Teoría de Conjuntos: Introducción y Primeras Lecciones, Apuntes de Álgebra

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TEORÍA DE

CONJUNTOS

SEMANA 01

ARITMÉTICA

Ing. Alex Angel Toribio Quispe

INTRODUCCIÓN

Georg Cantor (1845 – 1918)

“En matemáticas el arte de proponer

una pregunta debe ser de mayor valor

que su resolución”

TEORÍA DE CONJUNTOS

TEORÍA DE CONJUNTOS

A. POR EXTENSIÓN (FORMA TABULAR)

Cuando se indican por lo general a todos y cada uno de los elementos del conjunto. EJEMPLOS : A = { a; e; o}

B = { 1; 3; 5; 7; 9}

C = { 5; 10; 15; 20; 25;…;40}

D = { a; 5 ; Ω ; ; }

B. POR COMPRENSIÓN (FORMA CONSTRUCTIVA)

Cuando se determina mediante una característica(s); común(es) a todos sus elementos. Forma general:

N ={ forma del elemento / característica(s) de la variable(s), que forman el elemento }

Para nuestros ejemplos anteriores

A = { x / x es una vocal abierta}

B = { x / x ε Ν ; x es impar y x< 10 }

B = { 2x - 1 / x ε Ν ; x< 6 } No hay una sola forma de expresar por comprensión.

Otra Forma

C = { x / x es múltiplo de 5; positivo y menor que 40}

C = { 5x / x ε Ν ; 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 8 }

En el caso del conjunto D ; no se puede expresar por comprensión ; no hay una característica común a todos sus elementos. No todo conjunto se puede expresar por comprensión.

De la misma manera si observamos : T = { 2x - 1 / 2< x < 6 }

Dado que no se da el conjunto al que pertenece x , no se podría expresar por extensión; tendría cantidad ilimitada de elementos. De ahí diríamos que No todo conjunto se puede expresar por extensión.

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

Consiste en precisar correctamente que elementos forman parte del conjunto; el cual se puede realizar de dos formas:

TEORÍA DE CONJUNTOS

De lo anterior podemos concluir que dos conjuntos diferentes no necesariamente son disjuntos.

Pero no son disjuntos ya que tienen elementos en común. COMPARABLES Dado dos conjuntos diferentes A y B, estos serán comparables, cuando sólo uno de ellos este incluido en el otro, es decir: si bien A ⊂ B o bien B ⊂ A Ejemplo: R = { x / x es un felino} S = { x / x es un mamífero}

Sean los conjuntos

A = {1 ; 3 ; 5 ; 9 }

B = {2 ; 3 ; 7 ; 5 } Se observa que : 𝐴𝐴 ≠ 𝐵𝐵

R ⊂ S pero S^ ⊂^ R

∴ R y S son comparables

COORDINABLES O EQUIPOTENTES Dos conjuntos A y B, son coordinables, si entre sus elementos se puede establecer una correspondencia biunívoca. Si los conjuntos son finitos serán coordinables si tienen el mismo cardinal.

Ejemplo: Dado los conjuntos: A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ;... }

B = {3 ; 6 ; 9 ;12 ; 15 ; 18 ; 21 ;... }

Se observa que A y B son COORDINABLES

A y B son COORDINABLES ↔ n(A) = n(B) Siendo A y B finitos****.

“Los elementos de B son el triple de los de A”

APLICACIÓN 1

Si los conjuntos M y N, son iguales

𝑀𝑀 = 37 ; 3 𝑥𝑥 ; 16 𝑁𝑁 = 2 𝑛𝑛 + 4 ; 𝑚𝑚^2 + 1 ; 81

𝑐𝑐𝑎𝑎𝑙𝑙𝑐𝑐𝑢𝑢𝑙𝑙𝑒𝑒 𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 + 𝑥𝑥 ; 𝑚𝑚 ∈ 𝝛𝝛+

Resolución: 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑑𝑑𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 + 𝑥𝑥

Como M = N

3 𝑥𝑥^ = 81 → 𝑥𝑥 = 4

Como 𝑚𝑚 ∈ 𝝛𝝛+

𝑚𝑚^2 + 1 = 37 → 𝑚𝑚 = 6

También

2 𝑛𝑛 + 4 = 16 → 𝑛𝑛 = 6

TEORÍA DE CONJUNTOS

CONJUNTO DE CONJUNTOS También se le denomina familia o clase de conjuntos, es aquel conjunto donde todos sus elementos sin excepción son también conjuntos.

Ejemplos:

M = { {2} ;{ 4 ; 6} ; {7 ; 8 }; ∅ }

M es un conjunto de conjuntos

P = { 1 ;{ 4 ;2} ; { 8 }; 10 }

P no es conjunto de conjuntos ya que tiene elementos que no son conjuntos.

notación: (a ; b )

PAR ORDENADO Conjunto de dos elementos en el cual se considera el orden.

1ra componente

2da componente

observación: (a ; b )^ ≠^ (b ;a )

EXAMEN DE ADMISIÓN UNI 1995 -II

Resolución: Piden 𝑛𝑛(𝐴𝐴)

Como 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 2 entonces 𝑎𝑎 es positivo

En 𝑎𝑎^2 + 𝑏𝑏^2 = 20 , tendremos:

𝑎𝑎^2 + 𝑎𝑎 = 20 ,entonces: 𝑎𝑎 = 4

Reemplazando 𝑏𝑏^2 = 4 ; 𝑏𝑏 ∈ 𝝛𝝛 𝑏𝑏^ = 2^ o 𝑏𝑏^ =^ −

finalmente A = { (4 ; 2) ; (4 ; -2) }

∴ 𝑛𝑛 𝐴𝐴 = 2 Clave :^ C

CONJUNTO POTENCIA El conjunto potencia de A , es el conjunto formado por todos los sub - conjuntos del conjunto A. Teniendo en cuenta de antemano que el ∅ es sub – conjunto de todo conjunto.

notación: P(A)

Se lee: Conjunto potencia de A Conjunto de partes de A

Ejemplos: Para cada uno de los conjuntos hallaremos su conjunto potencia

A = { 8 }

Sub - conjuntos: ∅ ; { 8 }

P(A) = {∅ ; { 8 } }

Luego:

𝑛𝑛 𝐴𝐴 = 1 y 𝑛𝑛 𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 2

TEORÍA DE CONJUNTOS

C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A

LEYES DEL ÁLGEBRA DE

CONJUNTOS

Las más directas ya fueron

enunciadas dentro de las operaciones

entre conjuntos, presentaremos las

que faltan enunciar.

(A U B ) U C = A U (B U C)

(A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

ASOCIATIVA :

DISTRIBUTIVA:

A U (B ∩ C ) = (A U B) ∩ (A U C)

A ∩ (B U C ) = (A ∩ B) U (A ∩ B)

DE D´MORGAN:

(AUB) C^ = A C^ ∩ B C

(A∩B) C^ = A C^ U B C

DE ABSORCIÓN:

A U ( A ∩ B) = A

A ∩ (A U B) = A

A U (A C^ ∩ B) = A U B

A ∩ (A CU B) = A ∩ B

Generalmente se utiliza de derecha a izquierda

(A ∆ B ) ∆ C = A ∆ (B ∆ C)

(A ∆ B ) ∆ C = A ∆ (B ∆ C)

APLICACIÓN 5

Dados dos conjuntos M y N diferentes del vácio y 𝑀𝑀 − 𝑁𝑁 = ∅; simplifique: {⦋(𝑀𝑀 𝑐𝑐^ ∩ 𝑁𝑁) ∪ (𝑀𝑀 ∩ 𝑁𝑁)⦌ ∩ (𝑀𝑀 − 𝑁𝑁 𝑐𝑐)} ∩ ⦋ 𝑀𝑀 − 𝑁𝑁 𝑐𝑐^ ∪ (𝑀𝑀∆𝑁𝑁)⦌

Resolución:

A={⦋(𝑀𝑀 𝑐𝑐^ ∩ 𝑁𝑁) ∪ (𝑀𝑀 ∩ 𝑁𝑁)⦌ ∩ (𝑀𝑀 − 𝑁𝑁 𝑐𝑐)}

B=⦋ 𝑀𝑀 − 𝑁𝑁 𝑐𝑐^ ∪ (𝑀𝑀∆𝑁𝑁)⦌

Sea

A={⦋(𝑀𝑀 𝑐𝑐^ ∩ 𝑁𝑁) ∪ (𝑀𝑀 ∩ 𝑁𝑁)⦌ ∩ (𝑀𝑀 ∩ 𝑁𝑁)} : Absorción

A=𝑀𝑀 ∩ 𝑁𝑁 Como^ 𝑀𝑀 − 𝑁𝑁^ =^ ∅^ M⊂N

A=𝑀𝑀 ∩ 𝑁𝑁 = M

=⦋ ∅ 𝑐𝑐^ ∪ (𝑀𝑀∆𝑁𝑁)⦌

B=⦋𝑼𝑼 ∪ (𝑀𝑀∆𝑁𝑁)⦌ = 𝑼𝑼 (𝑼𝑼 ∪ 𝑨𝑨^ =^ 𝑼𝑼)

Finalmente reemplazamos:

A B

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