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CAPÍTULO 1 Límites
Introducción a límites
Los temas estudiados en el capítulo anterior son parte de lo que se denomina precálcu- lo. Proporcionan los fundamentos para el cálculo, pero no son cálculo. Ahora estamos listos para una nueva idea importante, la noción de límite. Ésta es la idea que distingue al cálculo de otras ramas de las matemáticas. De hecho, podríamos definir cálculo de esta manera:
El cálculo es el estudio de los límites.
Problemas que conducen al concepto de límite El concepto de límite es
primordial para muchos problemas en física, ingeniería y ciencias sociales. Básicamen- te, la pregunta es ésta: ¿qué le pasa con la función f ( x ) cuando x se acerca a alguna constante c? Existen variaciones de este tema, pero la idea básica es la misma en mu- chas circunstancias. Suponga que cuando un objeto se mueve de forma constante hacia adelante cono- cemos su posición en cualquier momento. Denotamos la posición en el instante t por s ( t ). ¿Qué tan rápido se está moviendo el objeto en el instante t = 1? Podemos utilizar la fórmula “distancias iguales a tiempos iguales” para determinar la rapidez (tasa de cambio de la posición) en cualquier intervalo de tiempo; en otras palabras
A esto le llamamos la rapidez “promedio” en el intervalo, ya que sin importar qué tan pequeño sea el intervalo, nunca sabemos si la rapidez es constante en este intervalo. Por
ejemplo, en el intervalo [1, 2], la rapidez promedio es en el intervalo
[1, 1.2], la rapidez promedio es en el intervalo [1, 1.02], la rapidez prome-
dio es etcétera ¿Qué tan rápido viaja el objeto en el instante t = 1? Para
dar significado a esta rapidez “instantánea” debemos hablar acerca del límite de la ra- pidez promedio en intervalos cada vez más pequeños. Podemos determinar áreas de rectángulos y triángulos por medio de fórmulas de geometría; pero, ¿qué hay de regiones con fronteras curvas, como un círculo? Arquí- medes tuvo esta idea hace más de dos mil años. Imagine polígonos regulares inscritos en un círculo, como se muestra en la figura 1. Arquímedes determinó el área de un po- lígono regular con n lados, y tomando el polígono cada vez con más lados fue capaz de aproximar el área de un círculo a cualquier nivel de precisión. En otras palabras, el área del círculo es el límite de las áreas de los polígonos inscritos cuando n (el número de lados del polígono) aumenta tanto como se quiera. Considere la gráfica de la función y = f ( x ), para a … x … b. Si la gráfica es una línea recta, la longitud de la curva es fácil de determinar mediante la fórmula de la distancia. Sin embargo, ¿qué sucede si la gráfica es curvada? Podemos determinar una gran can- tidad de puntos a lo largo de la curva y conectarlos con segmentos de recta, como se muestra en la figura 2. Si sumamos las longitudes de estos segmentos de recta, debemos obtener una suma que es aproximadamente la longitud de la curva. De hecho, por “lon- gitud de la curva” queremos decir el límite de la suma de las longitudes de estos seg- mentos de recta, cuando el número de éstos aumenta tanto como se desee. Los últimos tres párrafos describen situaciones que conducen al concepto de límite. Existen muchos otros y los estudiaremos a lo largo del texto. Iniciamos con una explica- ción intuitiva de límites. La definición precisa se da en la siguiente sección.
s 1 1.02 2 - s 112 1.02 - 1
s 1 1.2 2 - s 112 1.2 - 1
s 122 - s 112 2 - 1
rapidez =
distancia
tiempo
1.1 Introducción a límites
1.2 Estudio riguroso (formal) de límites
1.3 Teoremas de límites
1.4 Límites que involucran funciones trigonométricas
1.5 Límites al infinito; límites infinitos
1.6 Continuidad de funciones
1.7 Repaso
P 3
P 2
P 1
Figura 1
y
–2 6 x
25
2 4
20
15
10
5
Figura 2
56 Capítulo 1 Límites
Una noción intuitiva Considere la función definida por
Observe que no está definida en x = 1, ya que en este punto f ( x ) tiene la forma que carece de significado. Sin embargo, aún podemos preguntarnos qué le está sucediendo a f ( x ) cuando x se aproxima a 1. Con mayor precisión, ¿cuando x se aproxima a 1, f ( x ) se está aproximando a algún número específico? Para obtener la respuesta podemos ha- cer tres cosas: calcular algunos valores de f ( x ) para x cercana a 1; mostrar estos valores en un diagrama esquemático, y bosquejar la gráfica de y = f ( x ). Todo esto se ha hecho y los resultados se muestran en la figura 3.
0 0 ,
f 1 x 2 =
x^3 - 1
x - 1
1
2
3
4
← x
y
x
f ( x )
fff ( x )
Gráfica de y = x
x y
813
310
030
003
997
970
710
313
75
9
99
999
001
01
25 x
25
01
001 ↓
000 ↑
999
99
9
75
813
310
030
003 ↓ ? ↑
997
970
710
313
y =
x – – 1 x – – 1
Tabla de valores
Diagrama esquemático
Figura 3
Toda la información que hemos reunido parece apuntar a la misma conclusión: f ( x ) se aproxima a 3 cuando x se aproxima a 1. En símbolos matemáticos, escribimos
Esto se lee “el límite de cuando x tiende a 1 es 3”. Como buenos algebristas (es decir, conociendo cómo se factoriza una diferencia de cubos), podemos proporcionar más y mejor evidencia,
Observe que ( x - 1)>( x - 1) = 1 siempre que x Z 1. Esto justifica el segundo paso. El tercer paso parece razonable; pero posteriormente se hará una justificación rigurosa. Para asegurarnos de que estamos en el camino correcto, necesitamos tener una clara comprensión del significado de la palabra límite. A continuación haremos nuestro primer intento de una definición.
= lím
x : 1
1 x^2 + x + 12 = 12 + 1 + 1 = 3
lím
x : 1
x^3 - 1
x - 1
= lím
x : 1
1 x - 121 x^2 + x + 12
x - 1
1 x^3 - 1 2>1x - 12
lím
x : 1
x^3 - 1
x - 1
58 Capítulo 1 Límites
x x^2^ ___ 10 cos, 00 x 0 1
- 5
- 1
0
- 99995 0.24 991 0.00 990
?
↓ ↓
- 01 0. 000000005
Figura 6
1 2 3 4
1
2
3
y
x
y = x
Figura 7
x (^) sen (^1) x
2 /π 2/(2 ) 2/(3 ) 2/(4 ) 2/(5 ) 2/(6 ) 2/(7 ) 2/(8 ) 2/(9 )
2/(11 ) 2/(12 )
2/(10 )
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
?
↓ ↓
Figura 8
y
2 6
2 4 π
2 2 π
2 π
1
y = sen ( x )
111
Figura 9
n EJEMPLO 4^ (Su calculadora puede engañarlo).^ Determine
SOLUCIÓN Siguiendo el procedimiento utilizado en el ejemplo 3, construimos la ta- bla de valores que se muestra en la figura 6. La conclusión que sugiere es que el límite deseado es 0. Pero esto es incorrecto. Si recordamos la gráfica de y = cos x , nos damos cuenta de que cos x se aproxima a 1 cuando x tiende a 0. Por lo tanto,
n
n EJEMPLO 5^ (No hay límite en un salto).^ Determine
SOLUCIÓN Recuerde que denota al entero más grande que es menor o igual a x (véase la sección 0.5). La gráfica de se muestra en la figura 7. Para todos los números x menores a 2, pero cercanos a 2, pero para todos los números x mayores que 2, pero cercanos a 2, ¿Está cerca de un solo número L cuando x está cerca de 2? No. No importa qué número propongamos para L , habrá x arbitraria- mente cercanas a 2 a cada lado, donde difiere de L en al menos Nuestra conclusión es que no existe. Si usted verifica lo anterior, verá que no hemos afirmado que todo límite que podamos escribir deba existir. n
n EJEMPLO 6^ (Demasiadas oscilaciones).^ Determine
SOLUCIÓN Este ejemplo plantea la interrogante más sutil acerca de límites que ha- yamos manifestado hasta el momento. Ya que no queremos hacer larga la historia, le pedimos que haga dos cosas. Primera, escoja una sucesión de valores para x que se aproxime a 0. Utilice su calculadora para evaluar sen (1> x ) en estas x. A menos que corra con mucha suerte, sus valores oscilarán de manera desordenada.
Segunda, intente construir la gráfica de y = sen (1> x ). Nadie hará esto muy bien, pero la tabla de valores en la figura 8 da una buena pista acerca de lo que está suce- diendo. En cualquier vecindad alrededor del origen, la gráfica oscila de arriba abajo entre - 1 y 1 un número infinito de veces (véase la figura 9). Claramente, sen (1> x ) no está cerca de un solo número L , cuando x está cerca de cero. Concluimos que lím no existe. n x : 0
sen 11 >x 2
lím x : 0
sen 11 >x 2.
lím x : 2
Œ x œ
1
Œxœ 2.
Œxœ = 2. Œxœ
Œxœ = 1,
y = Œxœ
Œxœ
lím x : 2
Œ x œ.
lím
x : 0
cx^2 -
cos x
d = 02 -
lím x : 0
c x^2 -
cos x 10,
d.
Límites laterales Cuando una función da un salto (como lo hace en cada ente-
ro en el ejemplo 5), entonces el límite no existe en los puntos de salto. Para tales funciones, se introduce el concepto de límites laterales. El símbolo x S c +^ significa que x se apro- xima a c por la derecha, y x S c -^ significa que x se aproxima a c por la izquierda.
Œxœ
Definición Límites por la derecha y por la izquierda
Decir que significa que cuando x está cerca pero a la derecha de c, entonces f ( x ) está cerca de L. De manera análoga, decir que significa que cuando x está cerca pero a la izquierda de c, entonces f ( x ) está cerca de L.
lím x : c-^
f 1 x 2 = L
lím x : c+^
f 1 x 2 = L
Sección 1.1 Introducción a límites 59
Teorema A
si y sólo si y lím x : c+^
lím f 1 x 2 = L. x : c-^
lím f 1 x 2 = L x : c
f 1 x 2 = L
1
2
3
4
y
x
lí x → – 3
( x ) = 2
x^ lí^ ( x )^ =^4
lí (^) – ) = 3
lí^ lí^ )^ no existe. x → –^ f^ (^ )^ no existe.
x^ l^ ( x )^ = 2.^5
Figura 10
Por lo tanto, mientras que no existe, es correcto escribir (véase la gráfica en la figura 7)
Creemos que usted encontrará muy razonable el siguiente teorema.
lím
x : 2 -^
Œxœ = 1 y lím
x : 2 +^
Œ x œ = 2
lím x : 2 Œ x œ
La figura 10 debe darle una comprensión adicional. Dos de los límites no existen, aunque todos, excepto uno de los límites unilaterales, existen.
Revisión de conceptos
1. significa que f ( x ) está cerca de _____, cuando x
está suficientemente cerca (pero es diferente) de _____.
2. Sea f ( x ) = ( x^2 - 9)>( x - 3) donde f (3) está indeterminada. Sin embargo, (^) xlím : 3 f 1 x 2 = _____.
lím x : c
f 1 x 2 = L 3. significa que f ( x ) está cerca de _____ cuando x se aproxima a c por la _____.
4. Si y lím entonces _____. x : c +^
lím f 1 x 2 = M, x : c-^
f 1 x 2 = M
lím x : c+^
f 1 x 2 = L
Conjunto de problemas 1.
En los problemas del 1 al 6 determine el límite que se indica.
**1. 2.
- 6.**
En los problemas del 7 al 18 determine el límite que se indica. En la mayoría de los casos, es buena idea usar primero un poco de álge- bra (véase el ejemplo 2).
13. 14. lím t : 7 +
21 t - 723 t - 7
lím t : 2
21 t + 421 t - 224 13 t - 622
x^ lím : 3
x^2 - 9 x - 3 xlím : - t
x^2 - t^2 x + t
lím x : 0
x^4 + 2 x^3 - x^2 x^2
lím x : - 1
x^3 - 4 x^2 + x + 6 x + 1
tlím : - 7
t^2 + 4 t - 21 t + 7 xlím : 2
x^2 - 4 x - 2
lím t : - 1
lím 1 t^2 - x^22 t : - 1
1 t^2 - 12
xlím : - 21 x^2 +^2 x^ -^12 x^ lím : - 21 x^2 +^2 t^ -^12
xlím : 31 x^ -^52 t^ lím : - 111 -^2 t^2
En los problemas del 19 al 28 utilice una calculadora para encon- trar el límite indicado. Utilice una calculadora gráfica para trazar la función cerca del punto límite.
19. 20.
27. 28. lím u : p> 2
2 - 2 sen u 3 u
lím x : p> 4
1 x - p> 422 1 tan x - 122
lím t : 0
1 - cot t 1 >t x^ lím : p
1 + sen 1 x - 3 p> 22 x - p
lím x : 3
x - sen 1 x - 32 - 3 x - 3
lím t : 1
t^2 - 1 sen 1 t - 12
x^ lím : 0
11 - cos x 22 x^2 x^ lím : 0
1 x - sen x 22 x^2
lím t : 0
1 - cos t 2 t
lím x : 0
sen x 2 x
GC
lím h : 0
1 x + h 22 - x^2 h
lím h : 0
12 + h 22 - 4 h
lím u : 1
13 u + 4212 u - 223 1 u - 122
lím x : 3
x^4 - 18 x^2 + 81 1 x - 322
Sección 1.2 Estudio riguroso (formal) de límites 61
57. 58. (^) xlim : 1 +
1 + 21 >1x^ -^12 x^ lim : 2 -
x^2 - x - 2 ƒ x - 2 ƒ
lím x : 0
x sen 2x sen 1 x^22
lím x : 1
x^3 - 1 22 x + 2 - 2
lím x : 0
lím x cos 11 >x 2 x : 0
cos 11 >x 2
xlím : 01 sen 2x2>^4 x^ x^ lím : 01 sen 5x2>^3 x 59.^ Como los paquetes de software para cálculo encuentran por medio de un muestreo de algunos valores de f ( x ) para x cerca de a , pueden estar equivocados. Determine una función f para la que no exista, pero por la que su software obtenga un valor para el límite.
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. L ; c 2. 6
3. L ; derecha 4. lím x : c
f 1 x 2 = M
x^ lím : 0 f^1 x^2
x^ lím : a f^1 x^2
CAS
Si ahora preguntamos qué tan cerca debe estar x de 2 para garantizar que f ( x ) esté a menos de 0.01 de 12, la solución seguiría las mismas líneas y determinaríamos que x tendría que estar en un intervalo más pequeño al que se obtuvo anteriormente. Si que- remos que f ( x ) esté a menos de 0.001 de 12, necesitaríamos un intervalo que fuese aún más angosto. En este ejemplo, parece plausible que no importa cuán cercano queramos que f ( x ) esté de 12, podemos realizar esto tomando x suficientemente cercana a 2. Ahora precisamos la definición de límite.
Precisando la definición Seguimos la tradición al utilizar las letras griegas e
(épsilon) y d (delta) para representar números positivos arbitrarios (por lo regular pequeños). Decir que f ( x ) difiere de L en menos que e, significa que o de forma equivalente, Esto significa que f ( x ) se encuentra en el in- tervalo abierto 1 L - e, L + e 2 , como se muestra en la gráfica de la figura 2.
ƒ f 1 x 2 - L ƒ 6 e.
L - e 6 f 1 x 2 6 L + e,
En la sección anterior dimos una definición informal de límite. A continuación damos otra ligeramente mejor, pero todavía informal, reformulando esa definición. Decir que significa que f ( x ) puede hacerse tan cercana como se desee a L siempre que x sea suficientemente cercana, pero no igual a c. El primer ejemplo ilustra este punto.
n EJEMPLO 1^ Utilice la gráfica de^ y^ =^ f ( x )^ =^3 x^2 para determinar qué tan cercana debe estar x de 2 para garantizar que f ( x ) esté a no menos de 0.05 de 12.
SOLUCIÓN Para que f ( x ) esté a menos de 0.05 de 12, debemos tener 11.95 6 f ( x ) 6 12.05. En la figura 1 se dibujaron las rectas y = 11.95 y y = 12.05. Si despejamos x de y = 3 x^2 , obtenemos Por lo tanto, y La figura 1 indica que si entonces f ( x ) satisface 11. 6 f ( x ) 6 12.05. Este intervalo para x es aproximadamente 1.99583 6 x 6 2.00416. De los dos extremos de este intervalo, el más cercano a 2 es el superior, 2.00416, y se encuen- tra a 0.00416 de 2. Por lo tanto, si x está a menos de 0.00416 de 2, entonces f ( x ) está a menos de 0.05 de 12. n
2 11.95> 3 6 x 6 2 12.05> 3
x = 2 y> 3. f (^) A 2 11.95> (^3) B = 11.95 f (^) A 2 12.05> (^3) B = 12.05.
lím x : c
f 1 x 2 = L
Estudio riguroso
(formal) de límites
Considere dos puntos a y b en la recta numérica. ¿Cuál es la distancia entre ellos? Si a 6 b , entonces b - a es la distancia; pero si b 6 a , entonces la distancia es a - b. Podemos combi- nar estos enunciados en uno y decir que la distancia es | b - a |. Esta inter- pretación geométrica del valor abso- luto de una diferencia, como la distancia entre dos puntos en una recta numérica, es importante en la comprensión de nuestra definición del límite.
El valor absoluto como distancia
y
x
30 25 20 15 10 5
y = 3 x^2
- 6 1. 8 2 2 .2 2.
y
x
14
13
12
11
10
y = 3 x^2
y = 12. 05 y = 11.9 5
- 98 1. 99 2 2. 01 2. 02 2. 03
y
x
12.1 5
05 12
95
85
- 9
y = 3 x^2 y = 12. 05
y = 11. 95
- 95 3
- 05 3
Figura 1
62 Capítulo 1 Límites
Las gráficas de la figura 4 pueden ayudarle a comprender esta definición. Debemos recalcar que el número real e se debe dar primero ; el número d debe producirse y por lo regular depende de e. Supóngase que David desea demostrar a Emilia que lím Emilia puede retar a David con cualquier e particular que x : c
f 1 x 2 = L.
ella elija (por ejemplo, e = 0.01) y pedir a David que obtenga una d correspondiente. Apliquemos el razonamiento de David al límite Por inspección, David conjeturaría que el límite es 7. Ahora, ¿podrá David determinar una d tal que siempre que Un poco de álgebra mues- tra que
Por lo tanto, la respuesta a la pregunta es ¡sí! David puede elegir (o cual- quier valor más pequeño) y esto garantizará que siempre que En otras palabras, David puede hacer que 2 x + 1 esté a menos de 0.01 de 7, siempre que x esté a menos de 0.01>2 de 3.
0 6 ƒ x - 3 ƒ 6 0.01>2.
ƒ 12 x + 12 - 7 ƒ 6 0.
d = 0.01> 2
3 ƒ x - 3 ƒ 6
ƒ 12 x + 12 - 7 ƒ 6 0.01 3 2 ƒ x - 3 ƒ 6 0.
ƒ 12 x + 12 - 7 ƒ 6 0.01 0 6 ƒ x - 3 ƒ 6 d?
lím x : 3
12 x + 12.
f ( x )
x
L +
L –
L
) f ( x – – L ) <
)))^
)))
Figura 2
f ( x )
c – δ c c + δ^ x 0 < ) x – – c ) < δ
))) )))
Figura 3
f ( x )
x
f ( x )
c^ x
L
c
δ δ
f ( x )
x
L
c – δ c c + δ
f ( x )
x
L +
c
L –
L
Para cada > 0 existe una > 0 tal que 0 < ) x – – c ) < δ ) f ( ) – ) <
L
Figura 4
Ahora, decir que x está suficientemente cerca pero diferente de c es decir que, para alguna d, x pertenece al intervalo abierto ( c - d, c + d), con c eliminado de éste. Tal vez la mejor forma de decir esto es escribir
Obsérvese que describiría al intervalo mientras que requiere que se excluya x = c. El intervalo que estamos describiendo se muestra en la figura 3. Ahora estamos preparados para lo que algunas personas han denominado la defi- nición más importante del cálculo.
0 6 ƒ x - c ƒ
ƒ x - c ƒ 6 d c - d 6 x 6 c + d,
0 6 ƒ x - c ƒ 6 d
Definición Significado preciso de límite
Decir que significa que para cada e > 0 dada (no importa qué tan pequeña) existe una correspondiente d > 0, tal que siempre que esto es,
0 6 ƒ x - c ƒ 6 d Q ƒ f 1 x 2 - L ƒ 6 e
0 6 ƒ x - c ƒ 6 d;
ƒ f 1 x 2 - L ƒ 6 e,
lím x : c
f 1 x 2 = L
64 Capítulo 1 Límites
Por supuesto, si considera la gráfica de y = 3 x - 7 (una recta con pendiente 3, como en la figura 5), sabe que para forzar a que 3 x - 7 esté cerca de 5 tendría que hacer a x aún más próximo a 4 (más cercano por un factor de un tercio). n
Mire la figura 6 y convénzase de que d = 2 e sería una elección apropiada para d en la demostración de que
n EJEMPLO 3^ Demuestre que
ANÁLISIS PRELIMINAR Estamos buscando una d tal que
Ahora, para
Esto indica que funcionará (véase la figura 7)
DEMOSTRACIÓN FORMAL Sea e 7 0 dada. Elegimos Entonces 6 d
implica que
La cancelación del factor es válida porque implica que y
siempre que n
n EJEMPLO 4^ Demuestre que
ANÁLISIS PRELIMINAR Queremos encontrar una d tal que
Ahora
Parece que funciona, con tal que (Observe que m podría ser positi- va o negativa, así que necesitamos conservar las barras de valor absoluto. Del capítulo 0 recuerde que ).
DEMOSTRACIÓN FORMAL Sea e 7 0 dada. Elegimos Entonces
implica que
Y en caso de que m = 0, cualquier d funcionará bien ya que
Esto último es menor que e para toda x. n
n EJEMPLO 5^ Demuestre que si^ c^^7 0 entonces
ANÁLISIS PRELIMINAR Con respecto a la figura 8, debemos determinar una d tal que
0 6 ƒ x - c ƒ 6 d Q ƒ 1 x - 1 c ƒ 6 e
lím x : c
1 x = 1 c.
ƒ 10 x + b 2 - 10 c + b 2 ƒ = ƒ 0 ƒ = 0
ƒ 1 mx + b 2 - 1 mc + b 2 ƒ = ƒ mx - mc ƒ = ƒ m ƒ ƒ x - c ƒ 6 ƒ m ƒ d = e
0 6 ƒ x - c ƒ 6 d
d = e> ƒ m ƒ.
ƒ ab ƒ = ƒ a ƒ ƒ b ƒ
d = e> ƒ m ƒ m Z 0.
ƒ 1 mx + b 2 - 1 mc + b 2 ƒ = ƒ mx - mc ƒ = ƒ m 1 x - c 2 ƒ = ƒ m ƒ ƒ x - c ƒ
0 6 ƒ x - c ƒ 6 d Q ƒ 1 mx + b 2 - 1 mc + b 2 ƒ 6 e
lím x : c
1 mx + b 2 = mc + b.
x Z 2.
x - 2 x - 2
x - 2 0 6 ƒ x - 2 ƒ x Z 2,
= ƒ 21 x - 22 ƒ = 2 ƒ x - 2 ƒ 6 2 d = e
`
2 x^2 - 3 x - 2
x - 2
12 x + 121 x - 22
x - 2
d = e>2. 0 6 ƒ x - 2 ƒ
d = e> 2
3 ƒ 12 x + 12 - 5 ƒ 6 e
3 ƒ 21 x - 22 ƒ 6 e
3 ƒ^2 ƒ ƒ^ x - 2 ƒ^6 e
3 ƒ x - 2 ƒ 6
e
`
2 x^2 - 3 x - 2
x - 2
12 x + 121 x - 22
x - 2
x Z 2,
0 6 ƒ x - 2 ƒ 6 d Q `
2 x^2 - 3 x - 2
x - 2
lím x : 2
2 x^2 - 3 x - 2 x - 2
xlím : 4 A^12 x^ +^3 B^ =^ 5.
1 2 3 4 5
1
2
3
y
x
x – – 7 ) = 5
y = 3 x – – 7
/ 3 / 3
5
Figura 5
1 2 3 4 5 6
1
2
3
y
x l x í → + 3) = 5
1 y = 2 xx + 3
5
Figura 6
1 2 3 4
1
2
3
y
x
x^ l í→ 2
y =
22 x – – 2
22 x x – 2
= 5
δ δ
Figura 7
x
fff ( x )
x →
c
c δ δ
= c
fff ( x ) = x
Figura 8
Sección 1.2 Estudio riguroso (formal) de límites 65
Ahora
Para hacer lo último menor que e se requiere que tengamos
DEMOSTRACIÓN FORMAL Sea e 7 0 dada. Elegimos a Entonces
implica que
Aquí hay un punto técnico. Empezamos con pero podría suceder que c esté muy cercano a 0 sobre el eje x. Deberíamos insistir en que para que entonces implique que , de modo que esté definida. Así, para un rigor absoluto, elegimos d como el más pequeño entre c y n
Nuestra demostración en el ejemplo 5 depende de la racionalización del numera- dor , un truco que con frecuencia es útil en cálculo.
n EJEMPLO 6^ Demuestre que
ANÁLISIS PRELIMINAR Nuestra tarea es encontrar una d tal que
Ahora
El factor puede hacerse tan pequeño como queramos y sabemos que estará alrededor de 7. Por lo tanto, buscamos una cota superior para. Para hacer esto, primero convenimos en hacer Entonces implica que
(desigualdad del triángulo)
(La figura 9 ofrece una demostración alternativa de este hecho). Si también requeri- mos que entonces el producto será menor que e.
DEMOSTRACIÓN FORMAL Sea e 7 0 dada. Elegimos a esto es, elegimos
a d como el más pequeño entre 1 y Entonces implica que
n
n EJEMPLO 7^ Demuestre que
DEMOSTRACIÓN Reproducimos la demostración en el ejemplo 6. Sea dada.
Elegimos como Entonces implica que
(Desigualdad del triángulo)
n
Aunque parezca increíblemente perspicaz, en el ejemplo 7 no sacamos a d “de la manga”. Simplemente, esta vez no le mostramos el análisis preliminar.
6 (1 + 2 ƒ c ƒ ) ƒ x - c ƒ 6
11 + 2 ƒ c ƒ 2 #^ e
1 + 2 ƒ c ƒ
= e
… 1 ƒ x - c ƒ + 2 ƒ c ƒ 2 ƒ x - c ƒ
ƒ x^2 - c^2 ƒ = ƒ x + c ƒ ƒ x - c ƒ = ƒ x - c + 2 c ƒ ƒ x - c ƒ
d = mín 5 1, e>1 1 + 2 ƒ c ƒ 26. 0 6 ƒ x - c ƒ 6 d
e 7 0
lím x : c
x^2 = c^2.
ƒ 1 x^2 + x - 52 - 7 ƒ = ƒ x^2 + x - 12 ƒ = ƒ x + 4 ƒ ƒ x - 3 ƒ 6 8 #^
e
= e
e>8. 0 6 ƒ x - 3 ƒ 6 d
d = mín 5 1, e> 86 ;
d … e>8, ƒ x + 4 ƒ ƒ x - 3 ƒ
… ƒ x - 3 ƒ + ƒ 7 ƒ
ƒ x + 4 ƒ = ƒ x - 3 + 7 ƒ
d … 1.^ ƒ^ x - 3 ƒ^6 d
ƒ x + 4 ƒ
ƒ x - 3 ƒ ƒ x + 4 ƒ
ƒ 1 x^2 + x - 52 - 7 ƒ = ƒ x^2 + x - 12 ƒ = ƒ x + 4 ƒ ƒ x - 3 ƒ
0 6 ƒ x - 3 ƒ 6 d Q ƒ 1 x^2 + x - 52 - 7 ƒ 6 e
lím x : 3
1 x^2 + x - 52 = 7.
e 1 c.
ƒ x - c ƒ 6 d x 7 0 1 x
d … c,
c 7 0,
ƒ x - c ƒ
1 x + 1 c
ƒ x - c ƒ
1 c
d
1 c
= e
ƒ 1 x - 1 c ƒ = `
A 1 x^ -^1 cB A 1 x^ +^1 cB
1 x + 1 c
=
x - c
1 x + 1 c
`
0 6 ƒ^ x - c ƒ^6 d
d = e 1 c.
ƒ x - c ƒ 6 e 1 c.
ƒ x - c ƒ
1 x + 1 c
ƒ x - c ƒ
1 c
ƒ 1 x - 1 c ƒ = `
A 1 x - 1 cB A 1 x + 1 cB
1 x + 1 c
=
x - c
1 x + 1 c
`
) x 3 ) 1 ⇒ 2 < x < 4 ⇒ 6 < x + 4 < 8 ⇒ + 4 ) < 8
Figura 9
Sección 1.2 Estudio riguroso (formal) de límites 67
pues indica que la diferencia entre f ( x ) y su límite L puede hacerse más pequeña que cualquier número dado, el número que fue etiquetado como e. El matemático alemán Karl Weierstrass (1815–1897) fue el primero en reunir la definición que es equivalente a nuestra definición e – dde límite.
Revisión de conceptos
1. La desigualdad es equivalente a _____ _____. 2. El significado preciso de es éste: dado cual-
quier número positivo e existe un correspondiente número positivo d, tal que ______ implica ______.
xlím : a f^1 x^2 =^ L
6 f 1 x 2 6
ƒ f 1 x 2 - L ƒ 6 e 3.^ Para asegurar que^ ƒ^3 x^ -^3 ƒ 6^ e, requeriríamos que^ ƒ^ x^ -^1 ƒ 6 _____.
4. lím _____. x : a
1 mx + b 2 =
Conjunto de problemas 1.
En los problemas del 1 al 6 dé la definición apropiada para cada proposición.
**1. 2.
- 6.**
En los problemas del 7 al 10 trace la función f ( x ) en el intervalo Haga un acercamiento a la gráfica de cada función para de- terminar qué tan cercano debe estar x de 2 para que f ( x ) esté a menos de 0.002 de 4. Su respuesta debe ser de la forma “si x está a menos de _____ de 2, entonces f ( x ) está a menos de 0.002 de 4”.
**7. 8.
- 10.**
En los problemas del 11 al 22 proporcione una prueba para cada límite dado.
11. 12.
23. Demuestre que si y , entonces . 24. Sean F y G funciones tales que para to- da x cercana a c , excepto posiblemente en c. Demuestre que si entonces 25. Demuestre que Sugerencia: utilice los problemas 22 y 24. 26. Demuestre que lím x : 0 +^
1 x = 0.
xlím : 0 x^4 sen^211 >x^2 =^ 0.
xlím : c G^1 x^2 =^ 0, xlím : c F^1 x^2 =^ 0.
0 … F 1 x 2 … G 1 x 2
L = M.
lím x : c
lím f 1 x 2 = M x : c
f 1 x 2 = L
lím x : 0
x^4 = 0
lím x : - 1
lím 1 x^2 - 2 x - 12 = 2 x : 1
12 x^2 + 12 = 3
xlím : 1
10 x^3 - 26 x^2 + 22 x - 6 1 x - 122
lím x : 1
14 x^2 - 20 x + 6 x - 1
xlím : 4
22 x - 1 2 x - 3
lím x : 1
lím 22 x = 22 x : 5
2 x^2 - 11 x + 5 x - 5
lím x : 0
a
2 x^2 - x x
lím b = - 1 x : 5
x^2 - 25 x - 5
xlím : 012 x^ -^12 = -^1 x lím: - 2113 x^ -^12 = -^64
e – d
f 1 x 2 =
x
f 1 x 2 = 28 x
f 1 x 2 = 2 x f 1 x 2 = x^2
[1.5, 2.5].
xlím : c-^ f^1 x^2 =^ L t^ lím : a+^ g^1 t^2 =^ D
zlím : d h^1 z^2 =^ P y^ lím : e f^1 y^2 =^ B
lím t : a f 1 t 2 = M u lím : b g 1 u 2 = L
e – d 27. Considerando los límites por la derecha y por la izquierda, demuestre que
28. Demuestre que si para y entonces 29. Suponga que y que f ( a ) existe (aunque podría ser diferente de L ). Demuestre que f está acotada en algún intervalo que contiene a a ; esto es, demuestre que existen un intervalo ( c , d ) con y una constante M, tal que para toda x en ( c , d ). 30. Demuestre que si para toda x en algún inter- valo alrededor de a , al cual se le quite a , y si y entonces 31. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son equivalentes a la definición de límite? (a) Para algún e 7 0 y toda d 7 0, 0 6 ƒ x - c ƒ 6 d Q (^) ƒ f ( x ) - L ƒ 6 e. (b) Para toda existe una correspondiente tal que
(c) Para todo entero positivo N existe un entero correspondiente positivo M, tal que (d) Para toda existe una correspondiente tal que y para alguna x.
32. En lenguaje qué significa decir 33. Suponga que deseamos dar una demostración con de que
Empezamos por escribir en la forma
(a) Determine g ( x ). (b) ¿Podríamos elegir para alguna n? Explique.
(c) Si elegimos ¿cuál es el entero más pequeño m que podríamos utilizar?
Respuestas a la revisión de conceptos 1.
2. 0 6 ƒ x - a ƒ 6 d; ƒ f 1 x 2 - L ƒ 6 e 3. e> 3 4. ma + b
L - e; L + e
d = mín A 14 , e>m B ,
d = mín 1 1, e>n 2
1 x - 32 g 1 x 2.
x + 6 x^4 - 4 x^3 + x^2 + x + 6
lím x : 3
x + 6 x^4 - 4 x^3 + x^2 + x + 6
GC e – d
lím x : c
e – d f 1 x 2 Z L.
0 6 ƒ x - c ƒ 6 d ƒ f 1 x 2 - L ƒ 6 e
e 7 0, d 7 0
0 6 ƒ x - c ƒ 6 1 >M Q ƒ f 1 x 2 - L ƒ 6 1/N.
0 6 ƒ x - c ƒ 6 e Q ƒ f 1 x 2 - L ƒ 6 d
d 7 0, e 7 0
lím L … M. x : a
g 1 x 2 = M,
lím x : a
f 1 x 2 = L
f 1 x 2 … g 1 x 2
c 6 a 6 d ƒ f 1 x 2 ƒ … M
x^ lím : a f^1 x^2 =^ L
xlím : a g^1 x^2 =^0 x^ lím : a f^1 x^2 g^1 x^2 =^ 0.
ƒ f 1 x 2 ƒ 6 B ƒ x - a ƒ 6 1
lím x : 0
ƒ x ƒ = 0.
68 Capítulo 1 Límites
Estos importantes resultados se recuerdan mejor si se aprenden en palabras. Por ejemplo, la afirmación 4 se traduce como: el límite de una suma es la suma de los límites. Por supuesto, el teorema A necesita demostrarse. Posponemos esa tarea hasta el fi- nal de la sección, pues preferimos mostrar primero cómo se utiliza este teorema con varias partes.
Aplicaciones del teorema principal de los límites En los ejemplos si-
guientes, los números dentro de un círculo se refieren al número de la afirmación del teorema A. Cada igualdad está justificada por la afirmación indicada.
n EJEMPLO 1^ Determine lím x : 3 2 x^4.
La mayoría de los lectores coincidirá en que demostrar la existencia y obtener los valo- res de los límites mediante la definición de la sección anterior consume tiempo y es difícil. Por esto son bienvenidos los teoremas de esta sección. Nuestro primer teore- ma es el principal. Con él podemos manejar la mayoría de los problemas de límites con los que nos enfrentaremos durante bastante tiempo.
e–d
Teoremas de límites
Teorema A Teorema principal de los límites
Sean n un entero positivo, k una constante y f y g funciones que tengan límites en c. Entonces
- siempre que
- siempre que cuando n sea par.
xlím : c 2 xlím : c f^1 x^2 7
n f 1 x 2 = 2
n lím x : c f 1 x 2 ,
lím x : c
[ f 1 x 2 ]n^ = C lím x : c
f 1 x 2 D
n ;
xlím : c xlím : c g^1 x^2 Z^ 0;
f 1 x 2 g 1 x 2
lím x : c
f 1 x 2
lím x : c
g 1 x 2
lím x : c
[ f 1 x 2 #^ g 1 x 2 ] = lím
x : c
f 1 x 2 #^ lím
x : c
g 1 x 2 ;
lím x : c
[ f 1 x 2 - g 1 x 2 ] = lím x : c
f 1 x 2 - lím x : c
g 1 x 2 ;
lím x : c
[ f 1 x 2 + g 1 x 2 ] = lím x : c
f 1 x 2 + lím x : c
g 1 x 2 ;
lím x : c
kf 1 x 2 = k lím x : c
f 1 x 2 ;
lím x : c
x = c;
lím x : c
k = k;
lím 2 x^4 x^4 = 2 lím x = 2[3]^4 = 1 62
x 3 x 3 [ x 3 ]
x
4
Aunque el teorema A se establece en términos de límites por los dos lados, sigue cumpliéndose tanto para límites por la izquierda como para límites por la derecha.
Límites laterales
x 4 x 4
lím (3 x^2 – 2 x ) = lím 3 x^2 – lím 2 x = 3 lím x^2 – 2 lím x
x 4 x 4 x 4
x 4
- 2 lím x = 3(4)^2 – 2 ( 4 ) ( (^) x 4
2
n n EJEMPLO 2^ Encuentre SOLUCIÓN
lím x : 4
13 x^2 - 2 x 2.
n
70 Capítulo 1 Límites
SOLUCIÓN
n
n EJEMPLO 6^ Determine
SOLUCIÓN No se aplican ni el teorema B ni la afirmación 7 del teorema A, ya que el límite del denominador es cero. Sin embargo, como el límite del numerador es 11, ve- mos que cuando x se aproxima a 1 estamos dividiendo un número cercano a 11 entre un número positivo cercano a cero. El resultado es un número positivo grande. De hecho, el número resultante puede hacerlo tan grande como quiera tomando a x suficientemen- te cercana a 1. Decimos que el límite no existe. (Más adelante, en este capítulo —véase la sección 1.5— nos permitiremos decir que el límite es +q). n
En muchos casos no se puede aplicar el teorema B, ya que la sustitución de c pro- voca que el denominador se haga igual a 0. En casos como éste, en ocasiones sucede que la función se puede simplificar mediante la factorización. Por ejemplo, podemos escribir
Debemos ser cuidadosos en este último paso. La fracción es igual a la del lado izquierdo del signo de igualdad sólo si x no es igual a 2. Si el lado izquier- do está indeterminado (ya que el denominador es 0), mientras que el lado derecho es igual a Esto plantea la pregunta acerca de si los límites
son iguales. La respuesta se encuentra en el siguiente teorema.
lím x : 2
x^2 + 3 x - 10 x^2 + x - 6
y lím x : 2
x + 5 x + 3
x = 2,
1 x + 5 2>1x + 32
x^2 + 3 x - 10
x^2 + x - 6
1 x - 221 x + 52
1 x - 221 x + 32
x + 5
x + 3
lím x : 1
x^3 + 3 x + 7 x^2 - 2 x + 1
= lím x : 1
x^3 + 3 x + 7 1 x - 122
lím
x : 2
7 x^5 - 10 x^4 - 13 x + 6
3 x^2 - 6 x - 8
Teorema C
Si para toda x en un intervalo abierto que contenga a c , excepto po- siblemente en el mismo número c , y si existe entonces existe y lím x : c
f 1 x 2 = lím x : c
g 1 x 2.
lím x : c
lím f 1 x 2 x : c
g 1 x 2
f 1 x 2 = g 1 x 2
n EJEMPLO 7^ Determine
SOLUCIÓN
n
n EJEMPLO 8^ Determine
SOLUCIÓN No se aplica el teorema B porque el denominador es 0 cuando x = 2. Al sustituir x = 2 en el numerador también obtenemos 0, por lo que el cociente toma una forma carente de significado 0>0 en x = 2. Cuando esto suceda deberemos buscar algu- na simplificación algebraica, como la factorización.
lím
x : 2
x^2 + 3 x - 10
x^2 + x - 6
= lím
x : 2
1 x - 221 x + 52
1 x - 221 x + 32
= lím
x : 2
x + 5
x + 3
lím x : 2
x^2 + 3 x - 10 x^2 + x - 6
lím x : 1
x - 1 1 x - 1
= lím x : 1
A 1 x - 1 B A 1 x + 1 B 1 x - 1
= lím x : 1
A 1 x + 1 B = 21 + 1 = 2
lím x : 1
x - 1 1 x - 1
Sección 1.3 Teoremas de límites 71
El paso de la segunda a la última igualdad se justifica por medio del teorema C, ya que
para toda x , salvo para x = 2. Una vez que aplicamos el teorema C, podemos evaluar el límite por medio de sustitución (es decir, mediante la aplicación del teorema B). n
Demostración del teorema A (opcional) No debe sorprenderse demasiado
cuando le decimos que las demostraciones de algunas partes del teorema A son muy complicadas. Como consecuencia de esto, aquí sólo demostramos las primeras cinco partes y dejamos las otras al apéndice (sección A.2, teorema A). Para que se dé cuen- ta, podría intentar con los problemas 35 y 36.
Demostraciones de las afirmaciones 1 y 2 Estas afirmaciones resultan de
(véase el ejemplo 4 de la sección 1.2) utilizando primero m = 0 y luego m = 1, b = 0. n
Demostración de la afirmación 3 Si k = 0, el resultado es trivial, así que supo-
nemos que k Z 0. Sea e 7 0 dada. Por hipótesis, existe; llamemos L a su valor. Por definición de límite existe un número d, tal que
Es seguro que algunos reclamarían que pongamos e>| k | en lugar de e al final de la desigualdad anterior. Bueno, ¿acaso e>| k | no es un número positivo? Sí. ¿Acaso la de- finición de límite no requiere que para cualquier número positivo exista una corres- pondiente d? Sí. Ahora, para una d así determinada (nuevamente por medio de un análisis prelimi- nar que no hemos mostrado aquí), aseguramos que 0 6 | x - c | 6 d implica que
Esto muestra que n
Demostración de la afirmación 4 Respecto a la figura 1. Sea y
Si e es cualquier número positivo, entonces e>2 es positivo. Como existe un número positivo d 1 tal que
Como existe un número positivo d 2 , tal que
Elegimos esto es, elegimos d como la más pequeña de d 1 y d 2. Enton- ces 0 6 | x - c | 6 d implica que
En esta cadena, la primera desigualdad es la desigualdad del triángulo (véase la sección 0.2); la segunda resulta de la elección de d. Acabamos de demostrar que
Por lo tanto,
lím n
x: c
[f 1 x 2 + g 1 x 2 ] = L + M = lím
x: c
f 1 x 2 + lím
x: c
g 1 x 2
0 6 ƒ x - c ƒ 6 d Q ƒ f 1 x 2 + g 1 x 2 - 1 L + M 2 ƒ 6 e
e
e
= e
… ƒ f 1 x 2 - L ƒ + ƒ g 1 x 2 - M ƒ
ƒ f 1 x 2 + g 1 x 2 - 1 L + M 2 ƒ = ƒ [f 1 x 2 - L] + [g 1 x 2 - M] ƒ
d = mín 5 d 1 , d 26 ;
0 6 ƒ x - c ƒ 6 d 2 Q ƒ g 1 x 2 - M ƒ 6
e
lím
x: c
g 1 x 2 = M,
0 6 ƒ^ x - c ƒ^6 d 1 Q ƒ^ f 1 x 2 - L ƒ^6
e
lím
x: c
f 1 x 2 = L,
lím
x: c
g 1 x 2 = M.
lím
x: c
f 1 x 2 = L
lím
x: c
kf 1 x 2 = kL = k lím
x: c
f 1 x 2
ƒ kf 1 x 2 - kL ƒ = ƒ k ƒ ƒ f 1 x 2 - L ƒ 6 ƒ k ƒ
e
ƒ k ƒ
= e
0 6 ƒ x - c ƒ 6 d Q ƒ f 1 x 2 - L ƒ 6
e
ƒ k ƒ
lím
x: c
f 1 x 2
xlím : c^1 mx^ +^ b^2 =^ mc^ +^ b
(x - 2)(x + 5)
(x - 2)(x + 3)
x + 5
x + 3
En un primer curso de cálculo, ¿cuán- tos teoremas deben demostrarse? Los profesores de matemáticas han discutido largo y tendido en torno a esto y acerca del balance correcto entre:
n lógica e intuición n demostración y explicación n teoría y aplicación
Un gran científico de hace mucho tiempo dio un sabio consejo. “Quien ama la práctica sin teoría es como el marinero que se embarca sin timón ni brújula y nunca sabe a dónde ir”. Leonardo da Vinci
¿Opcional?
f + g
g
f
y
x 2 1 = mín ( 1 , 2 )^ c
L
! !
/ /
M
! !
/ /
L + M
!
!
Figura 1
Sección 1.4 Límites que involucran funciones trigonométricas 73
En los problemas del 13 al 24 encuentre el límite indicado o establezca que no existe. En muchos casos, necesitará usar un poco de álgebra an- tes de intentar evaluar el límite.
13. 14.
En los problemas del 25 al 30 encuentre los límites y (véase el ejemplo 4).
25. 26.
En los problemas del 31 al 34 encuentre para cada función f dada.
**31. 32.
35.** Demuestre la afirmación 6 del teorema A. Sugerencia:
… ƒ g 1 x 2 ƒ ƒ f 1 x 2 - L ƒ + ƒ L ƒ ƒ g 1 x 2 - M ƒ
= ƒ g 1 x 2 [ f 1 x 2 - L] + L[g 1 x 2 - M] ƒ
ƒ f 1 x 2 g 1 x 2 - LM ƒ = ƒ f 1 x 2 g 1 x 2 - Lg 1 x 2 + Lg 1 x 2 - LM ƒ
f 1 x 2 =
x^2
f 1 x 2 =
x
f 1 x 2 = 3 x^2 f 1 x 2 = 3 x^2 + 2 x + 1
lím x : 2
[ f 1 x 2 - f 122 ]>1x - 22
lím
u :a C
lím f 1 u 2 + 3 g 1 u 2 D 3
t :a C^
ƒ f 1 t 2 ƒ + ƒ 3 g 1 t 2 ƒ D
lím
x :a C
lím f 1 x 2 - 3 D 4
x :a
23 g 1 x 2 Cf 1 x 2 + 3 D
lím x :a
2 f 1 x 2 - 3 g 1 x 2 f 1 x 2 + g 1 x 2
lím x :a
2 f^21 x 2 + g^21 x 2
x^ lím : a g^1 x^2 = -^1
lím x : a f 1 x 2 = 3
w^ lím :- 2
1 w + 221 w^2 - w - 62 w^2 + 4 w + 4
xlím :p
2 x^2 - 6 xp + 4 p^2 x^2 - p^2
lím x : 1
x^2 + ux - x - u x^2 + 2 x - 3
lím u :- 2
u^2 - ux + 2 u - 2 x u^2 - u - 6
lím x :- 3
x^2 - 14 x - 51 x^2 - 4 x - 21
lím x : 1
x^2 + x - 2 x^2 - 1
xlím : 2
x^2 + 7 x + 10 x + 2
xlím :- 1
x^3 - 6 x^2 + 11 x - 6 x^3 + 4 x^2 - 19 x + 14
lím x :- 1
x^2 + x x^2 + 1
lím x :- 1
x^2 - 2 x - 3 x + 1
lím x : 2
x^2 - 5 x + 6 x - 2
lím x : 2
x^2 - 4 x^2 + 4
lím w : 5
12 w^4 - 9 w^3 + 192 -^1 >^2
y^ lím : 2 a^
4 y^3 + 8 y y + 4
b
1 > 3
t^ lím :- 212 t^3 +^15213 w^ lím :- 2 2 -^3 w^3 +^7 w^2
xlím : 3 23 x^ -^5 x^ lím :- 3 25 x^2 +^2 x Ahora demuestre que si^ entonces existe un número d1, tal que
36. Demuestre la afirmación 7 del teorema A; primero dé una demostración e-d de que y luego apli- que la afirmación 6. 37. Demuestre que 38. Demuestre que 39. Demuestre que 40. Encuentre ejemplos para demostrar que si
(a) existe, esto no implica que exista o ;
(b) existe, esto no implica que exista o .
En los problemas del 41 al 48 encuentre cada uno de los límites unila- terales o establezca que no existen.
49. Suponga que f ( x ) g ( x ) = 1 para toda x y que Demuestre que no existe. 50. Sea R el rectángulo que une los puntos medios de los lados del cuadrilátero Q , el cual tiene vértices (; x , 0) y (0, ;1). Calcule 51. Sea y considere los puntos M, N, O y P con coorde- nadas (1, 0), (0, 1), (0, 0) y ( x , y ) en la gráfica de respectiva- mente. Calcule:
(a) (b)
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. 48 2. 4
3. - 8;- 4 + 5 c 4. 0
lím x : 0 +
área de ¢NOP área de ¢MOP
lím x : 0 +
perímetro de ¢NOP perímetro de ¢MOP
y = 1 x,
y = 1 x
lím x : 0 +
perímetro de R perímetro de Q
x^ lím : a f^1 x^2
lím x : a
g 1 x 2 = 0.
lím x : 3 +^
lím Œx^2 + 2 xœ x : 0 -
x ƒ x ƒ
xlím : 2 + x^ lím : 3 -^1 x^ -^ Œxœ
1 x^2 + 1 2Œxœ 13 x - 122
x^ lím : 1 -
21 + x 4 + 4 x x^ lím : 3 +
x - 3 2 x^2 - 9
x :^ lím-p+
2 p^3 + x^3 x x :^ lím- 3 +
23 + x x
lím x : c g 1 x 2
lím x : c C f 1 x 2 #^ g 1 x 2 D x lím : c f 1 x 2
lím x : c
g 1 x 2
lím x : c C f 1 x 2 + g 1 x 2 D x lím : c f 1 x 2
x^ lím : c ƒ^ x^ ƒ^ =^ ƒ^ c^ ƒ^.
lím x : c
f 1 x 2 = 0 3 lím x : c
ƒ f 1 x 2 ƒ = 0.
xlím : c f^1 x^2 =^ L^3 xlím : c [^ f^1 x^2 -^ L]^ =^ 0.
lím x : c
[1>g 1 x 2 ] = 1 > C lím
x : c
g 1 x 2 D
0 6 ƒ x - c ƒ 6 d 1 Q ƒ g 1 x 2 ƒ 6 ƒ M ƒ + 1
lím x : c g 1 x 2 = M,
El teorema B de la sección anterior dice que los límites de funciones polinomiales siempre pueden encontrarse por sustitución y los límites de funciones racionales pue- den encontrarse por sustitución, siempre y cuando el denominador no sea cero en el punto límite. Esta regla de sustitución se aplica también a las funciones trigonométri- cas. Este resultado se establece a continuación.
Límites que involucran
funciones trigonométricas
74 Capítulo 1 Límites
Demostración de la afirmación 1 Primero establecemos el caso especial en
el que c = 0. Supóngase que t 7 0 y que los puntos A , B y P están definidos como en la figura 1. Entonces
Pero | BP | = sen t y arco( AP ) = t , de modo que
Si t 6 0, entonces t 6 sen t 6 0. Así que podemos aplicar el teorema del emparedado (teorema 1.3D) y concluir que Para completar la demostración, también
necesitaremos el resultado de que Ésta se deduce aplicando una identidad trigonométrica y el teorema 1.3A:
Ahora, para demostrar que primero hacemos h = t - c de modo que h : 0 cuando t : c. Entonces
n
Demostración de la afirmación 2 Otra vez utilizamos la identidad junto con
el teorema 1.3A. Si cos c 7 0, entonces para t cercano a c tenemos Por lo tanto,
Por otra parte, si cos c 6 0, entonces para t cercano a c tenemos
El caso c = 0 se trabajó en la demostración de la afirmación 1. n
Las demostraciones de las demás afirmaciones se dejan como ejercicios. (Véanse los problemas 21 y 22). El teorema A puede utilizarse junto con el teorema 1.3A para evaluar otros límites.
n EJEMPLO 1^ Encuentre
SOLUCIÓN
n
Dos límites importantes que no pueden evaluarse por sustitución son
lím
t : 0
sen t
t
y lím
t : 0
1 - cos t
t
lím
t : 0
t^2 cos t
t + 1
= a lím
t : 0
t^2
t + 1
b A lím t : 0
cos tB = 0 #^1 = 0
lím
t : 0
t^2 cos t
t + 1
= - 2 cos^2 c = - ƒ^ cos c ƒ = cos c
lím
t : c
cos t = lím
t : c
A -^21 -^ sen^2 tB = -^21 -^ A lím t : c
sen tB^2 = - 21 - sen^2 c
cos t = - 21 - sen^2 t.
lím
t : c
cos t = lím
t : c
21 - sen^2 t = 21 - (^) A lím t : c
sen tB^2 = 21 - sen^2 c = cos c
cos t = 21 - sen^2 t.
= 1 sen c 2112 + 1 cos c 2102 = sen c
= 1 sen c (^2) A lím h : 0
cos hB + 1 cos c (^2) A lím h : 0
sen hB
= lím
h : 0
1 sen c cos h + cos c sen h 2 1 Addition Identity 2
lím
t : c
sen t = lím
h : 0
sen 1 c + h 2
lím
t : c
sen t = sen c,
lím
t : 0
cos t = lím
t : 0
21 - sen^2 t = 21 - (^) A lím t : 0
sen tB^2 = 21 - 02 = 1
lím
t : 0
cos t = 1.
lím
t : 0
sen t = 0.
0 6 sen t 6 t
0 6 ƒ BP ƒ 6 ƒ AP ƒ 6 arc 1 AP 2
O
1
B A (1, 0)
t
P (cos t , sen t )
(0, 1)
y
x
Figura 1
Teorema A Límites de funciones trigonométricas
Para todo número real c en el dominio de la función,
5. 6. lím
t : c
lím csc t = csc c
t : c
sec t = sec c
lím
t : c
lím cot t = cot c
t : c
tan t = tan c
lím
t : c
lím cos t = cos c
t : c
sen t = sen c
(Identidad de la suma de ángulos)
