¡Descarga Integrales dobles y volumen: Funciones de dos variables y cálculo de volúmenes y más Resúmenes en PDF de Cálculo Avanzado solo en Docsity!
Universidad de la Frontera
Facultad de Ingeniería y Ciencias
Departamento de Matemática y Estadística
Bitácora de aula: Integrales Múltiples
1. Integrales Múltiples e Iteradas Fecha^2017
Las integrales múltiples están estrechamente relaciona- das con las integrales iteradas, ya que estas últimas son necesarias para resolver las integrales múltiples. De es- ta forma, la diferencia entre integrales múltiples e itera- das consiste en que la primera se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple.
1.1 Integral simple
Iniciamos esta unidad, recordando la definición de inte- gral de una función real de variable real que nos servirá para establecer la de la integral doble.
Sea f : [a, b] ⊂ R → R una función real acotada so- bre el intervalo [a, b]. Se divide el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual longitud ∆x = b−na mediante la partición
{x 0 = a < x 1 < · · · < xn = b}
En cada subintervalo [xi− 1 , xi] se elige un punto x∗ i. Se forma la suma de Riemann ∑^ n
i=
f (x∗ i )∆x
Si se toma el límite de las sumas cuando n → ∞ se obtiene la integral definida de f desde a hasta b: ∫ (^) b
a
f (x) dx = l´ n→∞ım
∑^ n
i=
f (x∗ i )∆x
En el caso especial donde f ≥ 0 , la suma de Riemann se puede interpretar como la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación (figura 1), de modo que la∫ b a f^ (x)^ dx^ representa el área bajo la curva^ y^ =^ f^ (x)^ entre a y b.
figura 1
1.2 Integrales dobles y volumen
De una manera similar a lo establecido en la integral de una variable, se considera una función f (x, y) ≥ 0 de dos variables definida en un rectángulo cerrado
R = [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R^2 / a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
La gráfica de f es una superficie con ecuación z = f (x, y). Sea S el sólido que está sobre la región R y debajo de la gráfica de f (figura 2), es decir,
S = {(x, y, z) ∈ R^3 / 0 ≤ z ≤ f (x, y), (x, y) ∈ R}
La tarea es hallar el volumen de S.
figura 2
El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectán- gulos. Esto se hace dividiendo el intervalo [a, b] en m subintervalos [xi− 1 , xi] de igual amplitud ∆x = b−ma y divi- diendo [c, d] en n subintervalos [yj− 1 , yj] de igual amplitud ∆y = d−n c.
figura 3
Al dibujar líneas paralelas a los ejes coordenados por los puntos finales de estos subintervalos como en la fi- gura 3, se forman los subrectángulos
Rij = [xi− 1 , xi]×[yj− 1 , yj] = {(x, y)/ xi− 1 ≤ x ≤ xi, yj− 1 ≤ y ≤}
Si se elige el punto (x∗ ij, y ij∗) en cada Rij, entonces se puede aproximar la parte de S que está arriba de cada Rij mediante una caja rectangular con base Rij y altura f (x∗ ij, y∗ ij) como se muestra en la figura 4.
figura 4
El volumen de esta caja es la altura de la caja multipli- cada por el área de la base del rectángulo:
f (x∗ ij, y∗ ij) ∆A
Si se sigue este procedimiento para los rectángulos y se suman los volúmenes de las cajas correspondientes, se obtiene una aproximación del volumen total de S:
V ∼
∑^ m
i=
∑^ n
j=
f (x∗ ij, y∗ ij) ∆A
Esta suma doble significa que para cada subrectángulo se evalúa f en el punto elegido y se multiplica por el área del subrectángulo, y luego se suman los resultados. La aproximación al volumen es mejor cuando m y n cre- cen y, por lo tanto, se esperaría que
V = (^) m,nl´ım→∞
∑^ m
i=
∑^ n
j=
f (x∗ ij, y ij∗) ∆A
Esta es la expresión que se usa para definir el volumen del sólido S bajo la gráfica de f (x, y) y sobre el rectán- gulo R.
Definición 1.1 La integral doble de f sobre el rectángu- lo R es
∫ ∫
R
f (x, y) dA = l´ım m,n→∞
∑^ m
i=
∑^ n
j=
f (x∗ ij, y ij∗) ∆A
si existe el límite.
Observación 1.
No toda función z = f (x, y) de dos variables es inte- grable sobre un rectángulo R. Si f es acotada en el rectángulo R y continua en R con excepción, quizás, en un número finito de curvas suaves, entonces f es integrable en R. Si f es continua en R, entonces f es integrable en R. Si f (x, y) ≥ 0 , entonces la integral doble representa el volumen V del sólido que está arriba del rectángu- lo R y debajo de la superficie z = f (x, y).
El cálculo de la integral doble por límite de sumas de Riemann es un proceso largo y tedioso. Los interesa- dos en profundizar las ideas previas pueden consultar algunos de los libros mencionados en la bibliografía.
1.3 Propiedades
Se enuncian tres propiedades de integrales dobles, su- poniendo que todas las integrales existen. Sean f, g : D ⊂ R^2 → R integrables en D y sean α, β ∈ R, entonces:
D
k f (x, y)dA = k
D
f (x, y)dA
∫ ∫
D
[f (x, y) + g(x, y)] dA =
∫ ∫
D
f (x, y)dA +
∫ ∫
D
g(x, y)dA
- Si f (x, y) ≥ g(x, y) para toda (x, y) ∈ R, entonces ∫ ∫
R
f (x, y)dA ≥
R
g(x, y)dA
1.4 Integral doble iterada
Suponemos que f (x, y) es una función de dos variables que es integrable en el rectángulo R = [a, b] × [c, d]. Se usa la notación
∫ (^) d c f^ (x, y)^ dy^ para indicar que^ x^ se man- tiene fija y f (x, y) se integra con respecto a y entre c y d. Este procedimiento se llama integración parcial con res- pecto a y. El resultado de esta integración es un número que depende del valor de x, así que define una función de x: A(x) =
∫ (^) d
c
f (x, y) dy
Si ahora se integra la función A con respecto a x entre a y b, se obtiene ∫ (^) b
a
A(x) dx =
∫ (^) b
a
[∫ (^) d
c
f (x, y) dy
]
dx
La integral del lado derecho esta ecuación se llama in- tegral iterada. Por lo común, se omiten los corchetes. Así, ∫ (^) b
a
∫ (^) d
c
f (x, y) dy dx =
∫ (^) b
a
[∫ (^) d
c
f (x, y) dy
]
dx
indica que primero se integra con respecto a y y el re- sultdo se integra con respecto a x. De manera similar, la integral iterada ∫ (^) d
c
∫ (^) b
a
f (x, y) dx dy =
∫ (^) d
c
[∫ (^) b
a
f (x, y) dx
]
dy
significa que primero se integra con respecto a x (man- teniendo fija y) y después se integra la función resultante con respecto de y. Ejemplo 1.3 Evaluar
0
1 x
(^2) ydy dx. Resp. 27 2 El siguiente resultado proporciona un método práctico para evaluar una integral doble expresándola como una integral iterada (en cualquier orden).
figura 8
Actividad 4 Verificar el resultado de las siguientes in- tegrales dobles, bosquejando previamente el recinto de integración:
R
(x^2 − 2 y)dx dy =
, si R es la región del plano que acotan las rectas x = − 1 , x = 1, y las curvas y = −x^2 e y = x^2
0
√ (^3) x
dy dx 1 + y^4
ln 17 4
2. Coordenadas polares Fecha 2017
En un sistema de coordenadas rectangulares o carte- siano se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (x, y) estos valores son las distancias dirigi- das, partiendo del origen, desde los ejes x e y respecti- vamente. El origen es el punto donde se intersectan los dos ejes coordenados.
figura 9
Sea P un punto en el plano xy de coordenadas carte- sianas (x, y). Las coordenadas polares (r, θ) se definen de la siguiente forma:
La coordenada r es la distancia del punto P al punto O. Varía entre los valores 0 y ∞. La coordenada θ es el ángulo que forma OP con el eje Ox. Puede variar entre los valores 0 y 2 π.
Estas dos coordenadas permiten describir de forma uní- voca la posición de cualquier punto en el plano xy.
P (r, θ) r ∈ [0, ∞) θ ∈ [0, 2 π)
El intervalo para θ es abierto a la derecha para evitar llegar al valor de 2 π. De lo contrario, los puntos del eje Ox aparecerían dos veces, para θ = 0 y para θ = 2π. El eje Ox se llama eje polar, el punto fijo O es el polo y el ángulo θ es el ángulo polar. El trazado de puntos en el sistema polar se facilita considerablemente usan- do circunferencias concéntricas y rectas concurrentes. Las circunferencias tienen su centro común en el polo, y todas las rectas pasan por el polo. Relación con las coordenadas cartesianas Cada par de valores (x, y) corresponde unívocamente a un par de valores r, θ. Teniendo en cuenta el triángulo rectángulo formado por los catetos de longitud x e y y la hipotenusa de longitud r tenemos
Actividad 5 En la figura 10, determina las coordenadas rectangulares y polares del punto estrella.
figura 10
Actividad 6 Dibuja un sistema cartesiano y superpones el polar para indicar los siguientes puntos:
π 2
π 4
π 4
π 6
7 π 4
Actividad 7 Utilizar coordenadas polares para describir cada una de las regiones mostradas en la figura 11
figura 11
2.1 La diferencial en polares
A continuación vamos a ver el equivalente a la diferen- cial de área dA en coordenadas polares.
figura 12
Se considera un círculo (figura 12) de radio r y dos án- gulos centrales θ y θ 1 medidos en radianes. Estos ángu- los subtienden arcos de longitudes s y s 1 respectivamen- te. La razón de las medidas de los ángulos es igual a la razón de las longitudes correspondientes de los arcos subtendidos por estos ángulos. Es decir,
θ θ 1
s s 1
Si elegimos θ 1 = 1 radián, entonces s 1 = r, de lo cual se obtiene
s = rθ
Ahora, en la figura 13 tenemos un sector polar cuya for- ma es aproximadamente una región rectangular en la cual la base es una diferencial de arco y su altura un diferencial de radio.
figura 13
En este caso dA = ds dr, pero ds = rdθ, entonces
dA = r dr dθ
De manera tal que, la integral doble en coordenadas po- lares queda de la forma ∫ ∫
Rpolar
f (r cos θ, r senθ)r dr dθ
Actividad 8 Hallar
R(x
(^2) + y (^2) ) dA, donde R = { 0 ≤ x ≤
2 , / 0 ≤ y ≤
4 − x^2 }. Resp. 2 π
3. Integrales dobles y volumen Fecha 2017
Sean R una región plana, z = f (x, y) y z = g(x, y) dos superficies tales que f (x, y) ≥ g(x, y) ∀(x, y) ∈ R. El vo- lumen entre ambas superficies al interior de la región se puede calcular usando la siguiente integral doble
V =
R
[f (x, y) − g(x, y)] dA =
R
[techo − piso] dA
figura 14
Actividad 9 Hallar los siguientes volúmenes:
- del sólido que se encuentra debajo de la superficie z = x^2 + 4y y arriba del rectángulo D = {(x, y)/ 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 3 }. Resp 44.
- del sólido limitado por el recinto, en el primer octante, acotado por el plano x + 2y + 3z = 6.
- del sólido limitado por los planosz = x + y, z = 6, x = 0, y = 0, z = 0. Resp. 36
3.1 Cambio de variables
Supóngase que se quiere hallar, mediante integrales do- bles, el área acotada por las curvas x− 2 y = 4, x− 2 y = 0, x + y = 4, x + y = 1. La gráfica de esta región es la que se indica en la figura 14.
figura 14
Por integrales del tipo I o bien del tipo II es necesario 3 procesos de integración. Pero si se observan las ecua- ciones que conforman la frontera de la región, un cam- bio de la forma x − 2 y = u, v = x + y conduce a tener u = 4, u = 0, v = 1, v = 4
Actividad 13 Hallar el centro de masa de la lámina co- rrespondiente a la region parabólica 0 ≤ y ≤ 4 − x^2 si la densidad en el punto (x, y) es proporcional a la distancia de (x, y) al eje x. Resp m = 25615 k , y = 167 , x = 0
5. Integrales triples Fecha 2017
Las ideas desarrolladas para la integral doble se gene- ralizan de forma similar a integrales triples. Una integral triple tiene la forma ∫ ∫ ∫
R
f (x, y, z)dV
en donde f es una función de R^3 en R, positiva y acota- da. La región R está R^3 y dV es la diferencial de volumen
dV = dx dy dz = dx dz dx = · · ·
Para su cálculo se emplean los teoremas de Fubini.
Actividad 14 Sea S el sólido acotado por el plano x + y+z = 1, los planos x = 0, y = 0, z = 0. Calcular
S dV^.
Observación 5.1 Si R es una región de R^3 que tiene volumen, entonces para f (x, y, z) = 1, la integral triple representa el volumen de la región.
V (R) =
R
dV
Actividad 15 Sea R la región acotada por los paraboloi- des z = x^2 + y^2 y 2 z = 12 − x^2 − y^2. Usando integral triple calcular el volumen de R. Resp. 12 π
5.1 Coordenadas cilíndricas
Todo punto en el espacio se puede representar por un triple (r, θ, z), en el que el par (r, θ) corresponde a la re- presentación en coordenadas polares del punto (x, y). La figura 17 muestra cómo se interpreta el punto (r, θ, z) en el espacio y la relación con las coordenadas rectan- gulares habituales.
figura 17
Para convertir de coordenadas cilindricas a rectangula- res, usamos las ecuaciones:
x = r cos θ, y = r sen θ, z = z (1)
Para convertir de coordenadas rectangulares a cilindri- cas, usamos las ecuaciones: r^2 = x^2 + y^2 , θ = arctg y x
, x 6 = 0, z = z (2)
Actividad 16
- Localizar el punto en coordenadas cilíndricas (2, π 2 , 1) y encuentre sus coordenadas rectangulares.
- Encuentre las coordenadas cilíndricas del punto en coordenadas rectangulares (3, − 3 , 7).
En particular, la relación x = r cos θ, y = r sen θ, z = z corresponde a una transformación: T : S ⊂ R^3 → R ⊂ R^3 (r, θ, z) → (r cos θ, r sen θ, z) El Jacobiano de esta transformación es J(T ) = r Con lo cual. Para cambiar una integral triple de coorde- nadas rectangulares a una de coordenadas cilíndricas, se usa la siguiente fórmula: ∫ ∫ ∫
R
f (x, y, z)dV =
S
f (T (r, θ, z)) r dr dθ dz
Actividad 17 Hallar el volumen, usando coordenadas cilindricas, del sólido limitado superiormente por el para- boloide z = 2 − x^2 − y^2 e inferiormente por el paraboloide z = x^2 + y^2
5.2 Coordenadas Esféricas
Las coordenadas esféricas son una manera alternativa de describir un punto en el espacio tridimensional. Sea P un punto del espacio con coordenadas (x, y, z). Esto se ilustra en la figura 18.
figura 18
ρ es la distancia al origen desde el punto θ es el ángulo que tiene el punto con respecto al eje x (ángulo en el plano xy de la proyección de P con el eje x) φ es el ángulo del rayo OP con respecto al eje z La coordenadas esféricas de este punto son P (ρ, θ, φ). De la figura 18 se tiene que: z = ρ cos φ, r = ρ sen φ Pero x = r cos θ, y = r sen θ, entonces
x = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ, z = ρ cos φ
Estas ecuaciones dan forma a las coordenadas esféri- cas, la cual es una transformación
T : R^3 → R^3 , T (ρ, θ, φ) = (ρ sen φ cos θ, ρ sen φ sen θ, ρ cos φ)
El Jacobiano de esta transformación es J(T ) = −ρ^2 sen φ.
Para cambiar una integral triple de coordenadas rec- tangulares a una de coordenadas esféricas, se usa la siguiente fórmula: ∫ ∫ ∫
R
f (x, y, z)dV =
S
f (T (ρ, θ, φ)) ρ^2 sen φ dρ dθ dφ
Actividad 18 Localizar el punto P (2, π 4 , π 3 ) y hallar sus coordenadas cartesianas. Actividad 19 Calcular el volumen al interior del cono z =
x^2 + y^2 y bajo la esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9. Resp. 18 π
√ 2 2
Observación 5.2 Al igual que la integral doble, la inte- gral triple tiene aplicaciones al campo de la física, tal como, masa, centro de masa, momentos de inercia. No insistiremos en ello ya que con la integral doble es sufi- ciente.
