1 an converge, necesariamente l´ım n an = 0.
8.2. Series de términos no negativos 175
Demostración. Si (sN ) es la sucesión de las sumas parciales, es decir,
sN =
N ∑ n= 1
an,
entonces ∃ l´ım N sN ∈ R.
Como aN = sN − sN− 1 , se deduce que
l´ım N aN = l´ım N sN − l´ım N sN− 1 = 0.
Esta condición no es suficiente para la convergencia de una serie: veremos numerosos ejemplos de series no convergentes cuya sucesión de términos tiende a 0; el más sencillo es quizá la serie armónica
∞ ∑ n= 1
n
n
que ya hemos estudiado.
Teorema 8.1.7 (condición de Cauchy para la convergencia de una serie). Una serie (^) ∑∞ n= 1 an es convergente si y solo si para cada ε > 0 existe un N = N(ε) tal que para cualesquiera m,n ∈ N con m ≥ n > N se cumple (^) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
m ∑ k=n
ak
∣ <^ ε.
Demostración. La serie es convergente si y solo si lo es la sucesión (sn) de sus sumas parciales, lo que equivale a que (sn) sea una sucesión de Cauchy, y esto a su vez es es equivalente a que para cada ε > 0 exista un N = N(ε) tal que para cualesquiera m, n ∈ N con m ≥ n > N sea |sm − sn− 1 | < ε; pero
sm − sn− 1 =
m ∑ k= 1
ak −
n− 1 ∑ k= 1
ak =
m ∑ k=n
ak.
8.2. Series de términos no negativos
8.2.1. Convergencia de una serie de términos no negativos. Criterios de comparación
El estudio del carácter de una serie se simplifica cuando esta es de términos no negativos.
Proposición 8.2.1. Sea (^) ∑∞ n= 1 an una serie tal que an ≥ 0 para cada n ∈ N. Entonces (^) ∑∞ n= 1 an converge si y solo si la sucesión (sn) de sus sumas parciales está acotada superiormente. En caso contrario, la serie diverge a +∞.
Demostración. Puesto que para cada n ∈ N es
sn+ 1 − sn = an+ 1 ≥ 0 ,
la sucesión (sn) es monótona no decreciente. Luego o bien está acotada superiormente y converge, o bien no está acotada superiormente y diverge a +∞.
8.2. Series de términos no negativos 177
a) Si R < 1 , la serie (^) ∑∞ n= 1 an es convergente. b) Si R > 1 , entonces an %→ 0 y la serie (^) ∑∞ n= 1 an es divergente. Un complemento interesante del criterio del cociente es el criterio de Raabe.
Proposición 8.2.7 (criterio de Raabe). Sea (^) ∑∞ n= 1 a (^) n una serie de términos no negativos tal que existe R = (^) nl´ım→∞ n( 1 − an+^1 a (^) n
). Entonces:
a) Si R > 1 , la serie (^) ∑∞ n= 1 an es convergente. b) Si R < 1 , la serie (^) ∑∞ n= 1 an diverge a +∞.
Demostración. Ver [ G ARAY-C UADRA -A LFARO , teor. 5.28, págs. 101–102].
8.2.2. Otros criterios. Convergencia de algunas series de términos no negativos
Proposición 8.2.8 (criterio de la integral). Sea f : [ 1 , +∞) → [ 0 , +∞) no creciente. Entonces:
a) La integral impropia
∫ (^) +∞ 1
f es convergente si y solo si la serie
∞ ∑ n= 1
f (n) converge.
b) Existe C = l´ım n
( (^) n ∑ k= 1
f (k) −
∫ (^) n 1
f
∈ [ 0 , +∞).
c) Para cada n ∈ N se tiene
n ∑ k= 1
f (k) =
∫ (^) n 1
f +C + εn, con 0 ≤ εn ≤ f (n) − (^) x→l´ım+∞ f (x).
Demostración. Para cada n ∈ N, pongamos
sn =
n ∑ k= 1
f (k), tn =
∫ (^) n 1
f , dn = sn − tn.
Entonces
dn =
n ∑ k= 1
f (k) −
n− 1 ∑ k= 1
∫ (^) k+ 1 k
f = f (n) +
n− 1 ∑ k= 1
f (k) −
∫ (^) k+ 1 k
f (x) dx
= f (n) +
n− 1 ∑ k= 1
∫ (^) k+ 1 k
[ f (k) − f (x)] dx ≥ 0.
Como
dn − dn+ 1 = sn − tn − sn+ 1 + tn+ 1 =
∫ (^) n+ 1
n
f (x) dx − f (n + 1 )
=
∫ (^) n+ 1 n
[ f (x) − f (n + 1 )] dx ≥ 0 ,
se sigue que (dn) es monótona no creciente y acotada inferiormente por 0, con lo que existe C = l´ım n dn ∈ [ 0 , +∞) y, en consecuencia, (sn) y (tn) serán simultáneamente convergentes o divergentes.
Puesto que f ≥ 0, la convergencia de (tn) equivale asimismo a la de la integral
∫ (^) +∞ 1 f^ , luego esta integral converge si y solo si converge la serie (^) ∑∞ n= 1 f (n). Con esto hemos demostrado a) y b).
178 Capítulo 8. Series numéricas
En cuanto a c), la igualdad se cumple trivialmente si definimos εn = s (^) n − tn −C = dn −C; lo que hay que probar es que 0 ≤ εn ≤ f (n) − (^) x→l´ım+∞ f (x).
Observemos que
0 ≤ dn − dn+ 1 =
∫ (^) n+ 1 n
f (x) dx − f (n + 1 ) ≤
∫ (^) n+ 1 n
f (n) dx − f (n + 1 ) = f (n) − f (n + 1 ).
Reiterando, para cualquier número natural m > n resulta:
0 ≤ dn − d (^) n+ 1 ≤ f (n) − f (n + 1 ), 0 ≤ d (^) n+ 1 − d (^) n+ 2 ≤ f (n + 1 ) − f (n + 2 ),
... 0 ≤ d (^) m− 1 − dm ≤ f (m − 1 ) − f (m).
Al sumar las desigualdades resulta que
0 ≤ d (^) n − dm ≤ f (n) − f (m).
Pasando al límite en m, y teniendo en cuenta que (^) x→l´ım+∞ f (x) existe por ser f monótona no creciente,
obtenemos 0 ≤ dn −C ≤ f (n) − (^) x→l´ım+∞ f (x).
Como εn = dn −C, hemos terminado la demostración.
Aplicaciones. a) La constante γ de Euler. Aplicando los resultados que acabamos de obtener a la función f dada por f (x) = 1 /x y teniendo en cuenta que ∫ (^) n 1
x
dx = log n,
podemos escribir la suma parcial n-ésima de la serie armónica como
Hn =
n ∑ k= 1
k
= log n + γ + εn,
donde 0 ≤ εn ≤ 1 /n y
γ = l´ım n
( (^) n ∑ k= 1
k
− log n
es un número introducido por Euler en 1734 en el estudio de la función Γ, definida también por él. Euler obtuvo sus dieciséis primeras cifras decimales en 1781. No se sabe todavía si es un número racional o irracional (ver [ L E L IONNAIS , pág. 28]). b) La función ζ de Riemann. El criterio 8.2.8 de la integral permite comprobar fácilmente que la serie (^) ∞
∑ n= 1
ns
converge si y solo si s > 1. La función
ζ (s) =
∞ ∑ n= 1
ns^
, s > 1 ,
180 Capítulo 8. Series numéricas
Demostración. Obsérvese que dado k ∈ N, la diferencia
−(s 2 k+ 1 − s 2 k− 1 ) = a 2 k − a 2 k+ 1
es mayor o igual que 0 por ser (an) decreciente, y menor o igual que a 2 k por ser a 2 k+ 1 ≥ 0, lo que da (8.1) en el caso n = 2 k − 1. Para n = 2 k es
s 2 k+ 2 − s 2 k = a 2 k+ 1 − a 2 k+ 2 ,
que análogamente es mayor o igual que 0 y menor o igual que a 2 k+ 1 , lo que completa la prueba de (8.1) para todos los casos. Además, hemos obtenido que (s 2 k) es una sucesión no decreciente. Como
s 2 k = a 1 − [(a 2 − a 3 ) + · · · + (a 2 k− 2 − a 2 k− 1 ) + a 2 k] ≤ a 1 ,
(s 2 k) está acotada superiormente, luego es convergente. Sea s su límite. Puesto que
s 2 k− 1 = s 2 k + a 2 k
y a 2 k → 0, resulta que
l´ım k s 2 k− 1 = l´ım k (s 2 k + a 2 k) = l´ım k s 2 k + l´ım k a 2 k = s + 0 = s.
Es decir: tanto la subsucesión de términos pares como la de términos impares de (sn) son convergentes con límite s. Esto permite afirmar que (sn) es convergente con límite s, es decir, que (^) ∑+ n=∞ 1 xn = s. Finalmente, puesto que para cada n ∈ N es
s = x 1 + · · · + xn +
+∞ ∑ k=n+ 1
xk = sn +
+∞ ∑ k=n+ 1
(− 1 )k+^1 ak,
se sigue que
(− 1 )n(s − sn) =
+∞ ∑ k=n+ 1
(− 1 )n+k+^1 ak
= an+ 1 − an+ 2 + l´ım m [(an+ 3 − an+ 4 ) + · · · + (an+ 2 m+ 1 − an+ 2 m+ 2 )] ≥ an+ 1 − an+ 2 ≥ 0
y que
(− 1 )n(s − sn) =
+∞ ∑ k=n+ 1
(− 1 )n+k+^1 ak
= an+ 1 − l´ım m [(an+ 2 − an+ 3 ) + · · · + (an+ 2 m − an+ 2 m+ 1 )] ≤ an+ 1 ,
lo que prueba (8.2).
Ejemplo. La serie armónica alternada
∞ ∑ n= 1
(− 1 )n−^1 n
8.3. Series de términos cualesquiera 181
es convergente. Además, su suma se calcula fácilmente utilizando la constante de Euler. En efecto: para cada n ∈ N, sumando y restando términos, se tiene
2 n ∑ k= 1
(− 1 )k+^1 k =^1 −^
2 +^
3 −^
4 +^ · · ·^ +^
2 n − 1 −^
2 n
= 1 + 12 + 13 + 14 + · · · + (^2) n^1 − 1 + (^21) n − 2
2 +^
4 +^ · · ·^ +^
2 n
= H 2 n − Hn = log 2n + γ + ε 2 n − log n − γ − εn = log 2 + ε 2 n − εn.
Como sabemos ya que la serie armónica alternada es convergente, podemos escribir:
+∞ ∑ k= 1
(− 1 )k+^1 k =^ l´ım^ m
m ∑ k= 1
(− 1 )k+^1 k =^ l´ım^ n
2 n ∑ k= 1
(− 1 )k+^1 k =^ log 2.
Ejemplo. La serie ∞ ∑ n= 2
(− 1 )n^ log n n
es convergente. En efecto, es fácil comprobar que la función f (x) = log^ x x
es decreciente en [ 3 , +∞)
(por ejemplo, calculando f ′^ ). Además,
log n n ≥^ 0 y
log n n →^ 0. De aquí se deduce que la serie converge, sumando desde n = 3, y por lo tanto también sumando desde n = 2..
8.3.2. Series absolutamente convergentes
Definición 8.3.2. Una serie ∑∞ n= 1 a (^) n se dice absolutamente convergente si la serie ∑∞ n= 1 |an | es con- vergente.
El ejemplo más sencillo de serie convergente que no converge absolutamente es la serie armónica alternada.
Observación. Si (^) ∑∞ n= 1 an y (^) ∑∞ n= 1 bn son dos series absolutamente convergentes y r, s ∈ R, entonces la serie (^) ∑∞ n= 1 (ran + sb (^) n ) también es absolutamente convergente. Esto se deduce de la desigualdad |ran + sbn | ≤ |r||an | + |s||b (^) n | y el criterio 8.2.2 de mayoración.
Definición 8.3.3. Para un número real cualquiera x, escribamos
x +^ = m´ax{x, 0 }, x −^ = m´ax{−x, 0 }. (8.3)
Es fácil comprobar que |x| = x +^ + x −^ , x = x +^ − x −^ , x +^ ≥ 0 , x −^ ≥ 0.
Proposición 8.3.4. Toda serie absolutamente convergente es convergente: dicho de otro modo, si ∑∞ n= 1 |an | converge, entonces la serie ∑∞ n= 1 a (^) n también converge. Y en ese caso, ∣∣ ∣∣ ∣
∞ ∑ n= 1
a (^) n
∞ ∑ n= 1
|an |.
8.4. Propiedad conmutativa para series 183
Como 0 < c < 1, la serie geométrica (^) ∑∞ n=n 0 cn^ converge y por lo tanto la serie (^) ∑∞ n=n 0 |an | converge, y la serie (^) ∑∞ n= 1 |a (^) n | también converge. b) Supongamos que R > 1. Entonces existirá algún n 0 tal que |a|nan+ |^1 |≥ 1 para todo n ≥ n 0. Por lo tanto, |a (^) n+ 1 | ≥ |an |, n ≥ n 0.
Entonces, la sucesión |a (^) n | no tiende a 0 (es no decreciente), luego an %→ 0 y la serie (^) ∑∞ n= 1 an no es convergente.
8.3.4. Criterios de convergencia de Abel y Dirichlet
El criterio 8.3.1 de Leibniz nos ha permitido encontrar series que convergen pero no absolutamen- te. Para ampliar la lista de criterios que no se refieren a la convergencia absoluta añadimos los más conocidos, de Abel y Dirichlet, que se obtienen de una interesante fórmula de sumación por partes:
Lema 8.3.7 (fórmula de sumación por partes de Abel). Sean (an)∞ n= 1 , (bn)∞ n= 1 dos sucesiones arbi- trarias, y llamemos, para cada n,
An =
n ∑ k= 1
ak
(suma parcial n-ésima de la serie (^) ∑∞ n= 1 an) Entonces
n ∑ k= 1
akbk = Anbn+ 1 +
n ∑ k= 1
Ak(bk − bk+ 1 )
cualquiera que sea n ∈ N.
Demostración. Ver [ A POSTOL 1 , pág. 497].
Proposición 8.3.8 (criterio de Abel). Si (an)∞ n= 1 es una sucesión monótona y acotada, y (^) ∑∞ n= 1 bn es una serie convergente, la serie (^) ∑∞ n= 1 anbn es convergente.
Demostración. Ver [ A POSTOL 1 , pág. 498].
Proposición 8.3.9 (criterio de Dirichlet). Si (an)∞ n= 1 es una sucesión monótona que converge a 0 , y ∑∞ n= 1 bn es^ una^ serie^ cuya^ sucesión^ de^ sumas^ parciales^ está^ acotada,^ la^ serie^ ∑∞ n= 1 anbn es^ convergente.
Demostración. Ver [ A POSTOL 1 , págs. 497–498].
8.4. Propiedad conmutativa para series
¿Qué sucede cuando en una serie se cambia el orden de los sumandos? Se puede demsotrar que las únicas series inalterables por estos cambios son las absolutamente convergentes; en general, pues, las series no mantienen la propiedad conmutativa de las sumas finitas. Precisemos estos conceptos.
Definición 8.4.1. Dada una serie (^) ∑∞ n= 1 an, se dice que otra serie (^) ∑∞ n= 1 bn es una reordenación suya si existe una aplicación biyectiva r : N → N tal que, para cada n ∈ N,
bn = ar(n).
Nótese que, recíprocamente, (^) ∑∞ n= 1 an es una reordenación de (^) ∑∞ n= 1 bn, pues la inversa r−^1 es igual- mente una biyección.
184 Capítulo 8. Series numéricas
Informalmente, una serie es una reordenación de otra si tiene exactamente los mismos términos, pero en otro orden. Que una serie tenga la propiedad conmutativa significará, así, que tenga suma y que cualquier reordenación suya tenga la misma suma. Vamos a dar un nombre especial a las series convergentes con la propiedad conmutativa.
Definición 8.4.2. Una serie se denomina incondicionalmente convergente si es convergente y si toda reordenación suya es asimismo convergente, y con la misma suma. Decimos que una serie es condicionalmente convergente si es convergente pero no incondicio- nalmente convergente, de modo que alguna reordenación suya o bien no es convergente o converge a una suma distinta.
Lema 8.4.3. Dada una serie (^) ∑∞ n= 1 a (^) n de términos no negativos y una reordenación suya (^) ∑∞ n= 1 b (^) n , se tiene:
a) si ∑∞ n= 1 a (^) n es convergente con suma s, también ∑∞ n= 1 b (^) n es convergente con suma s. b) si (^) ∑∞ n= 1 a (^) n es divergente a +∞, también (^) ∑∞ n= 1 b (^) n es divergente a +∞.
Demostración. a) Sea r : N → N tal que b (^) n = ar(n) para cada n ∈ N. Para cada n ∈ N definamos
m(n) = m´ax{r( 1 ), r( 2 ),... , r(n)}.
Denotando con t (^) n la suma parcial n-ésima de (^) ∑∞ n= 1 b (^) n será entonces
t (^) n = ar( 1 ) + a (^) r( 2 ) + · · · + a (^) r(n) ≤ a 1 + a 2 + · · · + a (^) m(n) ≤ s,
lo que prueba que (^) ∑∞ n= 1 bn es convergente con suma menor o igual que s. Como a su vez (^) ∑∞ n= 1 an es una reordenación de (^) ∑∞ n= 1 bn , por el mismo motivo su suma será menor o igual que la suma de (^) ∑∞ n= 1 bn , lo que implica la igualdad entre ambas sumas. b) En caso contrario, ∑∞ n= 1 bn sería convergente y entonces ∑∞ n= 1 a (^) n , reordenación suya, también convergería.
Proposición 8.4.4. Toda serie absolutamente convergente es incondicionalmente convergente.
Demostración. Si la serie (^) ∑∞ n= 1 |an| converge, aplicamos el lema 8.4.3 a las series (^) ∑∞ n= 1 a+ n y (^) ∑∞ n= 1 a− n (que también convergen) y por último recordamos que an = a+ n − a− n.
El recíproco también es cierto: más aún, una serie convergente que no converja absolutamente po- see reordenaciones que van a parar donde se desee: convergentes con suma arbitrariamente prefijada, divergentes a +∞, divergentes a −∞, oscilantes a capricho. Este es el contenido de un célebre teorema de Riemann.
Teorema 8.4.5 (de Riemann). Si una serie es convergente pero no absolutamente convergente, para cada! ∈ [−∞, +∞] existe una reordenación suya con suma !; en general, dados! 1 ,! 2 ,... , !k, existe una reordenación cuya sucesión de sumas parciales contiene subsucesiones que convergen a! 1 ,! 2 ,
... , !k.
Demostración. Ver [ G ARAY-C UADRA -A LFARO , teor. 5.33, pág. 105], [ O RTEGA , teor. 9.20, pág. 303].
Corolario 8.4.6 (teorema de Dirichlet). Una serie es incondicionalmente convergente si y solo si es absolutamente convergente.
186 Capítulo 8. Series numéricas
Reordenadas de la serie armónica alternada
En algunos casos pueden hallarse expresiones simplificadas de ciertas sumas parciales en términos de Hn , y deducir así el comportamiento de la serie.
Series que se reducen a la exponencial
Partiendo de que para todo x ∈ R es
∞ ∑ n= 0
x n n! =^ e^
x (^) , se pueden sumar series de la forma (^) ∑ P(n) n! x^
n (^) ,
donde P es un polinomio de grado m, sin más que reescribir
P(n) = a 0 n(n − 1 ) · · · (n − m + 1 ) + a 1 n(n − 1 ) · · · (n − m + 2 ) + · · · + am− 1 n + am
para coeficientes a 0 ,... , a (^) m adecuados, y observar que
n(n − 1 ) · · · (n − k) n! =^
(n − k − 1 )! ,
si n > k.
8.6. Ejercicios
Ejercicio 8.1. Escribiéndolas como series telescópicas, estudiar las siguientes series:
a)
∞ ∑ n= 1
2 n^
· n^ +^2 n(n + 1 )
(descomponer n^ +^2 n(n + 1 )
en fracciones simples).
b)
∞ ∑ n= 1
3 n^ sen^3 a 3 n^
(obsérvese que sen x = 3 sen x 3
− 4 sen 3 x 3
c)
∞ ∑ n= 1
2 n−^1 tg^2 a 2 n^
tg a 2 n−^1
(utilizar que tg x =
2 tg
x 2 1 − tg^2 x 2
d)
∞ ∑ n= 1
sen^1 2 n^
cos^3 2 n^
(tener en cuenta que cos x sen y = 1 2
[sen(x + y) − sen(x − y)]).
e)
∞ ∑ n= 1
4 n^ cos 2 (x/ 2 n^ )
(0 < x < π/2; usar que 1 4 cos 2 a
sen 2 2 a
4 sen 2 a
Ejercicio 8.2. Estudiar el carácter de las series de término general:
a) sen
(^4) n n 2
b) √^1 n − 2 / 3
c) 1 +^ n
2 n!
d) cosn
a +
b n
(0 < a < π/ 2 ) e)
n 2 + 1 nan^ (a^ %=^ 0)^ f)^
n! nn
g)
3 n n^2 + 1 h)
n + 1 n
)−n 3 i)
log n
j) 1 na + b
, (a, b) %= ( 0 , 0 ) k) sen(nx) n 2
l) 1 n − 3 / 2
8.6. Ejercicios 187
m) 1 n(n + 1 )(n + 2 )
n) 1 +^ sen^
(^2) (nx) n 2
ñ) 1 n
sen^1 n
o)
n + 1 −
n n
p) n(n^ +^1 ) n 2 + 2 n
q)
n
)n+ 1 /n
r)
log(n + 1 ) − 1 ( 1 + n)^2 s)^
3 − cos( 1 /n) t)
( (^) x n
) (^) n n!
u) 1 n( 1 +
2 +^ · · ·^ +^
n )
v)
n n 3 log n
w) 1 (log n)^2 n
x) log n^ + n 1 y) e−
√n (^2) + 1 z) (^) (log^1 n) p
A)
x n √n B)
log n n p^ C)^ log
x n
D)
(− 1 )n 1 + 1 2
n
E)
(− 1 )n^ (n + 1 ) n! F)^
(n 2 + 1 )x n (n + 1 )!
G) e 1 /n^2 − e 1 /(n^2 +^1 )^ H) (− 1 )n+^1 n n 2 + 1
I) (n!)
2 ( 2 n)!
x 2 n
Ejercicio 8.3. Hallar la suma, si convergen, de las series de término general (para n ≥ 1, si no se indica otra cosa):
a)
4 n − 1 (n + 2 )(n − 1 )^2 ,^ n^ ≥^2 b)^
n(n + 1 ) c)^
2 n + 3 n(n − 1 )(n + 2 ) ,^ n^ ≥^2
d)
n 2 − 1 ,^ n^ ≥^2 e)^
4 n 2 + 16 n + 7 f)^
(n + 1 )^2 − 4 ,^ n^ ≥^2
g) 3 n^
(^2) + 7 n + 6 n(n + 1 )(n + 2 )(n + 3 )
i) 1 (n − 1 +
3 )(n − 2 +
3 )(n +
h) n^
(^2) + 3 n + 1 n^2 (n + 1 )^2 j)^
n^2 (n + 1 )^2 n! k)^
3 n^ (n − 3 ) n!
l)
n 3 − n + 1 n! 3 n^ m)^
3 n 2 + 8 n + 6 (n + 2 )! ,^ n^ ≥^3 n)^
n − 1 n!(n + 2 )
ñ) n^
n!
o) n^
(n + 1 )!
p) n^
(^2) + 5 n + 7 (n + 2 )!
, n ≥ 2
q) (− 1 )n−^1 n^2 (nn^ ++^11 ) r) n(n 2 + n 1 ) s) n^
2 3 n
t) (n + 1 )x n^ u) (− 1 )n^
n^2 − n 3 n^ v)^
n
n + 1 + (n + 1 )
n
w) log
n n + 1
)n − (^21) n + 1
Ejercicio 8.4. Hallar la suma de las series:
