Integrales dobles en coordenadas cartesianas y polares, Ejercicios de Cálculo para Ingenierios

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INTEGRALES DOBLES

𝑅

𝑎 𝑏 න 𝜑 𝑥 𝜓 (^) 𝑥 𝑓 𝑥,𝑦

𝑐 𝑑 න 𝑔 (^) 𝑦 ℎ (^) 𝑦 𝑓 (^) 𝑥,𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑎 (^) 𝑏

𝑥

𝑥 = 𝑔 𝑦 𝑥^ =^ ℎ^ 𝑦

AUX: LIZANDRO PACHECO

𝑅

𝑥,𝑦

𝑅′

𝑥 (^) 𝑢,𝑣 ,𝑦 (^) 𝑢,𝑣

𝑢

𝑣 𝑦 𝑢

𝑣 Integral doble en coordenadas polares: Integrales en otras coordenadas: ቊ

𝑢,𝑣 𝐽

Propiedad importante: ቊ 𝑥 = 𝑟cos 𝜃 𝑦 = 𝑟sin 𝜃 𝐼 = ඵ 𝑅

𝑥,𝑦

𝑅

𝑟cos 𝜃 ,𝑟sin 𝜃

AUX: LIZANDRO PACHECO

𝑅

𝑥,𝑦

𝑅 3

2

2 𝑑𝑥𝑑𝑧

𝑅 2

2

2 𝑑𝑦𝑑𝑧 Donde 𝑅 1

2

3 son las proyecciones de 𝑆 sobre los planos 𝑋𝑌, 𝑌𝑍 y 𝑋𝑍, respectivamente 𝑀 𝑥

𝑅

𝑥,𝑦

𝑦

𝑅

𝑥,𝑦

Aplicaciones: Masa y centros de masa: 𝜌 (^) 𝑥,𝑦 es la densidad AUX: LIZANDRO PACHECO

𝑦

𝑅

𝑥,𝑦

2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐼 𝐿

𝑅

𝑥,𝑦

2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥 ҧ =

Momentos de inercia: 𝐼𝑥 = ඵ 𝑅

2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐼 0

𝑅

𝑥,𝑦

2

• 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 Momento de inercia respecto a cualquier eje: D es la distancia del punto P(x,y) a la recta L AUX: LIZANDRO PACHECO

EJERCICIO 2:

Invertir el orden de integración: (^) ׬ − 6 2 ධ𝑥 2 4 − 1 2 −𝑥 𝑓 𝑥,𝑦

EJERCICIO 3:

Invertir el orden de integración: 𝐼 = (^) ׬ 0 2 ධ 2𝑥−𝑥 2 4𝑥 𝑓 𝑥,𝑦

EJERCICIO 4:

Evaluar la integral doble (^) ׭ 𝑅

4 𝑒 𝑥−𝑦 𝑑𝐴 donde 𝑅 es la Región cuadrada con vértices 1 , 0 ; 0 , 1 ; 1 , 2 y 2 , 1

EJERCICIO 5:

Calcular la integral (^) ׭ 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 2𝑦 𝑑𝐴 donde la región esta limitada por el triangulo de vértices 0 , 0 ; 2𝜋, 0 ; 0 , 𝜋