CÀLCUL DIVERSES VARIABLES, Apuntes de Cálculo diferencial y integral

¡Descarga CÀLCUL DIVERSES VARIABLES y más Apuntes en PDF de Cálculo diferencial y integral solo en Docsity!

Ll. Garrido

Barcelona, 2010

C

`

ALCUL DE DIVERSES

VARIABLES

Versi´o 1.

Objectius d’aprenentage

Referits a coneixements:

• Comprendre el signicat de les diferents derivades d’una funci´o de diverses variables, de la

seva diferenciabilitat, i del seu desenvolupament de Taylor.

• Estendre el concepte d’integral de Riemann a dues i tres dimensions.

Referits a habilitats, destreses:

• Adquirir practica en l’analisi de funcions de diverses variables, especialment de la seva

continu¨ıtat.

• Resoldre problemes de funcions inverses i impl´ıcites.
• Aprendre a analitzar els m`axims i m´ınims d’una funci´o amb condicions i sense.
• Adquirir practica en el calcul d’integrals dobles i triples.

Autor:

Llu´ıs Garrido ([email protected])

Departament d’Estructura i Constituents de la Mat`eria &

Institut de Ci`encies del Cosmos

Facultat de F´ısiques

Universitat de Barcelona

Agra¨ıments:

Voldria agrair al meu company Joan Martorell l’acurada detecci´o d’errors, que han estat corregits

en aquesta versi´o, aix´ı com les seves sugger`encies sobre aquest text.

ii

INDEX

2.7.3 Diverg`encia................................... 35

2.7.4 Laplaciana................................... 36

3 APLICACIONS del C

`

ALCUL DIFERENCIAL 37

3.1 Funci´o inversa...................................... 37

3.1.1 Teorema de la funci´o inversa.......................... 38

3.1.2 Canvi de coordenades en R

2 i R

3

....................... 40

3.2 Funci´o impl´ıcita..................................... 43

3.2.1 Teorema de la funci´o impl´ıcita........................ 45

3.2.2 Equaci´o del pla tangent per funcions definides impl´ıcitament....... 48

3.3 M`axims i m´ınims..................................... 50

3.3.1 M`axims i m´ınims absoluts........................... 50

3.3.2 Extrems: m`axims i m´ınims relatius...................... 50

3.3.3 Condici´o necess`aria per ser extrem en una funci´o diferenciable...... 50

3.4 Extrems condicionats. Multiplicadors de Lagrange................. 55

3.4.1 Extrems condicionats per funcions escalars de dues variables....... 55

3.4.2 Teorema de Lagrange per trobar els extrems condicionats de funcions escalars 58

4 INTEGRACI

O DE FUNCIONS DE DIVERSES VARIABLES 63

4.1 Recordatori: integraci´o en R.............................. 63

4.2 Integrals dependents d’un par`ametre.......................... 64

4.3 Integrals M´ultiples................................... 66

4.3.1 Integral doble sobre un rectangle....................... 66

4.3.2 Integrals dobles en regions generals...................... 70

4.4 Integrals triples..................................... 75

4.4.1 Integral triple en una capsa.......................... 75

4.5 Canvi de variables.................................... 77

5 SUCCESSIONS i S

`

ERIES 85

5.1 Successions num`eriques................................ 85

5.1.1 Converg`encia.................................. 85

5.1.2 Successions de Cauchy............................. 85

5.1.3 Successions reals divergents cap a ±∞.................... 86

5.1.4 L´ımits superior i inferior............................ 86

5.1.5 Successions mon`otones............................ 87

5.2 Series numeriques.................................... 88

5.2.1 Condici´o de Cauchy per a la convergencia de series............. 88

5.2.2 S`erie alternada................................. 90

5.2.3 Criteris de converg`encia............................ 91

Ap`endix 95

A Canvi de coordenades: bases i operadors 97

INDEX iii

B Corbes i superf´ıcies a R

3 103

Bibliografia 107

Cap´ıtol 1

Funcions de diverses variables.

1.1 El conjunt R

n

R

n ´es conjunt d’elements, anomenats punts, de la forma

R

n = {(a 1

, a 2

, ...., a n

) = !a | a i

∈ R} (1.1)

per exemple R

2 ´es el conjunt de punts de la forma (x, y), on x i y s´on nombres reals i que

representa el conjunt dels punts en el pla.

En aquests conjunts es poden definir operacions que els doten d’estructures utilitzades en

l’estudi del mon f´ısic. Passem doncs ara, en les seg¨uents seccions, a veure algunes d’aquestes

estructures.

1.1.1 L’espai vectorial R

n

Al conjunt R

n se’l pot dotar d’estructura d’espai vectorial gr`acies a la introducci´o de dues

operacions, una interna i una altra externa i que verifiquen les propietats requerides per a ser

un espai vectorial.

L’operaci´o interna, que designarem per ”+”, es defineix com

R

n

× R

n

−→ R

n

(1.2)

!a,

b −→ !c = !a +

b = (a 1

• b 1

, ..., a n

• b n

i que dota a R

n d’estructura de grup abeli`a doncs de la definici´o i utilitzant les propietats de la

suma en el reals, ´es f`acil comprovar que compleix:

• associativa: (!a +

b) + !c = !a + (

b + !c)

• existeix l’element neutre

0 = (0, ..., 0), tal que !a +

0 + !a = !a.

• ∀!a ∈ R

n ∃!a

′ = (−a 1 , ..., −an), anomenat element oposat, tal que !a + !a

′ = !a

′

• !a =

• commutativa: !a +

b =

b + !a

2 Chapter 1. Funcions de diverses variables.

Per altra banda definim l’operaci´o externa com

R × R

n −→ R

n (1.4)

λ,!a −→ λ!a = (λa 1

, ..., λa n

(on λ ´es un escalar) amb les propietats:

• (λ + μ)!a = λ!a + μ!a
• λ(!a +

b) = λ!a + λ

b

• (λμ)!a = λ(μ!a)
• existeix l’element neutre de l’operaci´o externa (1) tal que: 1!a = !a

aquestes propietats juntament amb l’estructura de grup abans esmentada, doten a R

n d’estruc-

tura d’espai vectorial.

Base de l’espai vectorial R

n

Direm que un conjunt de vectors de R

n , {!xi} i = 1, ..., k s´on linealment dependents si podem

trobar un conjunt de valors reals {λi} i = 1, ..., k, amb algun diferent de 0, tal que

k ∑

i=

λ i

!x i

per exemple en R

2 els vectors (1, 0) i (2, 0) s´on linealment dependents

Direm que un conjunt de vectors de R

n , {!xi} i = 1, ..., k ≤ n s´on linealment independents si

k ∑

i=

λ i

!x i

nom´es es pot verificar si λ i

= 0 ∀i. Per exemple en R

2 els vectors (1, 0) i (0, 1) s´on linealment

independents.

Un conjunt de n vectors linealment independents a R

n {!ei} i = 1, ..., n direm que s´on una

base de l’espai vectorial R

n

. Qualsevol vector de R

n es pot expressar com una combinaci´o dels

vectors de la base: ∀!x ∈ R podem escriure

!x =

n ∑

i=

λ i

!e i

on les λ i

s’anomenen components del vector !x en la base {!e i

Canvi de base

En un mateix espai vectorial podem agafar diferents bases i aleshores un mateix vector t´e

components diferents en les diferents bases.

Per exemple en R

2 podem agafar com a bases:

• base 1

= {!e 1

= (1, 0), !e 2

4 Chapter 1. Funcions de diverses variables.

1.1.3 Espai vectorial normat

En un espai vectorial euclidi`a (on tenim definit un producte escalar) podem definir la norma

d’un vector com

‖ !x ‖=

!x · !x (1.17)

que compleix les propietats exigides a una norma:

• ‖ !x ‖= 0 si !x =

• ‖ !x ‖> 0 si !x *=

• ‖ c!x ‖=| c |‖ !x ‖
• ‖ !x + !y ‖≤‖ !x ‖ + ‖ !y ‖ (desigualtat triangular)

Les tres primeres propietats tenen una demostraci´o trivial a partir de les propietats del producte

escalar, mentre que la darrera es pot demostrar utilitzant la desigualtat de Cauchy-Schwarz:

‖ !x + !y ‖

2

= (!x + !y) · (!x + !y) = !x · !x + 2!x · !y + !y · !y ≤‖ !x ‖

2

• ‖ !y ‖

2

+2 | !x · !y |

≤ ‖ !x ‖

2

• ‖ !y ‖

2

+2 ‖ !x ‖‖ !y ‖= (‖ !x ‖ + ‖ !y ‖)

2

(1.18)

Espai vectorial normat R

n

Prenent la deficinici´o de producte escalar en R

n donada en 1.16, podem dotar a R

n d’estructura

d’espai vectorial normat, on la norma d’un vector en aquest espai ve donada per:

‖ !x ‖=

!x · !x =

√

√

√

√

n ∑

i=

x

2

i

EXEMPLE. En R

2 considerem els vectors

• !x = (x 1

, x 2

) = (‖ !x ‖ cos θ x

, ‖ !x ‖ sin θ x

• !y = (y 1

, y 2

) = (‖ !y ‖ cos θ y

, ‖ !y ‖ sin θ y

el seu producte escalar ve donat per

!x · !y = x 1

y 1

• x 2

y 2

= ‖ !x ‖‖ !y ‖ cos θ x

cos θ y

• ‖ !x ‖‖ !y ‖ sin θ x

sin θ y

= ‖ !x ‖‖ !y ‖ cos(θ y

− θ x

) =‖ !x ‖‖ !y ‖ cos θ (1.20)

De fet en qualsevol espai euclidi`a es defineix l’angle entre dos vectors com aquell que

cos θ =

!x · !y

‖ !x ‖‖ !y ‖

NOTA. | !x · !y |=|‖ !x ‖‖ !y ‖ cos θ |≤‖ !x ‖‖ !y ‖

1.1 El conjunt R

n 5

1.1.4 Espai M`etric. Nocions de topologia

Un Espai M`etric ´es un conjunt M, no buit, d’objectes x, y, z, ... que anomenarem punts i que

esta dotat d’una funci´o d anomenada m`etrica

d : M × M −→ R (1.22)

x, y −→ d(x, y) (1.23)

que satisf`a

• d(x, x) = 0
• d(x, y) > 0 si x *= y
• d(x, y) = d(y, x)
• d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

tot espai vectorial euclidi ´es tambe un espai m`etric si definim

d(!x, !y) =‖ !x − !y ‖ (1.24)

Les tres primeres propietas de m`etrica es dedueixen trivialment de les propietats del producte

escalar, mentre la darrera ´es consequ`encia de la desigualtat triangular

‖ !x + !y ‖≤‖ !x ‖ + ‖ !y ‖⇒ d(!x + !y,

1. ≤ d(!x,

1. • d(!y,

si ara prenem !x → !x − !z i !y → !z − !y, aleshores la darrera expressi´o es pot escriure com

d(!x − !y,

1. ≤ d(!x −!z,

1. • d(!z − !y,

1. ⇒‖ !x − !y ‖≤‖ !x −!z ‖ + ‖ !z − !y ‖⇒ d(!x, !y) ≤ d(!x, !z) + d(!z, !y)

Espai M`etric R

n

Com ja hem vist, R

n ´es un espai vectorial euclidia. Per tant, ´es tamb´e un espai metric si definim

la dist`ancia entre dos punts com

d(!x, !y) =‖ !x − !y ‖=

√

√

√

√

n ∑

i=

(x i

− y i

2 (1.26)

EXEMPLE. En R

2 , d(!x, !y) =

√

(x 1

− y 1

2

• (x 2

− y 2

2

La introducci´o de distancia permet tota una riquesa topologica, part de la qual anirem

esbrinant a continuaci´o.

Bola o entorn

En R

n definim bola B n

(!a; r) de centre en el punt !a i de radi r > 0, com el conjunt de punts

B

n

(!a; r) = {!x ∈ R

n ; d(!x,!a) < r} (1.27)

EXEMPLE. En R, B 1

(a; r) = (a − r, a + r)

EXEMPLE. En R

2 , B 2

(!a, r) = {(x, y) |

√

(x − a 1

2

• (y − a 2

2 < r}

1.1 El conjunt R

n 7

Punt d’acumulaci´o

Un punt !a ∈ R

n s’anomena punt d’acumulaci´o de S ⊂ R

n , si ∀ bola B n

(!a; r) tenim que B n

(!a; r)∩

(S − !a) *= ∅

Conjunt derivat de S (S

′ )

Es el conjunt format per tots els seus punts d’acumulaci´o.

EXEMPLE. en R tenim S = [a, b) ∪ {c}.

S = [a, b] ∪ {c}

S

′ = [a, b]

En l’exemple de la figura 1.1, on el conjunt S est`a format pels punts de la figura blava

(incloent-hi els de la l´ınia frontera cont´ınua, per`o no els de la discont´ınua) i el punt aillat

f 3

tenim que el punt

i ´es interior, el punt !e ´es exterior, els punts

f i

, i = 1, 2 , 3 s´on frontera, els

punts

i,

f 1

f 2

f 3

s´on adherents i els punts

i,

f 1

f 2

s´on d’acumulaci´o.

Figura 1.1: Diferents tipus de punts del conjunt S.

TEOREMA

Les seg¨uents afirmacions s´on equivalents en R

n

• S ´es tancat
• S cont´e tots els seus punts d’acumulaci´o
• S cont´e tots els seus punts adherents

Conjunt fitat o acotat

S ⊂ R

n ´es fitat si ∃ B n

(!a; r) tal que S ⊂ B n

(!a; r)

En R

n un conjunt tancat i fitat tamb´e es s’anomena com conjunt compacte.

8 Chapter 1. Funcions de diverses variables.

EXEMPLE (en R

2 ). S = {(

1

n

1

m

)|n, m ∈ N }. No ´es obert doncs els seus punts no s´on

interiors. No ´es tancat doncs no cont´e tots els seus punts d’acumulaci´o (el (0,0)).

Es acotat,

per`o no compacte.

EXEMPLE (en R

2 ). S = {(x, y) | x

2

• y

2 = r

2 }. Es acotat i tancat doncs cont´e tots els seus

punts d’acumulaci´o. Aleshores ´es compacte.

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Si S ⊂ R

n ´es fitat i cont´e infinits punts, aleshores existeix com a m´ınim un punt d’acumulaci´o.

EXEMPLE (en R). S = {

1

n

|n ∈ N } t´e un punt d’acumulaci´o que ´es el 0.

Reunions i interseccions d’oberts i tancats

La reuni´o d’una col·lecci´o arbitr`aria (finita o infinita) de conjunts oberts ´es oberta

S = ∪

A∈F

A (1.28)

on A s´on oberts d’una fam´ılia F. Si x ∈ S aleshores x pertany a algun A de la familia i com x

´es interior a n’aquest A, tamb´e ho ´es de S.

La reuni´o d’un nombre arbitrari de tancats, no sempre es tancada. Per exemple, si agafem

la collecci´o de tancats: T k

= [

1

k

, 2], aleshores ∪ k

T

k

= (0, 2]

La intersecci´o d’una col·lecci´o arbitraria (finita o infinita) de conjunts tancats ´es tancada.

La intersecci´o d’un nombre arbitrari d’oberts, no sempre ´es un obert, per exemple ∩ n

1

n

1

n

donar`a el tancat { 0 }.

1.2 Funcions de diverses variables.

Les funcions que estudiarem relacionen punts de R

n amb punts de R

m

. De forma general:

f : D ⊂ R

n −→ R

m (1.29)

!x = (x 1 , ..., xn) −→ !y =

















y 1

= f 1

(!x)

y 2 = f 2 (!x)

y m

= f m

(!x)

















1.2.1 Camps escalars i vectorials.

En el cas anterior si

• m = 1 parlarem d’una funci´o escalar
• m > 1 parlarem d’una funci´o vectorial (composta de m funcions escalars)

10 Chapter 1. Funcions de diverses variables.

• suma de funcions: (

f + !g)(!x) =

f (!x) + !g(!x)

• multiplicaci´o per un escalar: (λ

f )(!x) = λ

f (!x)

1.3 L´ımit, l´ımits iterats i continu¨ıtat.

Sigui

f : D ⊂ R

n −→ R

m i !a un punt d’acumulaci´o de D. Direm que

l ∈ R

m ´es l´ımit de

f

en el punt !a si ∀% > 0 , ∃δ tal que si ‖ !x − !a ‖< δ ⇒‖

f (!x) −

l ‖< %, ( on !x ∈ D − {!a})). Ho

expressarem com:

l = lim !x→!a

f (!x) (1.37)

Una altre forma d’expressar-ho seria ∀% > 0 , ∃δ | ∀!x ∈ B

∗

n

(!a, δ) ∩ D ⇒

f (!x) ∈ Bm(

l, %) (on B

∗

vol indicar que el punt central !a no es considera en aquesta bola) i que es pot veure gr`aficament

en la figura 1.

Figura 1.3: L´ımit de

f en el punt !a.

Exemple. Sigui f (x, y) =

2 x

2 (y+1)+y

2

2 x

2 +y

2

que t´e l´ımit 1 quant (x, y) → (0, 0). Per demostrar-ho

hem de comprovar que

∀% > 0 , ∃δ(%) |

√

x

2

• y

2 < δ

?

⇒| f (x, y) − 1 |< %

| f (x, y) − 1 | = |

2 x

2 (y + 1) + y

2

2 x

2

• y

2

2 x

2 y + 2x

2

• y

2 − 2 x

2 − y

2

2 x

2

• y

2

2 x

2 y

2 x

2

• y

2

2 x

2 | y |

2 x

2

• y

2

≤| y |≤

√

x

2

• y

2 (1.38)

per tant prenent δ(%) = % es satisf`a la definici´o de l´ımit (veure figura 1.4).

1.3.1 Propietats dels l´ımits

El l´ımit, si existeix, ´es ´unic

Siguin

b *= !c dos l´ımits de lim !x→!a

f (!x), aleshores

b − !c ‖=‖

b −

f (!x) − !c +

f (!x) ‖≤‖

b −

f (!x) ‖ + ‖

f (!x) − !c ‖ (1.39)

1.3 L´ımit, l´ımits iterats i continu¨ıtat. 11

Figura 1.4: f (x, y) =

2 x

2 (y+1)+y

2

2 x

2 +y

2 a l’entorn del (0,^ 0)

Com els l´ımits existeixen, ∀% > 0 , ∃δ 1

, δ 2

tal que

• si ‖ !x − !a ‖< δ 1

f (!x) −

b ‖< %/ 2

• si ‖ !x − !a ‖< δ 2 ⇒‖

f (!x) − !c ‖< %/ 2

Ara si prenem δ = min(δ 1 , δ 2 ) aleshores

b −

f (!x) ‖ + ‖

f (!x) − !c ‖< % ⇒‖

b − !c ‖< % (1.40)

i com aix`o pasa ∀%, aleshores els dos l´ımits han de ser iguals.

Suma de l´ımits

Si lim !x→!a

f (!x) =

b i lim !x→!a

!g(!x) = !c, aleshores lim !x→!a

f (!x) + !g(!x)) =

b + !c.

Demostraci´o. ∀% > 0 , ∃δ 1

, δ 2

tal que

• si ‖ !x − !a ‖< δ 1

f (!x) −

b ‖< %/ 2

• si ‖ !x − !a ‖< δ 2

⇒‖ !g(!x) − !c ‖< %/ 2

Ara si prenem δ = min(δ 1 , δ 2 ) aleshores ‖

f (!x) + !g(!x) −

b − !c ‖≤‖

f (!x) −

b ‖ + ‖ !g(!x) − !c ‖<

%/2 + %/2 = % i per tant lim !x→!a

f (!x) + !g(!x)) =

b + !c.

L´ımit del producte d’un escalar per una funci´o

Si lim!x→!a

f (!x) =

b aleshores lim!x→!a(λ

f (!x)) = λ

b.

Demostraci´o. Com lim !x→!a

f (!x) =

b, vol dir ∀% > 0 , ∃δ tal que si ‖ !x −!a ‖< δ ⇒‖

f (!x) −

b ‖<

%/ | λ |. Aleshores ∀% > 0 hem trobat un δ tal que si ‖ !x − !a ‖< δ tenim

‖ λ

f (!x) − λ

b ‖=| λ |‖

f (!x) −

b ‖<| λ |

| λ |

1.3 L´ımit, l´ımits iterats i continu¨ıtat. 13

limx→ 0 (limy→ 0

xy + y

2

x

2

• y

2

) = limx→ 0

x

2

que al ser diferents ens indica que el l´ımit de la funci´o en el (0,0) no existeix.

1.3.3 L´ımits direccionals

Una altra forma possible d’acostar-se al punt !a es seguint qualsevol recta que passi per aquest

punt, del tipus !x = !a + λ!u, on !u ´es un vector que ens indica la direccci´o de la recta (exemple

cam´ı (3) de la figura 1.5). Aleshores hem de calcular

limλ→ 0

f (!a + λ!u)

Si el l´ımit depen de !u, el l´ımit de la funci´o no existeix, pero si s´on iguals no ens assegura res.

Exemple. f (x, y) =

xy

2

x

3 +y

3

i volem calcular el l´ımit quan ens apropem al (0,0). Les diferents

rectes que passen pel (0,0) s´on de la forma !x = !a + λ!u = (0, 0) + λ(1, m) = (λ, λm) i per tan

podem calcular

lim λ→ 0

f (λ, λm) = lim λ→ 0

λm

2 λ

2

λ

3

• m

3 λ

3

m

2

1 + m

3

que com que dep`en de la direcci´o ens indica que el l´ımit de la funci´o en el (0,0) no existeix.

1.3.4 Funcions cont´ınues

Una funci´o ´es cont´ınua en !a si

lim !x→!a

f (!x) =

f (!a) (1.43)

en altres paraules ∀% > 0 , ∃δ tal que si ‖ !x − !a ‖< δ ⇒‖

f (!x) −

f (!a) ‖< % (!x ∈ D − {!a}).

Una funci´o sera discontinua en !a si no esta definida, no existeix el l´ımit o el l´ımit no coincideix

amb el valor de la funci´o. Si el l´ımit existeix i ´es discontinua, aquesta discontinu¨ıtat ´es evitable.

La suma de dos funcions cont´ınues ´es cont´ınua

Per a la seva demostraci´o es procedeix de forma similar a la de suma de l´ımits

Una funci´o vectorial ´es cont´ınua si i tan sols si totes les seves components s´on

cont´ınues

Sigui

f (!x) cont´ınua en !a. Aleshores lim !x→!a

f k

(!x) = lim !x→!a

f (!x) · ˆe k

f (!a) · eˆ k

= f k

(!a) doncs f

´es cont´ınua.

Siguin les f k

cont´ınues, aleshores lim !x→!a

f (!x) = lim !x→!a

∑

f k

(!x) · ˆe k

∑

f k

(!a) · ˆe k

f (!a)

NOTA. Les funcions lineals de R

n → R

m s´on cont´ınues. Efectivament

f (!x) −

f (!a) ‖ = ‖

f (!a +

h) −

f (!a) ‖=‖

f (

h) ‖=‖

f (

∑

h i

eˆ i

∑

h i

f (ˆe i

∑

| hi |‖

f (ˆei) ‖≤‖

h ‖

∑

f (ˆei) ‖≤‖

h ‖ nk ≤ δnk (1.44)

on k ≥ max{‖

f (ˆe i

) ‖, i = 1, ..., n} i agafant δ = %/nk queda demostrat.

14 Chapter 1. Funcions de diverses variables.

Figura 1.6: Composici´o de funcions

Continu¨ıtat de funcions compostes

Considerem les funcions:

f : A ⊂ R

n → R

m i !g : B ⊂ R

m → R

s tals que

f (A) ⊂ B.

Si

f ´es cont´ınua en !a i !g ´es cont´ınua en

b =

f (!a) ∈ B, aleshores la funci´o composta !go

f ´es

tamb´e cont´ınua en !a.

Com es veu en la figura 2.

A ⊂ R

n

! f

→ B ⊂ R

m

!g

→ R

s

!a

f!

b =

f (!a)

!g

→ !c = !g(

f (!a))

Efectivament, com que !g ´es cont´ınua en el punt

b aleshores ∀% > 0 , ∃ρ tal que si ‖ !z −

b ‖<

ρ ⇒‖ !g(!z) − !g(

b) ‖< %, per`o com que

f ´es cont´ınua el punt !a aleshores ∀ρ > 0 , ∃δ tal que si

‖ !x − !a ‖< δ ⇒‖

f (!x) −

f (!a) ‖< ρ.

Per tant concloem que ∀% > 0 , ∃δ tal que si ‖ !x − !a ‖< δ ⇒‖

f (!x) −

f (!a) ‖< ρ ⇒‖ !z −

b ‖<

ρ ⇒‖ !g(

f (!x)) − !g(

f (!a)) ‖< %.

Per tant, si

f ´es cont´ınua en !a i !g ´es cont´ınua en

b =

f (!a) ∈ D, aleshores

lim !x→!a

!g ◦

f (!x) = lim !x→!a

!g(

f (!x)) = !g(

f (!a)) (1.45)