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Asignatura: Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales, Profesor: , Carrera: Ingeniería Informática, Universidad: UAX
Tipo: Apuntes
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Aunque no debemos hacer una distinci´on tajante entre los aspectos pr´acticos y te´oricos de la Inform´atica, es cierto que existen materias que tienen un alto contenido formal, con desarrollos de tipo matem´atico, al contrario que otros temas m´as cercanos a la resoluci´on de problemas de tipo pr´actico. La asignatura de Teor´ıa de Aut´omatas y Lenguajes Formales sin duda trata con las materias del primer tipo y los contenidos que se imparten constituyen el eje fundamental de diversas ´areas de conocimiento encuadradas dentro de lo que podr´ıamos denominar Inform´atica Te´orica. A veces estas disciplinas resultan para el alumno materias “´aridas” y distanciadas de lo que ellos entienden que deber´ıan estudiar en una carrera de Ingenier´ıa Inform´atica. Pero la Inform´atica, como cualquier otra ciencia o ingenier´ıa, tiene unos fundamentos te´oricos sobre los que apoyarse y que cualquier ingeniero en Inform´atica debe conocer. As´ı lo entienden di- versos organismos internacionales como ACM e IEEE que recomiendan al menos un curso de Aut´omatas y Lenguajes Formales en los curricula de las carreras relacionadas con la Inform´ati- ca. Una motivaci´on para el estudio de estas materias formales la expuso Millner en un discurso que dio en 1993 al recoger el prestigioso premio Turing que se otorga a distinguidos cient´ıficos que trabajan en el ´area de las Ciencias de la Computaci´on:
“Estas [las aplicaciones] son altamente necesarias, pero no queremos que esto ocurra en detrimento del trabajo te´orico...Las Ciencias de la Computaci´on son tan amplias que si no tienen una teor´ıa b´asica, estaremos perdidos. Tantas cosas est´an avanzan- do...¿C´omo podr´ıa ocurrir esto sin una teor´ıa? Esta tiene que ir cogida de la mano de la pr´actica.”
La Teor´ıa de la Computaci´on trata con modelos de c´alculo abstractos que describen con distintos grados de precisi´on las diferentes partes y tipos de computadores. Pero estos modelos no se usan para describir detalles pr´acticos del hardware de un determinado ordenador, sino que m´as bien se ocupan de cuestiones abstractas sobre la capacidad de los ordenadores, en general. As´ı, en los curricula de Ciencias de la Computaci´on existen cursos separados para tratar materias como Arquitectura de Computadores, Teor´ıa de Circuitos, Algoritmos y Estructuras de Datos, Sistemas Operativos, etc. Todas estas ´areas tienen una componente te´orica, pero difieren del estudio de la Teor´ıa de la Computaci´on fundamentalmente en dos aspectos:
Las primeras tratan con computadores que existen realmente, mientras que los modelos abstractos de c´alculo abarcan todo tipo de computadores que existen, que puedan llegar a existir o simplemente que uno pueda imaginar.
En Teor´ıa de la Computaci´on, a diferencia de las otras materias, lo importante no es buscar la mejor manera de hacer las cosas (optimalidad ) sino estudiar qu´e puede o no puede hacerse con un ordenador (computabilidad ).
A estas cuestiones pretende responder la Teor´ıa de la Computabilidad. El primer paso en la b´usqueda de las respuestas a estas preguntas est´a en el estudio de los modelos de computaci´on. Los Modelos Abstractos de C´alculo tienen su origen en los a˜nos 30, antes de que existieran los ordenadores (el primer computador electr´onico de prop´osito general fue el ENIAC que se desarroll´o a partir del a˜no 1943), en el trabajo de los l´ogicos Church, G¨odel, Kleene, Post, y Turing. Estos primeros trabajos han tenido una profunda influencia no s´olo en el desarrollo te´orico de las Ciencias de la Computaci´on, sino que muchos aspectos de la pr´acticos de la Inform´atica fueron presagiados por ellos: incluyendo la existencia de ordenadores de prop´osito general, la posibilidad de interpretar programas, la dualidad entre software y hardware y la representaci´on de lenguajes por estructuras formales basados en reglas de producci´on. Alonzo Church propuso la noci´on de funci´on λ-definible como funci´on efectivamente calculable. La demostraci´on de teoremas se convierte en una transformaci´on de una cadena de s´ımbolos en otra, seg´un un conjunto de reglas formales, que se conocen como lambda c´alculo. En 1936, Church hace un esquema de la demostraci´on de la equivalencia entre las funciones λ-definibles y las funciones recursivas de Herbrand-G¨odel (esta equivalencia tambi´en hab´ıa sido probada por Kleene ) y conjetura que ´estas iban a ser las ´unicas funciones calculables por medio de un algoritmo a trav´es de la tesis que lleva su nombre (Tesis de Church) y utilizando la noci´on de funci´on λ-definible, dio ejemplos de problemas de decisi´on irresolubles y demostr´o que el Entscheidungsproblem era uno de esos problemas. Por otra parte Kleene, pocos meses despu´es, demuestra de forma independiente la equivalencia entre funciones λ-definibles y funciones recursivas de Herbrand-G¨odel, a trav´es del concepto de funci´on recursiva y da ejemplos de problemas irresolubles. La tercera noci´on de funci´on calculable proviene del matem´atico ingl´es Alan Turing (1912-1954). Turing se˜nal´o que hab´ıa tenido ´exito en caracterizar de un modo matem´aticamente preciso, por medio de sus m´aquinas, la clase de las funciones calculables mediante un algoritmo (funciones Turing-computables), lo que se conoce hoy como Tesis de Turing (1936). Aunque no se puede dar ninguna prueba formal de que una m´aquina de Turing pueda tener esa propiedad, Turing dio un elevado n´umero de argumentos a su favor, en base a lo cual present´o la tesis como un teorema demostrado. Adem´as, utiliz´o su concepto de m´aquina para demostrar que existen problemas que no son calculables por un m´etodo definido y en particular, que el Entscheidungsproblem era uno de esos problemas. Cuando Turing conoci´o los trabajos de Church y Kleene, demostr´o que los conceptos de funci´on λ-definible y funci´on calculable por medio de una m´aquina de Turing coinciden. Naturalmente a la luz de esto la Tesis de Turing resulta ser equivalente a la de Church. Posteriormente, se demostr´o la equivalencia entre lo que se pod´ıa calcular mediante una m´aquina de Turing y lo que se pod´ıa calcular mediante un sistema formal en general. A la vista de estos resultados, la Tesis de Church-Turing es aceptada como un axioma en la Teor´ıa de la Computaci´on y ha servido como punto de partida en la investigaci´on de los problemas que se pueden resolver mediante un algoritmo. Una de las cuestiones m´as estudiadas en la Teor´ıa de la Computabilidad ha sido la posibilidad de construir programas que decidan si un determinado algoritmo posee o no una determinada propiedad. Ser´ıa interesante responder de forma autom´atica a cuestiones como:
¿Calculan los algoritmos A y B la misma funci´on? (Problema de la equivalencia)
¿Parar´a el algoritmo A para una de sus entradas? (Problema de la parada)
¿Parar´a el algoritmo A para todas sus entradas? (Problema de la totalidad)
¿Calcula el algoritmo A la funci´on f? (Problema de la verificaci´on)
Conforme se fueron obteniendo demostraciones individuales de la no computabilidad de cada una de estas cuestiones, fue creciendo la sensaci´on de que casi cualquier pregunta interesante acerca
de algoritmos era no computable. El Teorema de Rice, confirma esta sensaci´on: “Consid´erese cualquier propiedad que no sea trivial acerca de la funci´on calculada por un algoritmo, entonces la cuesti´on de si la funci´on calculada por un algoritmo arbitrario verifica dicha propiedad es no computable”.
Complejidad Algor´ıtmica
Despu´es de que la Teor´ıa de la Computabilidad fuera desarrollada, era natural preguntarse acerca de la dificultad computacional de las funciones computables. Este es el objetivo de la parte de las Ciencias de la Computaci´on que se conoce como Complejidad Algor´ıtmica. Rabin fue uno de los primeros en plantear esta cuesti´on general expl´ıcitamente: ¿Qu´e quiere decir que una funci´on f sea m´as dif´ıcil de computar que otra funci´on g? Rabin sugiri´o una axiom´atica que fue la base para el desarrollo del estudio de medidas de complejidad abstracta de Blum y otros (1967). Una segunda aportaci´on que tuvo una influencia relevante en el desarrollo posterior de esta materia fue el art´ıculo de J. Hartmanis y R. Stearns en 1965, cuyo t´ıtulo On the Complexity of Algorithms dio nombre a este cuerpo de conocimiento. En ´el se introduce la noci´on fundamental de medida de complejidad definida como el tiempo de computaci´on sobre una m´aquina de Turing multicinta y se demuestran los teoremas de jerarqu´ıa. Un tercer hito en los comienzos del tema fue el trabajo de Cobham titulado, The Intrinsic Com- putational Difficulty of Functions (1964). Cobham enfatiz´o el t´ermino “intr´ınseco”, es decir, ´el estaba interesado en una teor´ıa independiente de las m´aquinas. Esto nos conduce al un con- cepto importante desarrollado en 1965: la identificaci´on de la clase de problemas que se pueden resolver en tiempo acotado por un polinomio sobre la longitud de la entrada. La distinci´on entre algoritmos de tiempo polinomial y algoritmos de tiempo exponencial fue hecha por primera vez en 1953 por Von Neumann. La notaci´on de P para la clase de los problemas resolubles en tiempo polinomial fue introducida posteriormente por Karp (1972). La teor´ıa de la NP-completitud es seguramente el desarrollo m´as importante de la Complejidad Algor´ıtmica. La clase N P consta de todos los problemas decidibles en tiempo polinomial por una m´aquina de Turing no determinista. Cook en 1971 introduce la noci´on de problema NP- completo y demuestra que el problema de la satisfacibilidad booleana es NP-completo. La clase N P incluye una gran cantidad de problemas pr´acticos que aparecen en la actividad empresarial e industrial. Demostrar que un problema es NP-completo equivale a demostrar que no tiene una soluci´on determinista en tiempo polinomial, salvo que todos los problemas de N P est´en en P , cuesti´on que a´un no est´a demostrada. Otro ´area que actualmente est´a teniendo cada vez m´as importancia es la Criptograf´ıa, rela- cionada con la seguridad de los sistemas inform´aticos y donde se ha aplicado especialmente la teor´ıa de la complejidad algor´ıtmica. Mediante la criptograf´ıa podemos conseguir el manejo de informaci´on confidencial en el ordenador de forma m´as o menos segura.
M´aquinas Secuenciales y Aut´omatas Finitos
La Teor´ıa de Aut´omatas, que engloba tambi´en al estudio de las M´aquinas secuenciales, tiene su origen en el campo de la Ingenier´ıa El´ectrica. El matem´atico norteameriacano Shanon (que luego se har´ıa famoso por su Teor´ıa de la Informaci´on) vino a establecer las bases para la aplicaci´on de la L´ogica Matem´atica a los circuitos combinatorios y posteriormente Huffman en 1954 los ampli´o a circuitos secuenciales y utiliza conceptos como estado de un aut´omata y tabla de transici´on. A lo largo de las d´ecadas siguientes, las ideas de Shanon se desarrollaron considerablemente, dando lugar a la formalizaci´on de una Teor´ıa de las M´aquinas Secuenciales y de los Aut´omatas Finitos (1956). Otros trabajos importantes sobre m´aquinas secuenciales son debidos a Mealy (1955) y Moore.
Teor´ıa Algebraica de Lenguajes.
Cuando un aut´omata se usa para modelar la construcci´on de hardware (ej. circuitos secuenciales) o software (ej. analizadores l´exicos) es muy importante examinar el problema de encontrar el aut´omata m´ınimo equivalente a uno dado. Tanto Huffman como Moore se ocuparon de este problema y encontraron algoritmos pr´acticos para minimizar un aut´omata de estados finitos. Para un aut´omata de n estados estos algoritmos requer´ıan n^2 pasos. Bastante m´as tarde, en 1971 Hopcroft encontr´o un m´etodo que lo hac´ıa en O(n×log(n)) pasos. Existe un punto de vista algebraico sobre la minimizaci´on y caracterizaci´on de aut´omatas finitos, debida a John Myhill y Anil Nerode. Kleene, en su intento de entender los trabajos de McCullock y Pitts, abstrajo el concepto de aut´omata finito a partir de las redes de neuronas y el concepto de expresi´on regular a partir del c´alculo l´ogico del modelo de McCullock y Pitts. De la misma forma, Myhill a partir de los conceptos de aut´omatas finitos de Kleene obtuvo el de diagrama de transici´on (deterministas) y a los eventos los redujo a la uni´on de clases de equivalencia. Siguiendo esta l´ınea de trabajo, se ha elaborado en las ´ultimas d´ecadas una teor´ıa abstracta de aut´omatas con una fuerte base matem´atica que, seg´un dijo Arbib en 1969, constituye “la matem´atica pura de la Inform´atica”.
Gram´aticas y Lenguajes Formales
El desarrollo de los ordenadores en la d´ecada de los 40, con la introducci´on de los programas en la memoria principal y posteriormente con los lenguajes de programaci´on de alto nivel, propician la distinci´on entre lenguajes formales, con reglas sint´acticas y sem´anticas r´ıgidas, concretas y bien definidas, de los lenguajes naturales como el ingl´es, donde la sintaxis y la sem´antica no se pueden controlar f´acilmente. Los intentos de formalizar los lenguajes naturales llevan a la construcci´on de gram´aticas como una forma de describir estos lenguajes, utilizando para ello reglas de producci´on para construir las frases del lenguaje. Se puede entonces caracterizar un lenguaje mediante las reglas de una gram´atica adecuada. Noam Chomsky propone en 1956 tres modelos para la descripci´on de lenguajes, que son la base de su futura jerarqu´ıa de los tipos de lenguajes (1959), que ayud´o tambi´en en el desarrollo de los lenguajes de programaci´on. Chomsky estableci´o una clasificaci´on de gram´aticas de acuerdo con el formato de sus producciones y distingui´o cuatro clases fundamentales de lenguajes y relaciones de inclusi´on entre ellas. La Teor´ıa de los Lenguajes Formales result´o tener una relaci´on sorprendente con la Teor´ıa de Aut´omatas y la Computabilidad. Paralelamente a la jerarqu´ıa de lenguajes existe otra equiva- lente de m´aquinas abstractas, de tal forma que a cada una de las clases de lenguajes definidas en la jerarqu´ıa de Chomsky a partir de restricciones impuestas a las gram´aticas, le corresponde un tipo de m´aquina abstracta, que no es otra cosa que un m´etodo reconocedor para la descripci´on de lenguajes. La relaci´on la podemos observar en la figura 1. Cada uno de estos tipos de m´aqui- nas es capaz de resolver problemas cada vez m´as complejos, desde los aut´omatas finitos (que son los m´as simples) hasta las m´aquinas de Turing que determinan el l´ımite de los procesos com- putables. Se puede llegar as´ı, de una forma casi natural, a considerar las m´aquinas de Turing, establecidas casi 20 a˜nos antes, como m´aquinas reconocedoras de los lenguajes estructurados por frases (tipo 0) e incluso a interpretar la Tesis de Turing en t´erminos de que un sistema computacional nunca podr´a efectuar un an´alisis sint´actico de aquellos lenguajes que est´an por encima de los lenguajes estructurados por frases en la jerarqu´ıa de Chomsky.
A continuaci´on haremos un repaso breve sobre varias ideas matem´aticas que ser´an utilizadas en los pr´oximos cap´ıtulos. Estos conceptos incluyen conjuntos, relaciones, funciones y t´ecnicas de
LENGUAJES TIPO 0
LENGUAJES TIPO 1
TIPO 2
LENGUAJES
TIPO 3
LENGUAJES
MAQUINAS DE TURING
AUTOMATAS
LINEALMENTE ACOTADOS
AUTOMATAS
AUTOMATAS
FINITOS
CON PILA
NO ENUMERABLES
LENGUAJES
Figura 1: Relaci´on Lenguajes-M´aquinas Abstractas
demostraci´on matem´aticas.
Conjuntos
Un conjunto es una colecci´on de objetos. Por ejemplo, la colecci´on de las letras vocales forman un conjunto que podemos notar como V = {a, e, i, o, u}. Los objetos que forman parte del conjunto se llaman elementos. Por ejemplo, a es un elemento de V y se escribe a ∈ V ; por otra parte podemos decir que z /∈ V. Dos conjuntos son iguales si y s´olo si tienen los mismos elementos. No se tienen en cuenta las repeticiones de elementos ni tampoco el orden de ´estos. Hay un conjunto que no tiene ning´un elemento llamado conjunto vac´ıo y lo notaremos por ∅. Un conjunto se puede especificar enumerando sus elementos entre llaves y separados por comas y esto es lo que se llama definici´on por extensi´on. Pero a veces esto no es posible hacerlo porque el conjunto es infinito y entonces se usa una definici´on por comprensi´on, es decir, haciendo referencia a otros conjuntos (conjuntos referenciales) y a propiedades que los elementos puedan tener. De forma general se definen: B = {x ∈ A | x cumple la propiedad P}
Un conjunto A es un subconjunto de otro conjunto B, A ⊆ B, si cada elemento de A es un elmento de B. Tambi´en podemos decir que A est´a incluido en B. Cualquier conjunto es un subconjunto de s´ı mismo. Si A es un subconjunto de B pero A no es igual a B se dice que A es un subconjunto propio de B y se nota como A ⊂ B. Es obvio que ∅ ⊆ A para cualquier conjunto A. Para probar que dos conjuntos A y B son iguales debemos probar que A ⊆ B y B ⊆ A: cada elemento de A debe ser un elemento de B y viceversa. Dos conjuntos se pueden combinar para formar un tercero mediante una serie de operaciones sobre conjuntos:
uni´on A ∪ B = {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} intersecci´on A ∩ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)} diferencia A − B = {x | (x ∈ A) ∧ (x /∈ B)}
Una relaci´on binaria entre dos conjuntos A y B es un subconjunto de A × B.
Ejemplo 0.4 {(9, b), (1, c), (3, d)} es una relaci´on binaria entre los conjuntos { 1 , 3 , 9 } y {b, c, d}. La relaci´on ”menor que” entre los n´umeros naturales es una relaci´on binaria,
<= {(i, j) | (i, j ∈ N ) ∧ (i < j)}
Sea n un n´umero natural, entonces (a 1 , a 2 , ..., an) es una n-tupla ordenada. Para cada i ∈ { 1 , ..., n} , ai es la i-´esima componente de la n-tupla. Dos n-tuplas (b 1 , b 2 , ..., bn) y (a 1 , a 2 , ..., am) son iguales si y s´olo si m = n y ai = bi para cada i ∈ { 1 , ..., n}. Si A 1 , ..., An son conjuntos
cualesquiera, el producto cartesiano de todos ellos, A 1
n ︷ ︸︸ ︷ ×... × An , es el conjunto de todas las n-tuplas (a 1 , ..., an) con ai ∈ Ai para cada i ∈ { 1 , ..., n}. En el caso de que todos los Ai sean
iguales el producto cartesiano A
︷ ︸︸^ n ︷ ×... × A se puede escribir como An^. Una relaci´on n-aria
entre los conjuntos A 1 , ..., An es un subconjunto del producto cartesiano A 1
n ︷ ︸︸ ︷ ×... × An. Vamos a tratar ahora con relaciones binarias entre un conjunto y el mismo, es decir, con R ⊆ A × A. Si (a, b) ∈ R podemos escribirlo con una notaci´on infija como a R b. Por ejemplo, en la relaci´on de igualdad se suele decir que a = b, en lugar de (a, b) ∈=.
Sea R una relaci´on binaria sobre un conjunto A. Decimos que:
R es reflexiva sii ∀ a ∈ A : aRa
R es irreflexiva sii ∀ a ∈ A : ¬(aRa)
R es transitiva sii ∀ a, b, c ∈ A : (aRb) ∧ (bRc) ⇒ (aRc)
R es sim´etrica sii ∀ a, b ∈ A : aRb ⇒ bRa
R es antisim´etrica sii ∀ a, b ∈ A : aRb ⇒ ¬(bRa)
Una relaci´on R ⊆ A × A que cumpla las propiedades reflexiva, sim´etrica y transitiva se dice que es una relaci´on de equivalencia. Usaremos la notaci´on [a]R para indicar la clase de equivalencia de la relaci´on R representada por el elemento a ∈ A y se define:
[a]R = {b ∈ A | (a, b) ∈ R}
Al conjunto formado por todas las clases de equivalencia de una relaci´on de equivalencia R ⊆ A × A se le denomina conjunto cociente de A modulo R y se nota como A/R:
A/R = {[a] | a ∈ A}
Una relaci´on R ⊆ A × A que cumpla las propiedades reflexiva, antisim´etrica y transitiva se dice que es una relaci´on de orden. Al par (A, R) lo llamaremos conjunto ordenado. Si adem´as la relaci´on de orden R verifica que todo par de elementos de A son comparables, entonces se dice que R es una relaci´on de orden total o lineal en A y el par (A, R) es un conjunto totalmente ordenado. Un orden no total se llama parcial.
Supongamos que P es un conjunto de propiedades sobre relaciones. La P-clausura de R ⊆ A×A es la menor relaci´on R′^ que incluye todos los pares ordenados de R y cumple las propiedades de P. Por ejemplo, la clausura transitiva de R, que notaremos R+, se define de la siguiente manera:
La clausura reflexiva y transitiva de R, que notamos R∗, se define:
R∗^ = R+^ ∪ {(a, a) | a ∈ A}
Ejemplo 0.5 Sea R = {(1, 2) , (2, 2) , (2, 3)} una relaci´on sobre el conjunto { 1 , 2 , 3 }. Entonces tenemos que, R+^ = {(1, 2) , (2, 2) , (2, 3) , (1, 3)} R∗^ = {(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (2, 2) , (2, 3) , (3, 3)}
Una funci´on de un conjunto A en un conjunto B, que notamos como f : A −→ B, es una relaci´on binaria f ⊆ A×B con la siguiente propiedad: para cada elemento a ∈ A hay exactamente un par ordenado en f cuya primera componente sea a. Llamamos a A el dominio de la funci´on f y a B el codominio de f. Si a es un elemento cualquiera de A, f (a) ser´a un elemento b ∈ B tal que (a, b) ∈ f y adem´as por ser f una funci´on este b ser´a ´unico. Al elemento f (a) lo llamaremos imagen de a bajo f. Si tenemos la funci´on f anterior y A′^ es un subconjunto de A, definimos:
f
f (a) | a ∈ A′
que es la imagen de A’ bajo f. El rango de una funci´on f es la imagen de su dominio. Por convenio, si el dominio de una funci´on es un producto cartesiano, no hace falta que especifiquemos las parejas de par´entesis de los elementos.
Ejemplo 0.6 Si f : N × N → N est´a definida de forma que la imagen de un par ordenado (m, n) es la suma de m y n, podemos escribir f (m, n) = m + n, en lugar de f ((m, n)) = m + n y adem´as podemos decir que m, n son los argumentos de f y m + n el correspondiente valor o resultado de f.
Monoides
El par (M, ◦) es un semigrupo si M es un conjunto y ◦ es una operaci´on interna binaria asocia- tiva. Es decir, ◦ es una funci´on de M × M en M que verifica lo siguiente:
∀ x, y, z ∈ M : x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z
Un elemento e ∈ M es la identidad de un semigrupo (M, ◦) si se verifica:
∀ x ∈ M : e ◦ x = x ◦ e = x
Un monoide es un semigrupo con identidad. Sea el monoide (M, ◦, e), x ∈ M y un n´umero natural n. La n-´esima potencia de x, representada por xn, se define inductivamente de la siguiente manera:
Sean A y B subconjuntos del monoide (M, ◦, e). La operaci´on ◦ induce de forma natural una operaci´on binaria ◦ sobre 2M^ , el conjunto de todos los subconjuntos de M. Esta operaci´on se define por: ∀ A, B ∈ 2 M^ : A ◦ B = {x ◦ y | (x ∈ A) ∧ (y ∈ B)}
Principio de inducci´on
El principio de inducci´on matem´atica afirma lo siguiente,
Si A es un subconjunto de numeros naturales, A ⊆ N , y satisface las condiciones:
entonces debe ser A = N.
En la pr´actica, el principio de inducci´on es usado para probar afirmaciones del tipo “para todo n´umero natural k la propiedad P se cumple”. Esto es lo mismo que probar que el conjunto
A = {k ∈ N | P (k) se cumple}
coincide con el conjunto de n´umeros naturales, esto es, debemos probar que A = N. Esto es lo que se llama demostraci´on por inducci´on y el procedimiento a seguir es el siguiente:
etapa base Probar que la propiedad P se cumple para 0.
etapa de inducci´on Suponer que la propiedad se sumple para k (hip´otesis de inducci´on) y probar que esto implica que se cumple para k + 1.
conclusi´on Puesto que hemos probado en la etapa base que 0 ∈ A y en la etapa de inducci´on que si k ∈ A entonces tambi´en k + 1 ∈ A, resulta que, por el principio de inducci´on, podemos deducir que A = N, como quer´ıamos demostrar.
A veces, interesa demostrar que cierta propiedad se cumple para todo k ≥ m. En este caso debemos demostrar que el conjunto,
A = {n ∈ N | P (n + m) se cumple}
coincide con el conjunto N. Para ello seguimos el siguiente razonamiento:
etapa base (n = 0) Probar que P (m) se cumple.
etapa de inducci´on (n > 0) Suponer que P (k) se cumple, siendo k ≥ m y probar que P (k + 1) se cumple.
conclusi´on Por las etapas anteriores y el principio de inducci´on tenemos que A = N y por tanto P se cumple para todo k ≥ m.
El principio de inducci´on tambi´en se usa para definir conjuntos de objetos donde definimos el primer objeto y el objeto k se define en t´erminos del (k − 1)-´esimo objeto. Esto es lo que se llama definici´on inductiva.
Ejemplo 0.7 El factorial de un n´umero natural puede ser definido inductivamente como,
1.1. Concatenaci´on de Palabras
La operaci´on de concatenaci´on, que notaremos ‘·’, es una operaci´on binaria entre palabras sobre un alfabeto V, esto es: · : V ∗^ × V ∗^ −→ V ∗
de forma que si tenemos dos palabras x, y ∈ V ∗^ donde x = a 1 a 2... an, y = b 1 b 2... bm entonces, x concatenado con y ser´a una palabra w ∈ V ∗^ con |w| = |x| + |y|, de forma que:
w = x · y = a 1 a 2... anb 1 b 2... bm ¨ §
¥ Nota (^) ¦A veces se suele suprimir el ‘·’ y se puede escribir directamente w = xy
Algunas propiedades de la concatenaci´on son:
operaci´on cerrada 99K ∀ x, y ∈ V ∗^ : x · y ∈ V ∗ propiedad asociativa 99K ∀ x, y, z ∈ V ∗^ : x · (y · z) = (x · y) · z
elemento neutro λ 99K ∀ x ∈ V ∗^ : λ · x = x · λ = x
Por tener estas propiedades (V ∗, ·, λ) es un monoide. Adem´as cada palabra de V ∗^ se representa de forma ´unica como concatenaci´on de s´ımbolos de V , por eso es adem´as un monoide libre. Todo monoide libre cumple la ley de cancelaci´on izquierda y derecha, en este caso, ∀ x, y, z ∈ V se cumple que:
(x · y = x · z) ⇒ (y = z) ‖ (y · x = z · x) ⇒ (y = z)
Decimos que una cadena z es subcadena de otra cadena w si existen cadenas x, y ∈ V ∗^ tal que w = x · z · y. Vamos a ver dos conjuntos especiales de subcadenas:
Prefijo(w) = {x ∈ V ∗^ | ∃ z ∈ V ∗^ : w = x · z} ‖ Sufijo(w) = {x ∈ V ∗^ | ∃ z ∈ V ∗^ : w = z · x}
Diremos que x es un prefijo de w si x ∈ Prefijo(w) y ser´a un prefijo propio si x 6 = w. Por otra parte, diremos que x es un sufijo de w si x ∈ Sufijo(w) y ser´a un sufijo propio si x 6 = w.
Ejemplo 1.1 Si w = abab es una palabra sobre el alfabeto {a, b}, o lo que es lo mismo, w ∈ {a, b}∗^ , tenemos que:
ab es un prefijo propio de w abab es un prefijo de w, pero no es propio b es un sufijo de w
1.2. Potencia de una palabra
Llamamos potencia n-´esima de una palabra, a la operaci´on que consiste en concatenar la palabra consigo misma n veces. Dada una palabra w ∈ V ∗, se define inductivamente la potencia n-´esima de w, que notaremos wn, como:
Ejemplo 1.2 Si w = aba es una palabra sobre el alfabeto {a, b} entonces:
w^0 = λ w^1 = aba w^2 = abaaba
1.3. Inversi´on de palabras
Si w = a 1 a 2... an es una palabra sobre un alfabeto V entonces la palabra inversa o refleja de w se define como: wR^ = anan− 1... a 1
Ejemplo 1.3 Si w = aaba es una palabra sobre el alfabeto {a, b}, entonces wR^ = abaa.
Llamamos lenguaje sobre el alfabeto V a cualquier subconjunto de V ∗. As´ı tenemos que, V ∗, ∅ , y V pueden considerarse como lenguajes. Puesto que un lenguaje es tan s´olo una clase especial de conjunto, podemos especificar un lenguaje finito por extensi´on enumerando sus ele- mentos entre llaves. Por ejemplo, {aba, czr, d, f } es un lenguaje sobre el alfabeto {a, b, c, ..., z}. Sin embargo, la mayor´ıa de los lenguajes de inter´es son infinitos. En este caso podemos especi- ficar un lenguaje por comprensi´on de la siguiente forma:
L = {w ∈ V ∗^ | w cumple la propiedad P }
En la definici´on anterior vemos que V ∗^ es el conjunto referencial, que podemos llamar tambi´en lenguaje universal sobre V.
Ejemplo 1.4 L = {w ∈ { 0 , 1 }∗^ | ceros(w) = unos(w)}, palabras que tienen el mismo n´umero de ceros que de unos.
2.1. Operaciones del algebra de conjuntos
Sean L 1 y L 2 dos lenguajes definidos sobre el alfabeto V. Se define la uni´on de estos dos lenguajes como el lenguaje L sobre V que se especifica como:
L = L 1 ∪ L 2 = {w ∈ V ∗^ | (w ∈ L 1 ) ∨ (w ∈ L 2 )}
La uni´on de lenguajes sobre el mismo alfabeto es un operaci´on cerrada y adem´as cumple las propiedades asociativa, conmutativa, y existe un elemento neutro que es el lenguaje vac´ıo ∅ (no es lo mismo ∅ que el lenguaje que contiene la palabra vac´ıa {λ}). El conjunto P(V ∗) (esto es, el conjunto de las partes de V ∗, tambi´en llamado 2V^ ∗ ), est´a formado por todos los lenguajes posibles que se pueden definir sobre el alfabeto V. Entonces, por cumplir la uni´on las propiedades anteriores tenemos que (P(V ∗), ∪, ∅) es un monoide abeliano. De forma an´aloga a la uni´on se pueden definir otras operaciones del ´algebra de conjuntos como la intersecci´on, diferencia, y complementaci´on de lenguajes. Por ejemplo, el complementario del lenguaje L sobre el alfabeto V ser´a: L = V ∗^ − L.
2.2. Concatenaci´on, potencia e inversi´on de lenguajes
Sean L 1 y L 2 dos lenguajes definidos sobre el alfabeto V , la concatenaci´on de estos dos lenguajes es otro lenguaje L definido como:
L 1 · L 2 = {x · y ∈ V ∗^ | (x ∈ L 1 ) ∧ (y ∈ L 2 )}
La definici´on anterior s´olo es v´alida si L 1 y L 2 contienen al menos un elemento. Podemos extender la operaci´on de concatenaci´on al lenguaje vac´ıo de la siguiente manera:
∅ · L = L · ∅ = ∅
En ambos casos, Ln^ se refiere a la potencia n-´esima del lenguaje L en el monoide inducido (P (V ∗) , ·, {λ}). El cierre o clausura de un lenguaje, por definici´on, contiene cualquier palabra que se obtenga por concatenaci´on de palabras de L y adem´as la palabra vac´ıa.
Hasta ahora hemos descrito los lenguajes formales como se describen los conjuntos: por extensi´on (si son finitos) o por comprensi´on. Aqu´ı vamos a introducir otra forma general y rigurosa de describir un lenguaje formal: mediante el uso de gram´aticas. Las gram´aticas son mecanismos generadores de lenguajes, es decir, nos dicen c´omo podemos obtener o construir palabras de un determinado lenguaje.
3.1. Definiciones b´asicas
Definici´on 1.1 Una gram´atica es una cuadrupla G = (VN , VT , S, P ) donde:
VT es el alfabeto de s´ımbolos terminales
VN es el alfabeto de s´ımbolos no terminales o variables, de forma que debe ser VN ∩VT = ∅ y denotamos con V al alfabeto total de la gram´atica, esto es, V = VN ∪ VT.
S es el s´ımbolo inicial y se cumple que S ∈ VN
P es un conjunto finito de reglas de producci´on
Definici´on 1.2 Una regla de producci´on es un par ordenado (α, β) de forma que:
(α, β) ∈ (V ∗^ · VN · V ∗) × V ∗
Es decir, α = γ 1 Aγ 2 donde γ 1 , γ 2 ∈ (VN ∪ VT )∗^ , A ∈ VN y β ∈ (VN ∪ VT )∗. Una producci´on (α, β) ∈ P se suele escribir de forma infija como α → β.
Por convenio usaremos letras may´usculas para los s´ımbolos no terminales; d´ıgitos y las pri- meras letras min´usculas del alfabeto para los s´ımbolos terminales; las ´ultimas letras min´usculas del alfabeto para palabras que pertenezcan a V (^) T∗ y letras griegas para cualquier palabra que pertenezca a V ∗. Usando este convenio, a veces se suele describir una gram´atica enumerando ´unicamente sus reglas de producci´on y cuando varias reglas tienen la misma parte izquierda, se suelen agrupar separ´andolas con |.
Ejemplo 1.6 Sea la gram´atica G cuyas producciones son:
S → aSa | bSb | a | b | λ
Esta gram´atica tiene una sola variable S que adem´as es el s´ımbolo inicial. VT = {a, b} y P contiene 5 reglas de producci´on.
Definici´on 1.3 Sea G una gram´atica y sean las cadenas α, β ∈ V ∗. Decimos que α deriva directamente en β, que notamos como α ⇒ β (derivaci´on directa), si y s´olo si existe una producci´on δ → σ ∈ P tal que α = γ 1 δγ 2 , β = γ 1 σγ 2 con γ 1 , γ 2 ∈ V ∗.
Esto quiere decir que α deriva directamente en β, si β puede obtenerse a partir de α sustituyendo una ocurrencia de la parte izquierda de una producci´on que aparezca en α por la parte derecha de la regla de producci´on.
¨ §
¥ Nota (^) ¦Si α → β es una regla de producci´on de G, entonces se cumple siempre que α ⇒ β. Cuando sea necesario distinguir entre varias gram´aticas, escribiremos α ⇒G β, para referirnos a un derivaci´on directa en G.
Por la definici´on anterior se deduce que ⇒ es una relaci´on binaria en el conjunto de cadenas de la gram´atica, esto es: ⇒ ⊆ V ∗^ × V ∗. Aqu´ı usamos una notaci´on infija para indicar que α ⇒ β en lugar de (α, β) ∈ ⇒.
Definici´on 1.4 Decimos que α deriva en β, o bien que, β es derivable de α, y lo notamos como α ⇒∗^ β (derivaci´on) si y s´olo si se verifica una de las dos condiciones siguientes:
A la secuencia γ 0 ⇒ γ 2 ⇒... ⇒ γn la llamaremos secuencia de derivaciones directas de longitud n, o simplemente derivaci´on de longitud n. ¨ §
¥ Nota (^) ¦Por la definici´on anterior est´a claro que ⇒∗ es tambi´en una relaci´on binaria en V ∗^ y adem´as es la clausura reflexiva y transitiva de la relaci´on de derivaci´on directa ⇒. Esto quiere decir que ⇒∗ es la menor relaci´on que cumple lo siguiente:
Si α ⇒ β entonces α ⇒∗ β. Esto es, si dos cadenas est´an relacionadas mediante ⇒ entonces tambi´en lo est´an mediante la relaci´on ∗ ⇒ ⇒^ ∗ es reflexiva, ya que ∀ α ∈ V ∗^ se cumple que α ⇒∗ α ⇒^ ∗ es transitiva. En efecto, si α ⇒∗ β y β ⇒∗ γ, entonces α ⇒∗ γ
Definici´on 1.5 Sea una gram´atica G = (VN , VT , S, P ). Una palabra α ∈ (VN ∪ VT )∗^ se de- nomina forma sentencial de la gram´atica, si y s´olo si se cumple que: S ⇒∗ α. Una forma sentencial w tal que w ∈ V (^) T∗ se dice que es una sentencia.
Ejemplo 1.7 Sea la gram´atica S → aSa | bSb | a | b | λ , podemos afirmar lo siguiente:
aaSb ⇒ aabSbb, aunque ni aaSb ni aabSbb son formas sentenciales de G
aabb ⇒∗ aabb, aunque aabb no es una sentencia de G S, aSa, abSba, λ son formas sentenciales de G y adem´as λ es una sentencia
aabaa es una sentencia de G, ya que existe una derivaci´on de longitud 3 por la que S ∗ ⇒ aabaa. En efecto: S ⇒ aSa ⇒ aaSaa ⇒ aabaa
Definici´on 1.6 Sea una gram´atica G = (VN , VT , S, P ). Se llama lenguaje generado por la gram´atica G al lenguaje L(G) formado por todas las cadenas de s´ımbolos terminales que son derivables del s´ımbolo inicial de la gram´atica (sentencias):
w ∈ V (^) T∗ | S ∗ ⇒ w
Ejemplo 1.8 Sea L =
w ∈ {a, b}∗^ | w = wR
. Este lenguaje est´a formado por todos los pal´ındro- mos sobre el alfabeto {a, b}. Puede probarse que la gram´atica S → aSa | bSb | a | b | λ genera el lenguaje L. En general no existe un m´etodo exacto para probar que una gram´atica genera un determinado lenguaje. Para este caso tan sencillo podemos probarlo de “manera informal” haciendo una serie de derivaciones hasta darnos cuenta de que S ⇒∗ w si y s´olo si w = wR. Luego veremos una demostraci´on formal por inducci´on en la secci´on de aplicaciones.
