Inecuaciones racionales: Definición, pasos y ejemplos, Resúmenes de Química

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INECUACIONES

RACIONALES

INECUACIONES

RACIONALES

Marian Adriana Espinoza Rodriguez

C O M P L E M E N T O

DEFINICIÓN: DEFINICIÓN Las inecuaciones racionales, también llamadas inecuaciones fraccionarias, son desigualdades algebraicas en las que incógnita aparece en el numerador y en el denominador de una fracción, es decir, las inecuaciones racionales están formadas por fracciones algebraicas. Por ejemplo, la siguiente desigualdad es una inecuación racional porque la incógnita x aparece tanto en el numerador como en el denominador de una fracción: ≤ 0 Numerador Denominador

3. Verificar el grado de la inecuación en el numerador y en el denominador, si es de segundo grado FACTORIZAMOS aplicando los diferentes casos, si es lineal sumamos términos semejantes si es posible.

4. Analizar cada factor, para ello, igualamos cada paréntesis a cero y establezcamos el punto crítico de cada uno de ellos en el numerador y denominador.

5. Expresar la solución en notación de intervalos y de inecuación.

EJEMPLO: 𝑥 + 1 𝑥 − 5 ≥ 0

• (^) En este caso ya tenemos la fracción algebraica despejada en un miembro de la inecuación, y en el otro miembro solo hay un 0. Por lo que no es necesario hacer ninguna operación previa.
• (^) Entonces, tenemos que hallar los puntos críticos de la fracción algebraica, o dicho de otra forma, los puntos que anulan el numerador y el denominador. Para ello, igualamos el numerador y el denominador a cero y resolvemos las ecuaciones resultantes: Puntos críticos del Numerador Puntos críticos del Denominador

TRAMO: x <- Evaluamos x=-2 en la inecuación 2 + 1 − 2 − 5 ≥ 0 − 1 − 7 ≥ 0 1 7 ≥ 0 TRAMO: -1 < x < 5 Evaluamos x=0 en la inecuación: 0 + 1 0 − 5 ≥ 0 1 − 5 ≥ 0 − 1 5 ≥ (^0) ❌ TRAMO: x > 5 Evaluamos x=6 en la inecuación: 6 + 1 6 − 5 ≥ 0 7 1 ≥ 0

• (^) Si un número de un tramo cumple con la desigualdad, significa que todos los números de ese tramo también cumplen con la desigualdad. Por lo tanto, los tramos que cumplen con la inecuación racional son los extremos de la recta:
• (^) Como puedes ver, hemos representado el número -1 con un punto cerrado, porque la inecuación tiene el signo ≥. En cambio, el 5 se debe representar con un punto abierto porque es el punto donde se anula el denominador, y los puntos críticos del denominador siempre deben ser abiertos ya que cualquier número dividido entre 0 es una indeterminación.
• (^) Finalmente, debemos expresar la solución en forma de intervalo. El intervalo del tramo de la izquierda es (-∞,-1], y el intervalo del tramo de la derecha corresponde a (5,+∞). Por lo tanto, la solución de la inecuación racional es: 𝑥 ∈ ¿

Hemos obtenido 2 puntos críticos, así que la recta se divide en 3 tramos

distintos. Ahora evaluamos un punto de cada tramo en la inecuación para ver

qué tramos son la solución:

Tramo x <1 Tramo 1 < x < 4 Tramo x > 4 Evaluamos x=0 en la inecuación: Evaluamos x=3 en la inecuación: Evaluamos x=5 en la inecuación: 3.0 − 3 2.0 − 8 < 0 − 3 − 8 < 0 3 8 < 0 3.3 − 3 2.3 − 8 < 0 6 − 2 < 0 − 3 < 0 3.5 − 3 2.5 − 8 < 0 12 2 < 0 6 < 0

De modo que el tramo que cumple con la expresión de la inecuación

fraccionaria es el del centro:

Tanto el punto x=1 como el punto x=4 son puntos abiertos porque

la inecuación tiene el signo (<).Y, por lo tanto, la solución de la

inecuación fraccionaria es:

𝑋 ∈ (1,4 )