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Áreas con coordenadas polares
Las coordenadas rectangulares (𝑥, 𝑦) y las polares (𝑟, 𝜃) de un punto P están relacionadas por 𝑥 = 𝑟𝐶𝑜𝑠𝜃, 𝑦 = 𝑟𝑆𝑒𝑛𝜃, 𝑇𝑔𝜃 = 𝑦 𝑥
, 𝑥 ≠ 0 , 𝑟^2 = 𝑥^2 + 𝑦^2
Gráfica de ecuaciones en coordenadas polares
Para graficar la ecuación 𝑟 = 𝑓(𝜃) se construye una tabla de valores para el ángulo 𝜃 con sus correspondientes valores para 𝑟, luego se ubica los puntos obtenidos (𝑟, 𝜃) a) 𝑟 = 2 𝐶𝑜𝑠𝜃 𝜃 𝑟 0 2 𝜋/ (^6) √ 3 𝜋/ (^4) √ 2 𝜋/ 3 1 𝜋/ 2 0 2 𝜋/ 3 - 1 3 𝜋/ (^4) −√ 2 5 𝜋/ (^6) −√ 3 𝜋 - 2 b) 𝑟 = 1 − 𝑆𝑒𝑛𝜃 𝜃 𝑟 −𝜋/ (^2 ) −𝜋/ (^3) 1, −𝜋/ (^4) 1, −𝜋/ (^6) 1, 0 1 𝜋/ 6 0, 𝜋/ 4 0 , 3 𝜋/ 3 0 , 1 𝜋/ 2 0 c) 𝑟 = 2 + 4 𝐶𝑜𝑠𝜃 𝜃 𝑟 0 6 𝜋/ 6 5, 𝜋/ 4 4, 𝜋/ 3 4 𝜋/ 2 2 2 𝜋/ 3 0 3 𝜋/ 4 − 8 , 8 5 𝜋/ 6 − 1 , 5 𝜋 - 2
d) 𝑟 = 4 𝐶𝑜𝑠 3 𝜃 𝜃 𝑟 0 4 𝜋/ 6 0 𝜋/ 4 - 2, 𝜋/ 3 - 4 𝜋/ 2 0 2 𝜋/ 3 4 3 𝜋/ 4 2 , 8 5 𝜋/ 6 0 𝜋 - 4
Áreas
Propiedades
i) Se f es continua y 𝑟 = 𝑓(𝜃) ≥ 0 en [𝛼, 𝛽], donde 0 ≤ 𝛼 < 𝛽 ≤ 2 𝜋, entonces el área
A de la región 𝑅 limitada por la gráfica de 𝑟 = 𝑓(𝜃) y las rectas 𝜃 = 𝛼 y 𝜃 = 𝛽 es:
1 2
[𝑓(𝜃)]^2 𝑑𝜃 =
1 2
∫ 𝑟^2 𝑑𝜃
𝛽 𝛼 𝛽 𝛼
ii) Sean 𝑟 = 𝑓(𝜃) y 𝑟 = 𝑔(𝜃), con 0 ≤ 𝑔(𝜃) ≤ 𝑓(𝜃), donde 𝜃 ∈ [𝛼, 𝛽] y
0 ≤ 𝛼 < 𝛽 ≤ 2 𝜋 entonces el área de la región limitada por las gráficas de 𝑓 y 𝑔, las
rectas 𝜃 = 𝛼 y 𝜃 = 𝛽 es:
1
2 ∫^
[ (𝑓(𝜃))^2 − (𝑔(𝜃))
2
]𝑑𝜃
𝛽 𝛼
1
2 ∫^
[ (𝑟𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟)^2 − (𝑟𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟)^2 ]𝑑𝜃
𝛽 𝛼
4. Encuentre el área de la región comprendida dentro de 𝑟 = 𝐶𝑜𝑠𝜃 y fuera de 𝑟 = √ 3 𝑆𝑒𝑛𝜃 Primeramente hallamos los puntos de intersección 𝐶𝑜𝑠𝜃 = (^) √ 3 𝑆𝑒𝑛𝜃 → 𝑇𝑔𝜃 = 1 √^3
𝜋 6 Claramente se ve que son dos circunferencias Cuando 𝑟 = 0 → 𝐶𝑜𝑠𝜃 = 0 → 𝜃 = 𝜋 2
𝜋 2
1
2 ∫^
[ (𝑓(𝜃))^2 − (𝑔(𝜃))
2
]𝑑𝜃
𝛽
𝛼 =^
1
2 ∫^
[𝐶𝑜𝑠^2 𝜃 − 3 𝑆𝑒𝑛^2 𝜃]𝑑𝜃
𝜋/ 6
0 +^
1
2 ∫^
𝐶𝑜𝑠^2 𝜃𝑑𝜃
𝜋/ 2 0
1
2 ∫^
( 1 − 4 𝑆𝑒𝑛^2 𝜃)𝑑𝜃 +
1
2 ∫^
𝐶𝑜𝑠^2 𝜃𝑑𝜃
𝜋/ 2 0 𝜋/ 6 0
1
2 ∫^
1
4 ∫^
𝜋/ 2 0 𝜋/ 6 0
1 2
𝜋/ 6
1 4
1 2
𝜋/ 2
1 4
𝜋 6
Ejercicios propuestos
1. Graficar las siguientes curvas en coordenadas polares a) 𝑟 = 2 𝐶𝑜𝑠𝜃 R. Circunferencia b) 𝑟 = 1 + 𝐶𝑜𝑠𝜃 R. Cardioide c) 𝑟 = 2 + 4 𝐶𝑜𝑠𝜃 R. Frijol d) 𝑟^2 = 4 𝑆𝑒𝑛 2 𝜃 R. Lemniscata 2. Determinar el área de las curvas en coordenadas polares a) 𝑟 = 2 𝐶𝑜𝑠𝜃 R. 𝜋 b) 𝑟 = 1 + 𝐶𝑜𝑠𝜃 R. 3 𝜋 2 c) 𝑟 = 2 − 𝐶𝑜𝑠𝜃 R. 9 𝜋 2 d) 𝑟 = − 4 𝐶𝑜𝑠𝜃 R. 4 𝜋 3. Determinar el área de las regiones descritas en coordenadas polares a) interior a 𝑟 = 2 𝑆𝑒𝑛𝜃 y exterior a 𝑟 = 1 R. ( 2 𝜋 + 3 √ 3 )/ 6 b) interior a 𝑟 = 𝐶𝑜𝑠𝜃 y a 𝑟 = √ 3 𝑆𝑒𝑛𝜃 R. ( 5 𝜋 − 6 √ 3 )/ 24 c) interior a 𝑟 = 3 + 2 𝑆𝑒𝑛𝜃 y exterior a 𝑟 = 4 R. ( 39 √ 3 − 10 𝜋)/ 6 d) interior a 𝑟^2 = 𝐶𝑜𝑠 2 𝜃 y a 𝑟^2 = 𝑆𝑒𝑛 2 𝜃 R. ( 2 − √ 2 )/ 2
