UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Base
Un conjunto finito de vectores
{
}
m
vvS ,,
1K
=
recibe el nombre de base de un espacio
vectorial V si el conjunto genera V y es linealmente independiente. S
Una base es un conjunto eficiente para representar un espacio vectorial, en el sentido de
que cualquier vector se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de la
base; además los vectores de la base son independientes unos de otros.
El conjunto de n vectores
()()(){}
1,,0,0,,0,,1,0,0,,0,1 KKKK=S
Es una base para n
R
. Esta base recibe el nombre de base canónica para n
R
.
Dado que cualquier vector
(
)
n
vvvV ,,, 21 K
=
en n
R
se puede expresar como
()()
(
)
1,,0,00,,1,00,,0,1 21 KLKK n
vvvV
+
++= genera a V y por consecuencia, es
una base de V
S S
Una base canónica para R3 sería el conjunto
(
)
(
)
(
)
{
}
1,0,0,0,1,0,0,0,1
=
S ya que cualquier
vector se puede expresar como
(
321 ,, vvvV =
)
(
)
(
)(
1,0,00,1,00,0,1 21 n
vvvV +
)
+
=
, donde S
genera a V y por consecuencia S es una base de V.
()()()()
1,0,00,1,020,0,11,2,1 ++=
Ejemplo
Demuestre que el conjunto
()
(
)
(
){}
4,2,1,1,1,1,1,0,1 − es una base para 3
R
.
Solución
Primero se demuestra que el conjunto genera 3
R
. Sea
(
)
321 ,, xxx un elemento cualquiera de
3
R
.
()
(
)
(
)
(
)
4,2,11,1,11,0,1,, 321321 cccxxx
+
+
−
=
Esta identidad lleva al sistema de ecuaciones
1321 xccc
=
+
+
232 2xcc
=
+
3321 4xccc
=
+
+
−
Este sistema de ecuaciones tiene la solución
321332123211 2,252,32 xxxcxxxcxxxc +
−
=
−
+
−
=
+−=
Así, el conjunto genera el espacio.
Otro método
El sistema de ecuaciones tiene la forma xcA
=
por lo que la solución para xAc 1−
=
ALGEBRA LINEAL 1 M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ
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