Fundamentos Matem´aticos para la Arquitectura II.
(Prof. Gladys Narbona)
Ejercicios del Tema 3: Geometr´ıa Diferencial de curvas alabeadas.
Ejercicio 1 Dada la curva ~r(t) = et, e−t,√2t, hallar los elementos del triedro de Frenet cuando t= 0.
Ejercicio 2 Dada la curva ~r(t) = t−cos(t), sen(t), t, hallar los elementos del triedro de Frenet en el
punto (−1,0,0).
Ejercicio 3 Dada la curva ~r(t) = t, (t+ 1)2, t3−1, hallar los elementos del triedro de Frenet en el
punto de intersecci´on de dicha curva con el plano z= 0.
Ejercicio 4 Hallar el triedro de Frenet, la curvatura y la toris´on en un punto arbitrario de la curva
~r(t) = t, t2,2
3t3.
Ejercicio 5 Dada la curva ~r(t) = 3t−t3,3t2,3t+t3, hallar la curvatura y la torsi´on en cada punto.
Ejercicio 6 Dada la curva ~r(t) = 4
5cos(t),1−sen(t),−3
5cos(t), hallar la curvatura y la torsi´on en
cada punto.
Ejercicio 7 Dada la curva ~r(t) = 2 cos(t),2sen(t), t, hallar los puntos de la misma para los cuales el
plano osculador es paralelo a la recta {x+ 2z= 2, x −y= 2}.
Ejercicio 8 Hallar la curvatura y la torsi´on en cada punto de la curva ~r(t) = t2,cos(t), sen(t).
Ejercicio 9 Demostrar que la curva ~r(t) = cos(t), sen(t),2−cos(t)es plana.
Ejercicio 10 Dada la curva ~r(t) = acos(t), a sen(t), f (t), comprobar que si f(t) = αsen(t) + βcos(t)
con α, β cualesquiera, entonces la curva es plana.
Ejercicio 11 Demostrar que la curva ~r(t) = t2+ 2, t2+ 2t+ 3, t + 1es plana y hallar la ecuaci´on del
plano que la contiene.
Ejercicio 12 Dada la curva ~r(t) = t2,2t, cos(t), se pide:
a) Hallar un punto Pde dicha curva en el que la torsi´on sea nula.
b) Hallar las ecuaciones de las rectas tangente, normal y binormal por el punto Pdel apartado anterior.
Ejercicio 13 Dada la curva ~r(t) = cos(t), sen(t), t2, se pide:
a) Hallar los punto de dicha curva en los que la torsi´on es nula.
b) Calcular en dichos puntos la curvatura y las ecuaciones de los planos normal, rectificante y oscu-
lador.
Ejercicio 14 Dada la curva ~r(t) = t, t2,t3
6−et, se pide:
a) Hallar un punto Pde dicha curva en el que la torsi´on sea nula.
b) Hallar las ecuaciones de las rectas tangente, normal y binormal por el punto Pdel apartado anterior.